Прохоров С.А. Лабораторный практикум. Моделирование и анализ случайных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Рисунок 2.11. Результаты генерирования ПСП с двумодальным законом распределения

Рисунок 2.12. Результаты генерирования ПСП с двумодальным законом распределения

Рисунок 2.13. Результаты генерирования ПСП с трёхмодальным законом распределения

Рис

нок 2.14. Рез

льтаты гене

ования ПСП с т

ёхмодальным законом

асп

еделения

2.2. Задание на самостоятельную работу

1. Открыть подсистему «Генерирование процесса - учебно-показательный

вариант» (см. приложение П.22).

2. Ввести координаты узловых точек функции распределения. Построить

функцию распределения и сгенерировать ПСП для N=5000. Построить гистограмму,

статистическую плотность распределения вероятностей, реализацию ПСП.

3. С помощью «мыши» трансформировать функцию распределения.

Записать

новые координаты узловых точек. Построить гистограмму, статистическую плотность

распределения вероятностей, реализацию ПСП. Сделать выводы.

4. Открыть подсистему «Генерирование процесса с помощью линейной ин-

терполяции».

5. Рассчитать и ввести координаты узловых точек для заданного преподавате-

лем закона распределения для

01,0=δ и constx

6. Сгенерировать временной ряд с заданным законом распределения прибли-

женным способом с объёмом выборки, равным N=5000, M=20.

7. Построить гистограмму, статистическую плотность распределения вероят-

ностей, реализацию ПСП. Проверить качество генерирования, воспользовавшись для

определения параметров аналитического выражения законов распределения методом

моментов. В качестве критерия приближения применить критерий Пирсона.

Рис

нок 2.15. Рез

льтаты гене

ования ПСП

8. Привести результаты эксперимента: гистограмму, статистическую функцию

распределения (см. приложение П.22, таблицу П.22.1-П.22.2).

9. Определить относительные погрешности оценки параметров модели. Ре-

зультаты представить в табличной форме.

10. Пункты 4-8 повторить для

03,002,0

−

и сделать выводы о качестве ге-

нерирования ПСП и допустимой погрешности восстановления функции распределе-

ния.

11. Пункты 4-8 повторить для объёмов выборки N=1000, 2000, 5000.

12. Пункты 4-8 повторить для

13. Сравнить результаты генерирования ПСП с результатом, полученным мето-

дом инверсного преобразования с помощью подсистемы «Генерирование процесса с

помощью обратной функции».

2.3. Содержание отчёта

1. Цель работы.

2. Метод и алгоритм моделирования некоррелированных временных рядов для

заданного закона распределения приближенным методом.

3. Координаты узловых точек функции распределения, заданные

таблично, до

и после «трансформации» закона распределения. Построить гистограмму, статисти-

ческую плотность распределения вероятностей, реализацию ПСП.

4. Примеры реализации некоррелированного временного ряда.

5. Координаты узловых точек для заданного преподавателем закона распреде-

ления для

03,001,0 −=δ

6. Примеры гистограмм для различного объёма выборки – N=500, 1000, 2000,

5000,

01,0=δ , M=20.

7. Пример результатов эксперимента: гистограммы, статистической функции

распределения.

8. Значения параметров, определенные по методу моментов, и модуль относи-

тельной погрешности оценки параметров закона распределения для N=500, 1000,

2000, 5000, представленные в табличной форме.

9. Выводы по работе.

2.4. Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяется приближенный метод генерирования?

2. Из каких соображений выбирается

допустимая погрешность восстановления

функции распределения при генерировании ПСП приближенным методом?

3. Назовите способы задания функции распределения, их преимущества и не-

достатки.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Цель работы:

изучение методов и приобретение практических навыков в ге-

нерировании временных рядов с заданным видом корреляци-

онной функции, проверка качества генерирования.

3.1. Теоретические основы лабораторной работы

Часто при решении задач имитационного моделирования средств измерений

возникает необходимость в формировании процессов с заданным видом корреляци-

онной функции. При этом не обращают внимание на закон распределения процесса.

Теоретически эта задача решается методом фильтрации и сводится к определению

характеристик формирующего фильтра при известных характеристиках входного и

выходного сигналов [11] (см. рис. 3.1).

Известно, что спектральная плотность мощности вы-

ходного сигнала фильтра определяется в соответствии с вы-

ражением:

() ( ) ()

SWjS

ωωω=

, (3.1)

где

()

ω - спектральная плотность мощности входного сиг-

нала;

()

Wjω

- квадрат модуля частотной характеристики формирующего фильтра.

Учитывая, что

()

ω ,

()

ω и

()

Wjω

- чётные функции, их можно предста-

вить в виде:

() ( )( )

() ( ) ( )

()

()( )

Sjj

Wj Wj W j

ωϕωϕω

ωψωψω

ωωω

=−

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

;

(3.2)

Отсюда

()

ωϕ

ωψ

=ω

. (3.3)

Сложность частотной характеристики формирующего фильтра

()

Wjω во мно-

гом будет определяться видом

(

)

. При использовании в качестве входного сигна-

ла «белого» шума с

()

ω =S

, получим:

()

ψω

. (3.4)

Для моделирования случайного процесса с помощью ЭВМ необходимо найти

импульсную характеристику формирующего фильтра (см. приложение П.12):

() ()

je d

ψω ω

ωτ

−∞

∞

∫

. (3.5)

W(j

)

x(t

)

y(t)

Рисунок 3.1

Выходной сигнал формирующего фильтра может быть определен различными

способами в зависимости от принятого способа преобразования аналогового фильтра

в цифровой. Один из самых простых, но не эффективных способов в смысле времен-

ных затрат заключается в следующем:

() ( )()

∑

−τΔ=

ihijxjY , (3.6)

где N1 - число отсчётов импульсной характеристики, зависящее от вида корреляци-

онной функции;

Δτ - интервал дискретизации исследуемого процесса;

h(i)=h(iΔτ) - значение импульсной переходной характеристики формирующего

фильтра.

Значение интервала дискретизации зависит от вида корреляционной функции,

значения её параметров, требуемой точности вычисления корреляционной функции

и способа интерполяции корреляционной функции между узлами. Минимальное ко-

личество требуемых ординат импульсной переходной характеристики при линейной

интерполяции и различных погрешностях восстановления корреляционной функции

представлено в таблице 3.1.

Минимальное количество ординат корреляционной функции

Таблица 3.1

()

0,02 0,05 0,1 0,2

−α τ

9 6 4 3

()

−

ατ

ατ1

13 9 7 5

()

−

ατ

ατ1

19 13 10 7

()

−

ατ

ατ α τ13

10 7 5 4

−α τ

ωτcos

πα

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

ατ

ωτ

ωτcos sin

πα

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

ατ

ωτ

ωτcos sin

πα

Используя эту таблицу, можно определить интервал дискретизации в виде:

maxk

=τΔ

, (3.7)

где τ

kmax

- максимальный интервал корреляции (см. таблицу 3.2).

Другой подход также сводится к нерекурсивной фильтрации входного ряда

[11]:

ycx

nknk

−

∑

, (3.8)

причём

[]

= 0,

[]

My y

KnkN

nk N

−≤

−>

⎧

⎨

⎩

− ,

;

,,0

(3.9)

где

nk−

- значение корреляционной функции в точке (n−k)Δ.

Максимальные интервалы корреляции типовых моделей

корреляционных функций

Таблица 3.2

№ Наименование

=0,01

=0,02 Δ=0,05

τα−

4,61/

3,92/α 3/α

τα−

e (1+α|τ|)

6,64/

5,84/α 4,75/α

τα−

e (1−α|τ|)

6,27/

5,40/α 4,14/α

τα−

e (1+α|τ|+α

/3)

8,03/

7,14/α 5,92/α

τα−

e Cosω

4,61/

3,92/α 3/α

τα−

e (Cosω

τ+α/ω

Sinω

τ)

4,61/

3,92/α 3/α

τα−

e (Cosω

τ−α/ω

Sinω

τ)

4,61/

3,92/α 3/α

Коэффициенты

c , k=0,1,...N удовлетворяют следующей нелинейной системе

алгебраических уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=++

=++++

−

.Kcc

........

;Kcc...cccc

;Kcc...cccccc

NN0

1N1N2110

0NN221100

(3.10)

Решение этой системы дает искомый алгоритм моделирования выходной по-

следовательности. Тем не менее, применение этого метода затруднено из-за трудно-

сти решения указанной системы уравнений. Рекуррентный алгоритм оценивания ко-

эффициентов

c заключается в следующем [11]:

()

()()

()

() ()

()

если kl

Kcc

если kl

cK c

−

≤

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

=−

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

−

∑

;

(3.11)

где l=0,1,2,... - номер итерации.

Однако при оценочном характере

K возникают дополнительные сложности в

корректировке

c , что усложняет его и ставит под сомнение его целесообразность.

Поиски более быстродействующих алгоритмов моделирования ПСП с задан-

ным видом корреляционной функции привели к использованию рекурсивной фильт-

рации [11]:

yax by

niniini

=−

−−

∑∑

. (3.12)

Для нахождения коэффициентов

a и

b (т.е. параметров фильтра) применяют-

ся, в основном, три класса методов: методы преобразования аналоговых фильтров в

цифровые, прямые методы расчёта цифровых фильтров в Z-плоскости и методы, ис-

пользующие алгоритмы оптимизации. В общем случае невозможно отдать предпоч-

тение какому-либо одному из них. С учётом применимости этих методов в конкрет-

ных

условиях и многих других факторов, каждый из них может оказаться наиболее

подходящим. Однако большинство цифровых фильтров рассчитываются методом би-

линейного преобразования стандартных аналоговых фильтров. Это обстоятельство

связано с тем, что в задачах статистического моделирования необходимо проектиро-

вать фильтры, для которых билинейные преобразования аналоговых фильтров уже

известны.

Параметры и вид цифрового рекурсивного

фильтра для основных моделей кор-

реляционных функций представлены в приложении П.13.

Для проверки качества генерирования ПСП представляется перспективным ис-

пользование фазовых портретов [7-8]. Под фазовым портретом будем понимать гра-

фическую зависимость, построенную в координатах:

)(

и )(

′

(см. рис. 3.2-3.3):

() ()

[]

ρ=τρ

′

Ф . (3.13)

Следует отметить, что каждому типу корреляционных функций соответствует

свой, уникальный фазовый портрет. На практике при построении фазового портрета

вместо значения производных корреляционных функций возможно определение её

приращений на заданном интервале.

Для сравнения фазовых портретов определим квадратическую погрешность в

виде:

() ()

[][]

()

[]

∑

τρ

τρ−τρ

=δ

maxJ

ixixт

[Ф]Ф

, (3.14)

()

[]

ixт

Ф τρ - эталонный фазовый портрет.

На рис. 3.2 приведены фазовые портреты широко применяемых однопарамет-

рических моделей. Следует отметить, что за исключением фазового портрета корре-

ляционной функции

()

(

)

τα−=τρ

τα−

, все фазовые портреты расположены в

четвертом квадранте и не пересекают ось абсцисс. Кроме этого, фазовые портреты

второй и четвертой моделей очень близки по форме и отличаются лишь численными

значениями, в частности, значениями минимума.

Фазовые портреты колебательных моделей, представленные на рис. 3.3, распо-

ложены во всех квадрантах. Причем, количество пересечений оси абсцисс

зависит не

от вида корреляционной функции, а от численного значения показателя колебатель-

ности

αω=μ /

[7-8].

Алгоритм проверки качества генерирования ПСП с заданным видом КФ на ос-

нове анализа фазовых портретов (идентификации корреляционной функции ПСП) за-

ключается в выполнении следующих этапов:

1. построения фазового портрета КФ сгенерированной ПСП с заданными па-

раметрами;

2. построения фазового портрета заданной КФ - эталона;

3. сравнения фазовых

портретов (вычисление квадратической погрешности).

Отметим, что погрешность идентификации КФ по фазовым портретам умень-

шается с увеличением объёма выборки. Исследования показали, что фазовые портре-

ты являются устойчивыми при отношении интервала наблюдения к интервалу корре-

ляции

≥ 10 [7-8].

Тем не менее, проверять качество генерирования ПСП рекомендуется на

выборке объёмом 5000-10000 отсчётов.

Поскольку при увеличении показателя колебательности наибольшие различия

наблюдаются вблизи «нуля» корреляционной функции, наиболее информативным у

фазового портрета является «хвост» [7-8].

-0,35

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

0,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

в)

()

23,0,1e

=αττα−=τρ

τα−

г)

()

(

)

693,0,3/1e

=αττα+τα+=τρ

τα−

Рисунок 3.2. Фазовые портреты однопараметрических моделей

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

а)

()

4,0,e

=ατ=τρ

τα−

б)

(

)

()

4,0,1e

=αττα+=τρ

τα−

Для выполнения лабораторной работы необходимо изучить систему моделиро-

вания (см. приложение П.23).

д)

()

3),sin/(cose

000x

=μτωωα−τω=τρ

τα−

е)

()

5),sin/(cose

000x

=μτωωα−τω=τρ

τα−

Рисунок 3.3. Фазовые портреты колебательных корреляционных функций

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

-0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

ρ(τ)

(τ)

а)

()

3,cose

=μτω=τρ

τα−

б)

()

5,cose

=μτω=τρ

τα−

-0,35

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

ρ(τ)

(τ)

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

в)

()

3),sin/(cose

000x

=μτωωα+τω=τρ

τα−

г)

(

)

5),sin/(cose

000x

=μτωωα+τω=τρ

τα−

-0,30

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

ρ(τ)

(τ)

-0,50

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

ρ(τ)

(τ)

-0,40

-0,30

-0,20

-0,10

0,00

0,10

0,20

0,30

-0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

ρ(τ)

(τ)