Пример решения задач по гидравлике на Маткаде
Подождите немного. Документ загружается.
Задача № 27.
Определить общий расход воды Q, поступающий по системе труб под напором Н=2,67м.
Диаметры труб: d
1
=0,1м; d
2
=d
3
=d
4
=0,075 м; длины труб: l
1
=80 м; l
2
=l
3
=l
4
=40 м. Местными потерями
напора пренебречь.
л/с 10
3
Пьезометр
H
2
H
l
2
4
, d
2
4
l
1
, d
1
H
1
Дано:
H 2.67 d
1
0.1 d
2
0.075
d
3
0.075 d
4
0.075 l
1
80 l
2
40 l
3
40
l
4
40 g 9.807 10
6
м
/с — вязкость воды при t=20 °C.
Коэффициент трения
будем вычислять по универсальной формуле
Альтшулля. Так как шероховатость труб
не задана, то будем считать её
равной нулю (турбулентный режим, область гидравлически гладких труб)
Re=
4 Q
d
= 0.1
4
1.46
d
100
Re
= 10
1
4
100
Re
=
4
10
2
10
4
d
4 Q
=
4
d
400 Q
Когда задан напор, а расход (или диаметр) неизвестен, задача в общем виде (т. е. при
0) решается методом последовательных
приближений. Обозначим: H
1
— потеря напора в первой трубе, H
2
— напор в точке разветвления труб, а так же потеря напора в
трубах 2
4. Составим систему из девяти уравнений с девятью неизвестными и решим её на компьютере численно (методом
последовательных приближений) по следующей программе:
H
2
1
1
0.05
2
0.05
3
0.05 Q
1
0.1 Q
2
0.1 Q
3
0.1 Q
4
0.1
4
0.1
given
1
4
d
1
400 Q
1
2
4
d
2
400 Q
2
3
4
d
3
400 Q
3
4
4
d
4
400 Q
4
H H
2
8 Q
1
2
2
g
1
l
1
d
1
5
H
2
8 Q
2
2
2
g
2
l
2
d
2
5
H
2
8 Q
3
2
2
g
3
l
3
d
3
5
H
2
8 Q
4
2
2
g
4
l
4
d
4
5
Q
1
Q
2
Q
2
Q
4
x find H
2
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
1
2
3
4
H
2
x
0
H
2
0.595
Q
1
x
1
Q
1
14.32 л/с Q
2
x
2
Q
2
4.773 л/с Q
3
x
3
Q
3
4.773 л/с
Q
4
x
4
Q
4
4.773 л/с
1
x
5
1
0.015303
2
x
6
2
0.018743
3
x
7
3
0.018743
4
x
8
4
0.018743
Re
1
4 Q
1
d
1
Re
2
4 Q
2
d
2
Re
1
1.8233 10
5
Re
2
0.8104 10
5
Если диаметры d
2
=
d
3
=
d
4
и длины l
2
=
l
3
=
l
4
, то тогда и расходы равны:
Q
2
= Q
3
= Q
4
=
Q
1
3
1
=
4
d
1
400 Q
1
Коэффициенты сопротивления трения
тоже будут равны:
2
=
3
=
4
2
=
3
=
4
=
4
3
d
2
400 Q
2
Тогда получается система с двумя неизвестными, которую легко
решить аналитически (сразу, без последовательных приближений)
H H
2
=
8 Q
1
2
2
g
1
l
1
d
1
5
H
2
=
8 Q
1
2
3
( )
2
g
2
l
2
d
2
5
H=
8 Q
1
2
2
g
4
d
1
400 Q
1
l
1
d
1
5
1
9
4
3
d
2
400 Q
1
l
2
d
2
5
=
8 Q
1
1.75
4
2
g
20
l
1
d
1
4.75
4
3
9
l
2
d
2
4.75
=
4
4
Q
1
7
2
g
5
l
1
4
d
1
19
4
3
9
l
2
4
d
2
19
Q
1
2
g
H
20
8
4
l
1
d
1
4.75
4
3
9
l
2
d
2
4.75
4
7
Q
1
0.01432016 Q
1
14.32 л/с
Ответ: общий расход воды (м
3
/с).
Q
1
1.432 10
2
Формулу для Q
1
можно ещё упростить:
Q
1
2
7
25
2
g H
l
1
d
1
4.75
4
3
9
l
2
d
2
4.75
4
Q
1
14.32 л/с
cursovoy.narod.ru
Задача № 28.
Определить, при какой разности уровней воды в баках h по системе труб будет протекать расход воды Q=14 л/с.
Диаметры труб d
1
=0,1 м; d
2
=0,075 м; d
3
=0,075 м; d
4
=0,125 м. Длины труб l
1
=50 м; l
2
=40 м; l
3
=25 м; l
4
=30 м.
l
4
, d
4
l
3
,d
3
l
1
,
d
1
h
h
4
h
2
=
h
3
h
1
l
2
,d
2
Дано:
d
1
0.1 м d
2
0.075 м d
3
0.075 м
d
4
0.125 м l
1
50 м l
2
40 м
l
3
25 м l
4
30 м Q 0.014 Q 14 л/с
10
6
м
/с — вязкость воды
1000
кг/м
3
— плотность воды
g 9.807
м/с
2
— ускорение свободного падения
Обозначим: h
1
— потеря напора в первой трубе, h
2
= h
3
— потеря напора во
второй и в третьей трубе (так как трубы соединены параллельно, то эти
напоры равны), h
4
— потеря напора в четвёртой трубе. Коэффициент трения
найдём по универсальной формуле Альтшулля. Так как шероховатость
не задана, поэтому cчитаем её равней нулю:
=0 (турбулентный режим,
область гидравлически гладких труб , число Рейнольдса 2320 < Re < 10·d/
.)
h = h
1
h
2
h
4
Q = Q
1
= Q
2
+ Q
3
= Q
4
h
2
= h
3
= 0,1
4
1.46
d
100
Re
= 10
1
4
100
Re
=
4
10
2 4
d
4 Q
=
4
d
400 Q
1
4
d
1
400 Q
4
4
d
4
400 Q
1
0.01539
4
0.01627
Так как расходы через первую и четвёртую трубы известны, то потери напоров на этих трубах можно найти сразу:
h
1
8 Q
2
1
l
1
2
g
d
1
5
h
4
8 Q
2
4
l
4
2
g
d
4
5
h
1
1.247 м h
2
=
8 Q
2
2
2
l
2
2
g
d
2
5
h
3
=
8 Q
3
2
3
l
3
2
g
d
3
5
h
4
0.259 м
Чтобы найти потерю напора на второй (или третьей) трубе, нужно найти распределение общего расхода Q между этими трубами.
Для этого составим систему из 4 уравнений с 4 неизвестными: Q
2
, Q
3
,
2
,
3
и решим её аналитически:
Возьмём первое уравнение и подставим в него
коэффициенты
, выраженные через
соответствующие расходы (уравнения 2 и 3).
Получим систему из двух линейных уравнений:
Q
2
2
2
l
2
d
2
5
=
Q
3
2
3
l
3
d
3
5
2
=
4
d
2
400 Q
2
3
=
4
d
3
400 Q
3
Q
2
Q
3
= Q
Q
2
1.75
l
2
d
2
4.75
=
Q
3
1.75
l
3
d
3
4.75
Q
2
7
l
2
4
d
2
19
=
Q
3
7
l
3
4
d
3
19
Q
2
= Q
3
l
3
l
2
4
7
d
2
d
3
19
7
= k
Q
3
k
7
l
3
l
2
4
d
2
d
3
19
k 0.7644692304
Q
2
Q
3
= Q Q
2
= k Q
3
Подставляем Q
2
из второго уравнения в первое и получаем уравнение для Q
3
:
k 1( ) Q
3
= Q
Q
3
Q
k 1
Q
3
7.93439710
3
Q
3
7.934 л/с Q
2
k Q
3
Q
2
0.006066 Q
2
6.066 л/с
2
4
d
2
400 Q
2
3
4
d
3
400 Q
3
h
2
8 Q
2
2
2
l
2
2
g
d
2
5
h
2
0.905 м h
3
8 Q
3
2
3
l
3
2
g
d
3
5
h
3
0.905 м
h
2
904.847 мм h
3
904.847 мм
2
0.017653
3
0.016507
h h
1
h
2
h
4
h 2.411 м h 2410.577 мм
Ответ:
h 2.411 м
Компьютерное решение системы методом последовательных приближений: Возьмём в качестве нулевых приближений следующие
значения неизвестных V
2
, V
3
,
2
,
3
: (Предполагаемые значения, необходимы программе, чтобы начать процесс итераций –
последовательных приближений)
2
0.01
3
0.01 V
2
0.01 V
3
0.01
given
V
2
2
2
l
2
d
2
5
V
3
2
3
l
3
d
3
5
2
4
d
2
400 V
2
3
4
d
3
400 V
3
V
2
V
3
Q
x find V
2
V
3
2
3
V
2
x
0
V
3
x
1
2
x
2
3
x
3
V
2
6.066 л/с V
3
7.934 л/с
2
0.017653
3
0.016507 V
2
V
3
14 л/с
Контрольные и курсовые работы по высшей математике, общей физике,
всем общетехническим предметам на сайте
cursovoy.narod.ru
м 1 л/с 0.001 мм 0.001
Задача № 29.
Определить расход воды V, протекающей из верхнего в нижний резервуар по системе труб, показанной на схеме.
Разность уровней воды в баках H=8 м, диаметры труб (в мм) указаны на схеме. Длины труб: l
1
=90м, l
2
=130м, l
3
=130м.
l
1
l
3
l
2
d
3
= 200
H
1
=H
2
H
3
пьезометр
d
2
= 150
H
d
1
= 100
Дано:
l
1
90 м l
2
130 м l
3
130 м
d
1
100 мм d
2
150 мм d
3
200 мм
H 8 d
1
0.1 м d
2
0.15 м d
3
0.2 м
d
1
100 мм d
2
150 мм d
3
200 мм
g 9.807
м/с
2
— ускорение свободного падения.
1000
кг/м
3
— плотность воды.
10
6
м
2
/с — вязкость воды при t=20 °C.
Обозначим: H
1
=H
2
— потеря напора на первой и второй трубах (так как эти трубы соединены параллельно, то потери напора на них
должны быть равны), H
3
— потеря напора на третьей трубе. V
1
— расход воды через первую трубу, V
2
— расход воды через вторую
трубу. Очевидно, что H=H
2
+H
3
=H
1
+H
3
, V=V
1
+V
2
. Когда задан напор, а расход (или диаметр) неизвестен, то задача (в общем
виде) решается методом последовательных приближений. Коэффициент трения
будем вычислять по универсальной формуле
Альтшулля. Так как шероховатость труб
не задана, то считаем её равной нулю:
=0 (т. е. предполагаем, что режим течения
турбулентный, область гидравлически гладких труб (то есть число Рейнольдса Re лежит в пределах от 4000 до 10·d/
)).
= 0,1
4
1,46
d
100
Re
=
1
10
4
100
Re
=
4
d
400 V
где Re — число Рейнольдса – находится по формуле:
Re =
4 V
d
Составим систему из девяти уравнений с девятью неизвестными, пренебрегая местными потерями напора (на входе, выходе,
поворотах и в тройнике).
2
=
4
d
2
400 V
2
3
=
4
d
3
400 V
H
1
=
8 V
1
2
1
l
1
2
g
d
1
5
H
2
=
8 V
2
2
2
l
2
2
g
d
2
5
1
=
4
d
1
400 V
1
H
1
= H
2
H = H
1
H
3
V= V
1
V
2
Эту систему можно решить аналитически:
Возьмём шестое уравнение (H
1
=H
2
) и выразим эти потери через соответствующие расходы V
1
иV
2
из уравнений
4 и 5, подставив в них коэффициенты трения из уравнений 1 и 2 соответственно. Получим уравнение,
связывающее расходы V
1
иV
2
, т. е. найдём распределение общего расхода V между первой и второй трубами.
H
3
=
8 V
2
3
l
3
2
g
d
3
5
8 V
1
2
1
l
1
2
g
d
1
5
=
8 V
2
2
2
l
2
2
g
d
2
5
V
1
2
l
1
d
1
5
4
d
1
400 V
1
=
V
2
2
l
2
d
2
5
4
d
2
400 V
2
V
1
2
l
1
d
1
5
4
d
1
V
1
=
V
2
2
l
2
d
2
5
4
d
2
V
2
V
1
7
l
1
4
d
1
19
=
V
2
7
l
2
4
d
2
19
V
1
7
= V
2
7
l
2
l
1
4
d
1
d
2
19
V
1
= V
2
7
l
2
l
1
4
d
1
d
2
19
= k
V
2
k
7
l
2
l
1
4
d
1
d
2
19
k 0.410483434728355 V V
1
V
2
k 1( ) V
2
Возьмём седьмое уравнение (H=H
1
+H
3
) и подставим в его
правую часть потери H
1
иH
3
, выраженные через расход V
2
во второй трубе. Получим уравнение для расхода V
2
:
H = H
1
H
3
=
8 V
1
2
l
1
2
g
d
1
5
4
d
1
400 V
1
8 V
2
l
3
2
g
d
3
5
4
d
3
400 V
=
4 V
2
2
2
g
4
V
2
k
2
l
1
d
1
5
4
d
1
25 k
k 1( )
2
l
3
d
3
5
4
d
3
25 k 1( )
2
5
g
H
4
4
=
k
2
l
1
d
1
5
4
d
1
k
k 1( )
2
l
3
d
3
5
4
d
3
k 1
V
2
7
4
V
2
2
7
25
2
g H
l
1
4
k
7
d
1
19
l
3
4
k 1( )
7
d
3
19
4
V
2
0.056685 V
2
56.685 л/с
Зная расход V
2
, можем найти остальные расходы из ранее найденных соотношений:
V
1
k V
2
V
1
0.023268
(м
3
/с)
V
1
23.268 л/с
V V
1
V
2
V 0.079953
(м
3
/с)
V 79.953 л/с V k 1( ) V
2
V 79.953 л/с
Ответ:
V 80 л/с
Re
1
4 V
1
d
1
Re
1
296258.123 Re
2
4 V
2
d
2
Re
2
481153.193 Re
3
4 V
d
3
Re
3
508993.956