Прохоров С.А. Лабораторный практикум. Моделирование и анализ случайных процессов

Подождите немного. Документ загружается.

140

Рисунок 10.3. Результаты аппроксимации N=1000, p=0,15, J

max

=19

Рисунок 10.4. Спектральная плотность мощности неэквидистантного временного ряда

141

Зависимость параметров аппроксимирующего выражения и погрешности ап-

проксимации нормированной корреляционной функции

(

)

τβ=τρ

τλ−

cose различ-

ными колебательными моделями N=1000, M=38

Таблица 10.1

τω

τα−

cose

)sin(cose

τω

+τω

τα−

)sin(cose

τω

−τω

τα−

0,15 0,7497 4,656 0,5566 0,7527 4,7883 0,5646 0,74 4,5918 0,5612

0,3 0,953 5,3336 0,2162 0,96 5,5258 0,2314 0,9398 5,2408 0,2524

0,45 0,9488 5,0682 0,1901 0,9521 5,275 0,1953 0,9386 4,9658 0,2387

0,6 0,7603 4,8694 0,1285 0,7551 4,9992 0,1841 0,7545 4,8048 0,1457

0,75 0,7481 5,0549 0,0559 0,7511 5,1787 0,0783 0,7389 4,995 0,1376

0,9 0,8951 5,1822 0,1384 0,8897 5,3533 0,137 0,8882 5,0968 0,2068

На рисунке 10.5 ряд 1 соответствует нормированной корреляционной функции

τω

τα−

cose , ряд 2 -

)sin(cose

τω

+τω

τα−

, ряд 3 -

)sin(cose

τω

−τω

τα−

Погрешности аппроксимации

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9

Ря д1

Ря д2

Ря д3

Рисунок 10.5. Зависимость погрешности аппрок-

симации от значения па

амет

-п

еоб

азования

142

Зависимость параметров аппроксимирующего выражения и погрешности ап-

проксимации нормированной корреляционной функции

(

)

τβ=τρ

τλ−

cose различ-

ными колебательными моделями N=5000, J

max

=38

Таблица 10.2

τω

τα−

cose

)sin(cose

τω

+τω

τα−

)sin(cose

τω

−τω

τα−

0,15 0,9216 5,1423 0,266 0,914 5,3079 0,2573 0,912 5,0614 0,3199

0,3 0,871 4,8448 0,1338 0,8744 5,0102 0,1739 0,8581 4,7653 0,1836

0,45 0,8781 4,8542 0,0825 0,8775 5,016 0,1245 0,8662 4,7759 0,165

0,6 0,9561 5,132 0,0441 0,9549 5,3198 0,1197 0,9447 5,0402 0,1362

0,75 1,042 5,1247 0,05 1,042 5,3374 0,115 1,0269 5,0221 0,1624

0,9 0,9416 5,0552 0,0568 0,9417 5,2322 0,1177 0,9283 4,9701 0,1524

На рисунке 10.6 ряд 1 соответствует нормированной корреляционной функции

τω

τα−

cose , ряд 2 - )sin(cose

τω

+τω

τα−

, ряд 3 - )sin(cose

τω

−τω

τα−

Погрешности аппроксимации

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9

Ря д1

Ря д2

Ря д3

Рисунок 10.6. Зависимость погрешности аппрокси-

мации от значения параметра p-преобразования

143

Зависимость параметров аппроксимирующего выражения и погрешности ап-

проксимации нормированной корреляционной функции

(

)

τβ=τρ

τλ−

cose различ-

ными колебательными моделями N=1000, J

max

=110

Таблица 10.3

τω

τα−

cose

)sin(cose

τω

+τω

τα−

)sin(cose

τω

−τω

τα−

0,15 0,7957 5,2124 0,3802 0,7909 5,4186 0,3828 0,7856 5,1074 0,3916

0,3 1,3591 5,0029 0,1514 1,3751 5,4569 0,2156 1,3265 4,77 0,1955

0,45 0,8242 4,6374 0,1376 0,8099 4,8729 0,2013 0,8126 4,5158 0,1309

0,6 1,1761 4,94 0,0881 1,1671 5,288 0,1472 1,1512 4,7633 0,1769

0,75 1,046 5,0577 0,0482 1,0387 5,3396 0,0923 1,0236 4,9177 0,162

0,9 1,0679 5,0044 0,0559 1,0601 5,2993 0,138 1,0461 4,8559 0,1352

На рисунке 10.7 ряд 1 соответствует нормированной корреляционной функции

τω

τα−

cose , ряд 2 - )sin(cose

τω

+τω

τα−

, ряд 3 - )sin(cose

τω

−τω

τα−

Погрешности аппроксимации

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Ря д1

Ря д2

Ря д3

Рисунок 10.7. Зависимость погрешности аппрок-

симации от значения параметра p-преобразования

144

11. АППРОКСИМАЦИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И СПЕКТРАЛЬ-

НЫХ ПЛОТНОСТЕЙ МОЩНОСТИ НЕЭКВИДИСТАНТНЫХ

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ

ФУНКЦИЯМИ ЛАГЕРРА

Цель работы:

изучение методов и приобретение практических навыков ап-

проксимации корреляционных функций и спектральных плот-

ностей мощности неэквидистантных временных рядов орто-

гональными функциями Лагерра.

11.1. Теоретические основы лабораторной работы

В решении этой задачи возникает необходимость

при обработке результатов

научных исследований, комплексных испытаний с целью построения аналитических

моделей корреляционных функций и спектральных плотностей неэквидистантных

временных рядов, когда априори неизвестен вид модели корреляционной функции

или погрешность аппроксимации не устраивает исследователя.

Теоретическое обоснование метода описано в лабораторной работе 7, а специ-

фика аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик неэквидистантных

временных рядов – в

лабораторной работе 10.

Для выполнения лабораторной работы необходимо изучить АИС для аппрок-

симативного анализа корреляционно-спектральных характеристик (см. приложение

П.23).

11.2. Задание на самостоятельную работу

1. Сгенерировать неэквидистантный временной ряд с заданными видом корре-

ляционной функции и моделью нерегулярной дискретизации со следующими пара-

метрами -

[]

τΔ

= /entJ

maxkmax

, N=1000, 02,0

2. Вычислить корреляционную функцию.

3. Построить фазовый портрет корреляционной функции.

4. Определить оптимальные значения параметров аналитического выражения

корреляционной функции

m,b...,b,

α , воспользовавшись методами Симпсона.

Определить погрешности аппроксимации.

5. Определить спектральную плотность мощности и частоту, соответствую-

щую максимуму спектральной плотности мощности.

6. Повторить пункты 1-5 для объёма выборки N=5000 (остальные параметры

остаются без изменения)

7. Проанализировать зависимость погрешности оценки параметров корреля-

ционной функции и аппроксимации от параметра нерегулярной дискретизации

8. Повторить пункты 1-5 для объёма выборки N=1000, 2/JJ

max1max

= .

9. Проанализировать зависимость погрешности аппроксимации корреляцион-

ной функции при заданном

1max

от значения параметра нерегулярной дискретиза-

ции.

145

11.3. Содержание отчёта

1. Цель работы.

2. Методы и алгоритмы аппроксимации корреляционных функций ортого-

нальными функциями Лагерра.

3. Пример экранной формы построения фазового портрета.

4. Примеры экранных форм для аппроксимации корреляционных функций и

спектральных плотностей мощности ортогональными функциями Лагерра.

5. Зависимости оценки параметров аналитического выражения и погрешности

аппроксимации от параметра

нерегулярной дискретизации в табличной и графиче-

ской формах.

6. Выводы по работе.

Пример оформления результатов выполненной лабораторной работы приведен

ниже для

()

τ=τρ

τ−

5cose

Рисунок 11.1. Экранная форма фазового портрета корреляционной функции неэквиди-

стантного временного ряда N=1000, p=0,15

146

Рисунок 11.2. Экранная форма аппроксимации корреляционных функций

ортогональными функциями Лагерра N=1000, p=0,15

Рисунок 11.3. Экранная форма аппроксимации спектральной плотности ортогональными

функциями Лагерра N=1000, p=0,15

147

Зависимость параметров аппроксимирующего выражения и погрешности ап-

проксимации нормированной корреляционной функции

(

)

τ=τρ

τ−

5cose

Таблица 11.1

N=1000, Jmax=38 N=5000, Jmax=38 N=1000, Jmax =19

0,15 21,4748 24 0,4861 21,4748 18 0,2256 18,7769 14 0,2273

0,3 12,0806 16 0,1783 13,7151 14 0,132 14,8735 14 0,1978

0,45 13,4674 14 0,1296 13,6259 14 0,0923 13,3098 14 0,0716

0,6 13,8032 24 0,137 13,9906 14 0,076 14,3205 16 0,111

0,75 13,7007 14 0,085 13,9279 14 0,0726 14,7539 14 0,1186

0,9 13,0102 14 0,0712 14,2312 14 0,073 14,0854 14 0,0764

На рис. 11.4 ряд 1 соответствует следующим параметрам:

()

τ=τρ

τ−

5cose

N=5000, Jmax=38, ряд 2 – N=1000, Jmax=19, ряд 3 – N=1000,

Jmax=38.

11.4. Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяется аппроксимация корреляционных функций не-

эквидистантных временных рядов ортогональными функциями Лагерра?

2. Из каких соображений выбирается начальное приближение параметра

при аппроксимации корреляционных функций неэквидистантного временного ряда

ортогональными функциями Лагерра?

3. В чём заключается специфика аппроксимации корреляционных функций

неэквидистантного временного ряда ортогональными функциями Лагерра?

Погрешности аппроксимации

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9

Ряд1

Ряд2

Ряд3

Рисунок 11.4. Погрешности аппроксимации

148

12. АППРОКСИМАТИВНЫЙ АНАЛИЗ ОБОБЩЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-

СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Цель работы:

изучение методов и приобретение практических навыков в

оценке обобщенных корреляционно-спектральных характери-

стик с использованием параметрических моделей.

12.1. Теоретические основы лабораторной работы

Оценка обобщенных корреляционных характеристик

По найденной корреляционной функции возможно определение обобщенных

корреляционных характеристик. К ним

относятся:

• показатель колебательности, равный числу пересечения «нуля» корреляци-

онной функции и используемый при оценке интервала дискретизации случайного

процесса, метрологическом анализе результатов оценивания вероятностных характе-

ристик;

• интервалы корреляции, определяющие длительность существования корре-

ляционной функции;

• корреляционные моменты, вводимые по аналогии с начальными моментами

законов распределения и используемые, например, для

идентификации процесса по

виду корреляционной функции.

Обобщенные корреляционные характеристики широко применяются при реше-

нии разнообразных прикладных задач связанных с:

• определением интервала дискретизации исследуемых процессов при циф-

ровых методах анализа;

• идентификацией случайного процесса по виду корреляционной функции;

• метрологическим анализом результатов измерения вероятностных характе-

ристик с целью получения оценок сверху

, инвариантных к виду корреляционной

функции исследуемого процесса.

Учитывая важность обобщенных корреляционных характеристик в прикладном

анализе случайных процессов, рассмотрим их более подробно.

Оценка показателя колебательности

Рассмотрим колебательную модель корреляционной функции

()

τω=τρ

τα−

cose . Введем безразмерную величину μ = ω

/α, равную отношению

частоты колебания корреляционной функции к показателю затухания и характери-

зующую число пересечений корреляционной функцией «нуля». Эта характеристика

называется показателем колебательности корреляционной функции. На рис. 12.1

представлены три нормированные корреляционные функции

()

τω=τρ

τα−

cose ,

имеющие показатели колебательности 1, 3, 5 соответственно.

Введенный показатель колебательности оказывается очень полезной характе-

ристикой и при исследовании других колебательных моделей корреляционных функ-

149

-0,75

-0,5

-0,25

0,25

0,5

0,75

1 6 11 16 21 26

(τ)

ций. Показатель колебательности, в общем случае, равен числу пересечения корреля-

ционной функции оси

на максимальном интервале корреляции.

Учитывая, что «хвост» корреляционной функ-

ции оценивается с большей погрешностью, по-

казатель колебательности целесообразнее опре-

делять по фазовым портретам. На рис. 12.2 при-

ведены примеры оценки показателя колебатель-

ности для колебательных моделей корреляцион-

ных функций. Он равен числу пересечения фа-

зового портрета оси

. Заметим, что для стацио-

нарных эргодических процессов

()

→τρ при

∞

→

. Следовательно, фазовый портрет за-

канчивается в точке с координатами (0,0).

Рисунок 12.2. К определению показателя колебательности

Рисунок 12.1