Практическая работа №3 - Системы массового обслуживания

Подождите немного. Документ загружается.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра геоинформационных систем

Отчет

по практической работе № 3

по дисциплине «Математические основы системного анализа»

«Системы массового обслуживания»

Выполнил:

студент гр. ИСТ-312

Кутушев Ш.Х.

Проверил:

проф. Гвоздев В.Е.

Уфа 2010

Цель

Изучение систем массового обслуживания, классификация СМО, анализ

эффективности СМО.

Вариант 6

Задание 1.

n

канальная СМО с отказами

Количество каналов:

= 7

Интенсивность потока заявок:



Среднее время обслуживания:

об

=1,5

Постановка задачи: имеется

=7 каналов (линий связи), на которые поступает поток

заявок с интенсивностью



=3. Среднее время обслуживания заявки

об

=1.5

По характеристикам СМО требуется определить:

1) Финальные вероятности состояний;

2) Вероятность того, что поступившая заявка получит отказ;

3) Относительную пропускную способность СМО;

4) Абсолютную пропускную способность СМО;

5) Среднее число занятых каналов;

Решение:

Поток обслуживаний имеет интенсивность

67,0

об





Всего может быть

+1=8 состояний. Их будем нумеровать по числу заявок, находящихся

в системе:

– в СМО нет ни одной заявки;

– в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

- в СМО находится 7 заявок (все 7 каналов заняты).

Приведенная интенсивность потока:

5,4







Рассчитаем финальные вероятности:

000138,0)

...









0,000621*

 pp



0,001397

 pp



0,004192

 pp



0,014147

 pp



0,050929

 pp



0,190887

 pp



0,736663

 pp



В сумме они дают 1.

Рассчитаем вероятность того, что поступившая заявка получит отказ. Это соответствует

ситуации, когда все 7 каналов заняты.

0,736663

 pp

отк

Относительная пропускная способность СМО - вероятность того, что заявка будет

обслужена.

0,2633370,7366631 

отк

Абсолютная пропускная способность СМО - число обслуживаемых заявок в единицу

времени. Она равна интенсивности потока заявок умноженной на относительную

пропускную способность.

79,0263337,03*  QA



Среднее число занятых каналов:

185,1



Задание 2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Интенсивность поступления заявок: 7

Интенсивность обслуживания заявок: 8

Постановка задачи: Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено

никаких ограничений. На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью



= 7, поток

обслуживания имеет интенсивность



= 8.

По характеристикам СМО требуется определить:

1) Финальные вероятности состояний;

2) Среднее число заявок в системе;

3) Среднее время пребывания заявки в системе;

4) Среднее число заявок в очереди;

5) Среднее время пребывания заявки в очереди;

6) Степень загрузки канала.

Решение:

Всего может быть бесконечное число состояний, так как вместимость очереди бесконечна

велика. Их будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе:

– канал свободен;

– канал занят (обслуживает заявку), очереди нет;

– канал занят, одна заявка стоит в очереди;

– канал занят,

-1 заявка стоят в очереди;

Для того, чтобы финальные вероятности существовали, требуется соблюдение условия

1







Проверим это условие:









Условие соблюдается - финальные вероятности существуют. Рассчитаем их:

125,01

...)...1(

























109,0*

 pp



096,0*

 pp



…

* pp





…

Среднее число заявок в системе:

сист









Среднее время пребывания заявки в системе:

систсист

 LW



Среднее число заявок в очереди:

125,6

оч









Среднее время пребывания заявки в очереди:

875,0

очоч

 LW



Степень загрузки канала равна вероятности того, что канал занят:

875,0125,011

0зан

 pp

Задание 3.

-канальная СМО с неограниченной очередью

Оценить целесообразность замены одной n-канальной СМО с неограниченной очередью,

предназначенной для обслуживания потока разнородных заявок, на совокупность n

одноканальных СМО с неограниченной очередью, предназначенных для обслуживания

однотипных заявок, при заданных характеристиках потоков заявок (интенсивности заявок

различных типов x

(i=1;m) полагается одинаковыми).

Количество каналов: 4

Количество заявок M: 4

Интенсивность заявок различных типов x

: 0,25

Среднее время обслуживания заявки любого типа (мин.): 3

Решение:

Вариант I: На четырехканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью





4 *

0,25 = 1. Интенсивность потока обслуживания





;

3







. Так как

0,754/ 



<1,

финальные вероятности существуют.

Значения финальных вероятностей состояния:

0,01)

)(!!

...

!2!1















nnn

Среднее число заявок в очереди:

43,2

)/1!*(*

оч









nnn



Среднее время, проводимое заявкой в очереди:

оч



оч

=2,43 (минут)

Вариант II: Надо рассмотреть четыре одноканальных СМО; на каждую поступает поток

заявок с интенсивностью

25.0



;





;

0,75/ 



<1. Финальные вероятности

существуют.

Так как системы одноканальные, рассчитаем среднюю длину очереди к одному окошку по

формуле:

оч

25,2







Среднее время пребывания заявки в очереди:

оч



оч

25,0

2,25=9 (минут)

Эффективнее первый вариант.

Вывод

В ходе данной практической работы ознакомились с системами массового

обслуживания. Были просмотрены

n

канальная СМО с отказами, одноканальная СМО с

неограниченной очередью и

-канальная СМО с неограниченной очередью.

Ответы на контрольные вопросы

1. Приведите примеры классификации систем массового обслуживания.

По количеству каналов обслуживания: одноканальные и многоканальные.

По характеру обслуживания заявок: с отказами и с очередями.

СМО с очередями делятся на ограниченные и неограниченные.

СМО с ограниченными очередями по дисциплине обслуживания делятся на

обслуживающие в случайном порядке, порядке поступления и приоритетном порядке

(последние делятся на абсолютные и относительные).

2. Какой содержательный смысл имеет понятие «финальная вероятность состояния»?

Это вероятность того, что в случайный момент времени СМО окажется в определенном

состоянии.

3. В чем заключается содержательный смысл формулы Литтла?

Для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени

обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в

системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока

заявок.

4. Перечислите и дайте содержательное толкование основных характеристик

эффективности СМО.

Среднее число заявок в СМО - это средняя разница между пребывшими в СМО и

покинувшими СМО заявками.

Среднее время пребывания заявки в СМО - это среднее время, в течении которого заявка

обслуживается.

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность - среднее число заявок, обслуживаемых в единицу

времени.

Вероятность отказа - вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной.

Среднее число занятых каналов.

Среднее число заявок в очереди - это средняя разница между пребывшими в СМО и

покинувшими очередь заявками.

Среднее время пребывания заявки в очереди - это среднее время между прибытием заявки

в очередь и началом ее обслуживания.

Степень загрузки канала - вероятность того, что канал занят.

5. Какой содержательный смысл имеет приведенная интенсивности потока заявок?

Ее смысл - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной

заявки.

6. Почему для одноканальной СМО с неограниченной очередью значение относительной

пропускной способности равно единице?

Относительная пропускная способность - это вероятность того, что заявка будет

обслужена. Так как очередь неограниченна, каждая заявка когда-либо будет обслужена, а

значит, вероятность ее обслуживания равна 1.

7. Каковы особенности анализа одноканальных СМО с неограниченной очередью

1



В этом случае СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот – регулярен, и

время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом

«идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят, и

будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или

потоку обслуживания стать случайным, очередь будет расти до бесконечности.

8. Почему в одноканальных СМО с неограниченной очередью при



<1 наиболее

вероятное число заявок в системе равно нулю?



< 1 значит, что за время обслуживания одной заявки приходит меньше одной новой

заявки, то есть канал не всегда занят. Поэтому вероятность того, что он свободен, выше

того, что он занят.

9. Приведите содержательные примеры сравнительного анализа эффективности

n

канальных и совокупности

n

одноканальных СМО с неограниченной очередью.

Из-за случайного характера поступления заявок в совокупности n-одноканальных СМО

могут быть состояния системы, когда обращения производятся к СМО, которая занята,

при наличии свободных СМО. При одной многоканальной СМО такого состояния быть не

может. Из-за этого эффективность одной многоканальной СМО всегда выше нескольких

одноканальных.