Поклонский Н.А., Горбачук Н.И. Основы импедансной спектроскопии композитов: курс лекций

Подождите немного. Документ загружается.

4. Эквивалентные электрические схемы замещения

Анализ зависимости

)(ωZ

можно выполнять различными спосо-

бами. Основным и самым наглядным является построение эквивалент-

ных схем (ЭС) замещения. Под эквивалентной схемой замещения по-

нимают модельную электрическую схему, составленную из идеализи-

рованных резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и име-

ющую ту же зависимость импеданса от частоты, что и исследуемый

образец ГС (в пределе одной заданной частоты — то же значение им-

педанса). Вид эквивалентной схемы замещения будет определяться не

Таблица 4.1

Связь между действительными и мнимыми частями импеданса

, адмиттанса

, диэлектрической проницаемости

и электричес кого модуля

()

′′

+ε

′

−

′′

+ε

′

′′

′

′′

′

′′

−

′′

′

−

′′

′

′′

′

′′

−

′′

′

ω=

′′

ω=

′

′′

′

′′

′

′′

′

()

ZZC

′′

′

=ε

′′

′

′′

−

=ε

′

=ε

′′

=ε

′

ZCM

′

ω=

′′

ω−=

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

+ε

′

′′

+ε

′

′′

′

′′

=ε

′′

′

=ε

′

ОСНОВЫ ИМПЕДАНСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ КОМПОЗИТОВ

только свойствами гетерогенной системы, но и диапазоном частот, в

котором ГС исследуется. При его расширении в эквивалентную схему

могут добавляться новые элементы, уточняющие и дополняющие ЭС.

Простейшим методиче ским приемом определения эквивалентной

схемы замещения является последовательное применение различных

представлений (см. табл. 4.1). На каждом этапе анализа рассматрива-

ют простейшую (например, двухэлементную — резистор и конденса-

тор) схему замещения. Определив численное значение емкости или

сопротивления какого-либо из элементов, его исключают из общего

измеренного импеданс а (адмиттанса и т. д.) и затем преобразуют ос-

таток в следующую схему (представление). Так поступают до тех пор,

пока не будут выяснены все параметры многокомпонентной эквива-

лентной схемы замещения.

Обычно измерения частотных зависимостей импеданса выполня-

ют в интервале частот от единиц Гц до десятков МГц. В случае необ-

ходимости используют неск олько специализированных приборов и рас-

ширяют диапазон в сторону низких частот до сотых долей Гц, в сторо-

ну высоких — до десятков ГГц. В общем случае, чем шире частотный

диапазон, тем точнее можно составить эквивалентную схему замеще-

ния. Следует иметь в виду, что удачный выбор ЭС предполагает не

только совпадение зависимостей

)(ωZ

исследуемого образца и экви-

валентной схемы замещения, но и согласованность ЭС с физической

моделью гетерогенной системы, а также с целью исследования. По-

этому уточнение ЭС путем добавления новых элементов не является

самоцелью. В ряде случаев необходимо ограничиться эквивалентной

сх емой более простой (содержащей меньшее число элементов), но зато

полнее соответствующей физической модели объекта. Возможные в

таком случае отклонения в частотных зависимостях импеданса ГС и

эквивалентной схемы устраняют, вводя, например, как в случае элект-

рохимических ячеек [26], дополнительные (по сравнению с обычны-

ми компонентами электрической цепи) элементы ЭС. Это полезно в

тех случаях, когда частотная зависимость импеданса образца ГС опи-

сывается относительно несложными уравнениями с небольшим чис-

лом параметров, а представление их в виде резисторов, конденсато-

ров и индуктивностей потребовало бы использования сложной ЭС.

4. Эквивалентные электрические схемы замещения

Типичными элементами эквивалентных схем такого рода являю тся эле-

мент постоянной фазы и элемент Варбурга, широко используемые при

анализе электрохимических ячеек.

Частотные зависимости импеданса ГС определяются многими фи-

зическими причинами, причем некоторые из них проявляются при

одних и тех же частотах. Перечислим несколько основных факторов,

влияющих на зависимость

)(ωZ

1. Электронные релаксационные процессы на границах раздела фаз.

Отличие значений удельной электропроводности и диэлектрической

проницаемости фаз, составляющих систему, приводит к поляризации

Максвелла – Вагнера, которая характеризуется определенным време-

нем релаксации, что проявляется в виде дисперсии импеданса ГС.

2. Дисперсия э лектрических харак теристик (уде льной электропро-

водности и диэлектрической проницаемости) фаз, входящих в ГС. На-

пример, прыжковая электропроводность зависит от частоты перемен-

ного тока. Поэтому если в одной из фаз композита возможен прыжко-

вый перенос заряда, то импеданс КМ будет зависеть от частоты.

3. Релаксационные процессы на границах раздела фаз, связанные с

переносом ионов и электрохимическими реакциями. Диффузия и элек-

трохимические реакции происходят с конечной скоростью, что приво-

дит к временной зависимости приэлектродных процессов и появле-

нию частотной дисперсии импеданса.

4. Наличие структурных (имеющих определенную геометрию) эле-

ментов с реактивным импедансом. Импеданс идеального конденса-

тора зависит от частоты

CiZ ω=1

. Поэтому даже в случае отсутствия

дисперсии электрических параметров фаз, со ставляющих гетероген-

ную систему, для образцов с различной г еометрией распределения ком-

понент ГС по ее объему будут наблюдаться разные частотные зависи-

мости импеданса.

Сложность зависимостей

)(ωZ

для ГС, с одной стороны, требует

тщательного анализа спектров импеданса, с другой — обусловливает

большую информативность импедансной спектроскопии. Выполнение

измерений на различных частотах, построение эквивалентных схем

замещения во всем исследуемом интервале частот и в выделенных диа-

пазонах, в которых максимально проявляются одни факторы и мини-

ОСНОВЫ ИМПЕДАНСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ КОМПОЗИТОВ

мизированы другие, а также сравнение эквивалентных схем замеще-

ния с физической моделью гетерогенной системы позволяет разгра-

ничить влияние многочисленных факторов на

и получить необхо-

димую экспериментатору информацию. В тех случаях, когда интерес

представляет какое-либо одно свойство ГС, например зависимость от

частоты прыжковой электропроводности “металлической” фазы, мож-

но ограничиться меньшим диапазоном частот, в котором именно этот

механизм определяет ход

)(ωZ

. Иными словами, при наличии допол-

нительных сведений, полученных в ходе предварительных измерений

ГС на переменном токе, либо при помощи других экспериментальных

методик (электронная, туннельная микроскопия, электронный пармаг-

нитный резонанс и т. п.), частотный диапазон можно существенно

ограничить.

Используя импедансную спектр оскопию, нужно иметь в виду, что

от дельно взятый спектр импеданса трудно интерпретировать однознач-

но, даже на уровне поиска эквивалентной схемы (спектры совершен-

но разных электрических цепей могут быть очень похожими). Допол-

нительную информацию для уточнения эквивалентных схем замеще-

ния и ана лиза ГС можно получить, проводя измерения частотных за-

висимостей

в различных условиях. Например, при разных темпе-

ратурах или при дополнительном наложении внешней электрической

разности потенциалов. При этом изменяются вклады разных факто-

ров в полный отклик системы на воздействие переменным ток ом, что

позволяет, во-первых, более надежно определить тип эквивалентной

схемы, во-вторых, проследить за изменением каждой из составляю-

щих отклика, связанной с определенным элементом эквивалентной

схемы. Особенно продуктивен такой подход при изучении электрохи-

мических реакций в тонком приэлектродном слое и продуктов таких

реакций [27, 28].

Составить наглядное представление о поведении частотной зави-

симости

можно, построив его годограф. Под годографом будем по-

нимать траекторию, описываемую на комплексной плоскости векто-

ром

. В качестве примера рассмотрим далее несколько простейших

эквивалентных схем замещения, составленных из резисторов и кон-

денсаторов, и пост роим годографы их импеданса.

4. Эквивалентные электрические схемы замещения

4.2. Параллельная RC-схема замещения

При параллельном соединении элементов электрической цепи их

проводимости складываются. Поэтому при известных сопротивлении

резистора и емко сти конденсатора для RC-цепи, изображенной на

рис. 4.1, складываются обратные величины активного и реактивного

(емкостного) сопротивлений и рассчитывается адмиттанс:

CiRY ω+= /1

, (4.1)

где

RY /1=

′

— действительная часть адмиттанса;

CY ω=

′′

— мни-

мая часть; R

— сопротивление резистора; C

— емк ость конденса тора.

Откладывая в комплексной плоскости значения действительной и

мнимой частей

для каждой частоты, можно построить годограф ад-

миттанса (рис. 4.2). Он представляет собой параллельный оси

′′

луч,

выходящий из точки 1/R

на оси

′

Импеданс

параллельной RC-цепи вычисляют как величину, об-

ратную адмиттансу

()

RCi

CiRYZ

ω+

=ω+==

−

/11

после чего разделяют действительную и мнимую части:

()

()()

ppp

RCiR

RCi

ω+

−

ω+

ω−

ω+

(4.2)

Рис.4.2. Годограф адмиттанса па-

раллельной схемы замещения

Рис. 4.1. Параллельная схема за-

мещения

Y Y = ( )

ОСНОВЫ ИМПЕДАНСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ КОМПОЗИТОВ

Выписав отдельно выражения для действительной

′

и мнимой

′′

частей импеданса

()

ω+

′

, (4.3)

()

ω+

ω−

′′

, (4.4)

мо жно заметить, что они связаны друг с друг о м простым соотношением:

ZRCZ

′

ω−=

′′

. (4.5)

Используя (4.5) в виде

ZZRC

′′′

−=ω

, можно из (4.3) исклю-

чить угловую частоту ω:

()

1 ZZ

′′′

′

. (4.6)

Перене ся вс е величины в левую часть, получим равенство

′

()

=−

′′′

RZZ , которое после домножения обеих частей на

′

принимает вид

′

−

′′

′

RZZZ . (4.7)

Выражение (4.7) является уравнением окружности в декартовых

координатах. Для того чтобы привести его к стандартному виду (x

+ y

= r

, где r — радиус), перепишем (4.7) следующим образом:

222













′′













′

−

′

ppp

. (4.8)

Первые три члена в (4.8) образуют квадрат разно сти (

RZ −

′

тогда













′′













−

′

, (4.9)

4. Эквивалентные электрические схемы замещения

что представляет собой уравнение

окружности в координатах

′

—

′′

Физический смысл имеет только по-

луокружность, показанная на рис. 4.3

(годограф импеданса). Ее радиус ра-

вен R

/2, а центр расположен на оси

′

на расстоянии R

/2 от начала ко-

ординат. Если частота переменного

тока ω увеличивается (в пределе ω →

→∞), то импеданс параллельной RC-

цепи (рис. 4.1) стремится к нулю, т. е.

конденсатор шунтирует резистор.

При нулевой частоте импеданс кон-

денса тора бесконечно велик, весь ток

протекает через резистор и, соответ-

ственно,

RZZ

≈

′

≈

4.3. Последовательная RC-схема замещения

При последовательном соединении элементов цепи складываются

их сопротивления. Поэтому при известном сопротивлении R

резисто-

ра и емкости C

конденс атора для последовательной RC-цепи, изобра-

женной на рис. 4.4, выполняют сложение величин омического и емко-

стного сопротивлений, определяя тем самым импеданс:

CiRZ ω+= 1

, (4.10)

где

RZ =

′

— действительная часть импеданс а;

CZ ω−=

′′

— мни-

мая часть импеданса. Откладывая в комплексной плоскости значения

действительной и мнимой частей

для каждой частоты, можно по-

строить годограф импеданса (рис. 4.5). Он представляет собой луч,

выходящий из точки R

на оси

′

и параллельный оси

′′

Адмиттанс

последовательной RC-цепи вычисляют как величи-

ну, обратную импедансу

()

RCi

CiRZY

ω+

=ω+==

−

. (4.11)

Рис. 4.4. Последова тельная схе-

ма замещения

Рис. 4.3. Годограф импеданса

параллельной схемы замещения

−

C R = 1

R 2

ZZ = ( )

ОСНОВЫ ИМПЕДАНСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ КОМПОЗИТОВ

После выделения действительной и мнимой частей в выражении (4.11)

получаем:

()

sss

RCiCi

RCi

ω+

ω−ω

ω+

(4.12)

Тогда действительная

′

и мнимая

′′

части адмиттанса соответ-

ственно равны

()

ω+

′

, (4.13)

()

ω+

′′

. (4.14)

Из (4.13) и (4.14) видно, что

′

′′

связаны друг с другом соот-

ношением

YRCY

′′

ω=

′

. (4.15)

Выражение (4.15) в виде

()

RYYC

′′′

=ω

можно использовать для

исключения из (4.13) частоты ω:

Рис. 4.5. Годограф импеданса

последова тельной сх емы заме-

щения

Рис. 4.6. Годограф адмиттанса

последовательной схемы за-

мещения

−

Z Z = ( )

C R = 1

1 R

12 R

Y Y = ( )

4. Эквивалентные электрические схемы замещения

()

1 YY

RYY

′′′

′′

. (4.16)

Выполнив незначительные преобразования (4.16) и перенеся все ве-

личины в правую часть, получим равенство:

′

′′

RYYY

. (4.17)

Добавив (1/2R

)

в лев ую и правые части выражения (4.17), по лучим:













′′













′

−

′

sss

. (4.18)

В правой части (4.18) можно выделить квадрат разности. Тогда вы-

ражение для годографа адмитт анса будет иметь вид:













′′













−

′

. (4.19)

Уравнение (4.19) описывает в первом квадранте комплек сной плос-

кости полуокружность с центро м , лежащим на оси

′

в точке, отстоя-

щей от начала координат на 1/2R

. Радиус окружности равен 1/2R

(рис. 4.6). Как следует из рис. 4.6, в пределе высоких частот

/1→

Эт о означает, что при ω → ∞ импеданс к онденсат ора в последователь-

ной RC-цепи (рис. 4.5) много меньше импеданса резистора. При ω → 0

(т. е. на посто янно м токе) Y → 0, пров одимость цепи блокирована кон-

денса торо м.

Рассмотренные в пунктах 4.1 и 4.2 настоящего параграфа последо-

вательная и параллельная схемы замещения часто используются для

представления результатов измерений композитов на переменном токе.

Как следует из (4.1) и (4.10), импеданс и адмиттанс однозначно опре-

деляются заданием значений R

, C

, или G = 1/R

, C

. Выбор парал-

лельной либо по следовательной схемы замещения о ст ается на ус-

мотрение экспериментатора. При выборе ЭС обычно руководствуют-

ся возможностями экспериментальной установки, физической моде-

лью образца и величиной его импеданса. Часто для представления ре-

зультатов измерений низкоомных образцов используют паследов атель-

ную ЭС, а высокоомных — параллельную. Зная частоту ω, сопротив-

ОСНОВЫ ИМПЕДАНСНОЙ СПЕКТРОСКОПИИ КОМПОЗИТОВ

ление R

и емко сть C

в параллельной эквивалентной схеме замеще-

ния, можно рассчитать сопротивление R

и емкость C

в последова-

тельной схеме замещения, и наоборот:

()













; (4.20)

()

ω+

; (4.21)

()

ω+

; (4.22)

()













. (4.23)

Поясним смысл выражений (4.1 – 4.4). Любой образец компози-

ционного материала (гетерогенной системы), подключенный к цепи

переменного тока с частотой ω, характеризуется комплексным импе-

дансом

. Как было показано в параграфе 3, импеданс однозначно

задается в комплексной пло скости вектором, имеющим длину Z и

повернутым на угол ϕ относительно действительной оси. Для образ-

ца с импедансом

можно подобрать простейшую (т. е. состоящую

из минимального числа элементов) эквивалентную схему замещения,

имеющую тот же

, т. е. ту же длину вектора и тот же угол поворота.

Подобная схема должна обязательно содержать элемент с активным

сопротивлением (резистор) и элемент с реактивным сопротивлени-

ем (конденс атор или катушку индуктивности). Причем эти два эле-

мента могут быть соединены как по следовательно, так и параллель-

но. И в том , и в другом случае при известной (фиксированной) час-

тоте ω, “подбирая” номиналы резистора и конденс атора (катушки

индуктивности), можно добиться полного совпадения импеданса про-

стейшей эквивалентной схемы замещения и импеданса исследуемо-

го образца.