Плотников В.С. Геодезические приборы

Подождите немного. Документ загружается.

Ошибку наклона горизонтальной оси обычно отождествляют с ошиб-

кой неперпендикулярности горизонтальной и вертикальной осей, что не

совсем строго, так как неперпендикулярность осей — не единственная

причина, приводящая к наклону горизонтальной оси. Именно поэтому

влияние наклона горизонтальной оси на горизонтальное направление

нельзя методически полностью исключить измерениями при двух поло-

жениях круга.

При рассмотрении классификации ошибок осевых систем было

указано, что ошибка наклона горизонтальной оси обусловлена тремя

составляющими: 1) колебания наклона собственно горизонтальной оси

из-за ошибок изготовления ее элементов; 2) неперпендикулярность го-

ризонтальной и вертикальной осей (неравенство подставок цапф);

3) наклон горизонтальной оси из-за наклона вертикальной оси.

Из этих трех составляющих знакопеременной при двух положениях

круга является лишь вторая и, следовательно, лишь влияние наклона,

вызванное неперпендикуляриостыо горизонтальной и вертикальной осей,

может быть устранено измерениями горизонтального направления при

двух положениях круга. Для большинства геодезических измерений,

когда углы места а невелики, видимо, это оказывалось достаточным.

Однако при астрономических измерениях тщательно исследуются

ошибки цапф, в кинотеодолитах — подшипники горизонтальной оси,

к изготовлению которых предъявляются требования на грани техниче-

ских возможностей. А именно погрешности изготовления этих элемен-

тов приводят к случайным колебаниям наклона собственно горизонталь-

ной оси по отношению к оси вертикальной. В астрономических прибо-

рах эту составляющую наклона горизонтальной оси, как, впрочем, и

все другие, определяют по отсчетам накладного уровня и вводят соответ-

ствующие поправки в результаты измерений по формулам (3.5) и

(3.6).

То же самое можно сказать и об ошибке наклона горизонтальной

оси, вызванной наклоном вертикальной оси прибора. Эта часть ошибки

также не является знакопеременной при двух положениях круга, но

в отличие от первой ее величина может быть существенной. Поэтому

установка вертикальной оси в отвесное положение должна быть тщатель-

ной, а качество вертикальной оси достаточно высоким. При сравнитель-

но небольших углах места а в обычных геодезических измерениях

не испытывают необходимости принятия дополнительных мер. Но в аст-

рономических измерениях отсчеты по накладному уровню и введение

поправок за наклон горизонтальной оси являются обязательной частью

программы наблюдений. Принимаются соответствующие меры по умень-

шению влияния этой ошибки и при измерениях высокоточными кино-

теодолитами.

§ 15. Ошибка наклона вертикальной оси прибора

Во многих источниках [6, 15] ошибку наклона вертикальной оси угло-

мерного прибора не относят к инструментальным, считая, что она проис-

ходит лишь из-за ошибок установки вертикальной оси в отвесное поло-

жение по уровню. Однако при вращении прибора вокруг вертикальной

оси по азимуту к систематической ошибке установки вертикальной оси

в отвесное положение по уровню неизбежно добавляется случайная

ошибка наклона вертикальной оси из-за ошибок изготовления собствен-

но вертикальной оси. Не случайно к точности изготовления вертикаль-

ных осей теодолитов и других угломерных приборов предъявляются

весьма высокие требования. Изменение наклона вертикальной оси вы-

сокоточных теодолитов при повороте алидады на 360° не превышает,

как правило, 1 " - 3".

Наклон вертикальной оси приводит к наклону горизонтальной оси,

и это вызывает основную составляющую ошибки в измерении горизон-

тального направления. Наклон вертикальной оси на угол v вызывает

ошибку в измерении направлений (за счет наклона горизонтальной оси)

горизонтального

(v)

= v sin А

tga, (3.7)

вертикального

(v)'

= -у^

sin

tga

sin

а. (3.8)

Кроме того, наклон собственно вертикальной оси вносит ошибку в из-

мерение вертикального угла

(v)'

= vcosA

. (3.9)

В этих выражениях угол А

- угол, составленный направлением плоско-

сти наклона вертикальной оси по отношению к плоскости измерений

(плоскости визирной оси). Так, при А

= 0 и А

= 180° вертикальная

ось наклонена в плоскости измерений, следовательно, горизонтальная

ось не получила наклона и ошибки за счет наклона горизонтальной оси

по формулам (3.7) и (3.8) равны нулю. Но ошибка в вертикальном

угле,

вычисленная по формуле

(3.9),

в этом случае будет максимальна

и равна величине наклона вертикальной оси. Следует подчеркнуть, что

именно эта ошибка является максимальной ошибкой, которая вносится

в вертикальный угол за счет ошибок осевых систем.

Тем не менее в геодезической литературе эта ошибка в большин-

стве случаев не рассматривается совсем. Это объясняется тем, что в гео-

дезических приборах на алидаде вертикального круга имеется уровень,

установкой которого на нуль компенсируется ошибка наклона верти-

кальной оси. Эта ошибка поэтому не оказывает влияния на измерение

вертикального угла даже при измерении зенитных расстояний астроно-

мическими приборами. Однако в приборах, где невозможно применить

уровень на вертикальном круге, например в кинотеодолитах, ошибку

вертикального угла за счет наклона вертикальной оси необходимо

учитывать.

§ 16.

Ошибка отклонения плоскости лимба

от

теоретического

положения

Согласно теории измерения угла плоскости горизонтального

верти-

кального лимбов должны быть перпендикулярны

соответствующим

осям

их

вращения.

При

теоретически правильном положении осей плос-

кость горизонтального лимба будет занимать горизонтальное положение,

а плоскость вертикального лимба — вертикальное. Однако если даже

допустить,

что оси

занимают теоретическое положение, плоскости лим-

бов могут занять наклонное положение.

Это

означает, что они

не

перпен-

дикулярны

своим осям вращения.

Если плоскость лимба наклонилась

к оси его

вращения

по

отноше-

нию

перпендикулярному положению

на

угол

е, то

максимальная

(допустимая) величина этого наклона может быть найдена

по

форму-

ле

[26]

€

тах

^)допР"-

(

310

Чтобы величина (5)

доп

была пренебрегаем© малой, можно положить

(б)

доП

= 0,2 т

где т

—

ошибка отсчета

по

лимбу (предел разреше-

ния системы отсчета),

но не

суммарная ошибка отсчетного устройства.

Тогда получим:

Величину

ОУ

как

показывает опыт, можно принять равной: 0,3ju

- для

микроскоп-микрометров

верньеров;

0,1

/х

—

для

шкаловых микроско-

пов

оптических микрометров

(// -

цена деления шкалы микрометра

или точность верньера).

Так, например,

для

лимба, отсчитываемого микроскоп-микромет-

ром

ценой деления

/1 = 5",

будем иметь

= 1,5" и по

формуле

(3.11)

найдем е

доп

* 8'.

Можно оперировать

суммарной средней квадратической ошиб-

кой отсчетного устройства (системы отсчета)

с 0

которая составля-

ет

среднем

1/3

средней квадратической ошибки измерения угла

данным прибором. Ошибка системы отсчета

со

« 2 т

Так,

для

теодолита

Т2 тр = 2" и,

следовательно,

CtQ

= 0,7", а

= 0,35".

Допустимый наклон лимба получается е

доп

« 4\

Такой

наклон лимба технологически выдержать легко,

а в

эксплуатации

он

весьма заметен

по

изменению резкости наблюдаемых штрихов лимба.

Глава 4

МЕТОДИКА И ПОРЯДОК РАСЧЕТА ТОЧНОСТИ ПРИБОРА

§ 17. Виды расчетов на точносгь. Методы суммирования

частичных ошибок

Точность прибора характеризуется заданной в ТЗ суммарной ошибкой

всего прибора или суммарными ошибками отдельных частей. Основ-

ной целью расчета прибора на точность является обеспечение заданной

точности при оптимальных значениях параметров прибора, характерис-

тик его схем, допусков на детали и их сопряжения. Таким образом,

расчет на точность является основой параметрического синтеза. Расчет

на точность может оказаться необходимым и при структурном синтезе,

особенно сложных систем, для полного обоснования выбранной струк-

туры механизма, устройства, прибора с точки зрения обеспечения задан-

ной точности. От рационального выбора посадок и допусков зависят

себестоимость изготовления прибора, его надежность и долговечность

в эксплуатации, степень взаимозаменяемости деталей и узлов.

Основными видами расчета приборов на точность являются проект-

ный расчет и проверочный расчет.

Проектный расчет является основным видом расчета на точность.

При проектном расчете точности на этапе эскизного проекта оценивают

степень влияния на конечную точность отдельных частичных ошибок

с целью рационального назначения их допустимых величин и выбора

наивыгоднейших параметров конструкции при наиболее высоких харак-

теристиках ее технологичности и наилучшего выполнения требований ТЗ.

Выявляют основные ожидаемые источники ошибок, представляющие

комплексные первичные ошибки, и для них определяют предельные

допуски [29], которые сравнивают с уровнями точности (экономиче-

ский, производственный, технический), определяя коэффициенты влия-

ния. На этапах технического проекта и разработки рабочих чертежей

производят полный анализ технологичности конструкции, расчет размер-

ных цепей и расчет допусков, определяют технологические первичные

ошибки (размеров и сопряжений деталей и узлов) по заданным суммар-

ным ошибкам механизма, цепи, узла.

Проверочный расчет производят, когда требуется сравнить несколь-

ко вариантов конструкции, а также тогда, когда допуски на технологи-

ческие первичные ошибки уже назначены и необходимо проверить их

соответствие заданной конечной точности механизма, сборочной едини-

цы или прибора. Расчет заключается в определении суммарной ошибки

механизма по заданным допускам на первичные ошибки.

Методы суммирования частичных ошибок. При проектировании

и расчете точности прибора, как было отмечено, необходимо рациональ-

но распределить суммарную ошибку на составляющие — частичные и

комплексные ошибки структурных частей — и определить суммарную

или комплексную ошибку по найденным частичным ошибкам.

3 - B.C. Плотников

При проектном и проверочном расчетах производится анализ связей

конструктивных параметров с величинами ошибок.

При выполнении расчетов на точность обычно пользуются двумя

методами суммирования ошибок:

а) суммируют абсолютные значения отдельных частичных ошибок

(расчет при максимальном влиянии ошибок);

б) суммируют ошибки с учетом законов теории вероятностей (рас-

чет при учете вероятнейшего влияния ошибок).

Первый метод расчета более простой, но его применение предпола-

гает, что все имеющиеся частичные ошибки одновременно оказывают

максимальное влияние на суммарную ошибку. В действительности поло-

жение, когда все частичные ошибки имеют максимальное значение,

маловероятно. При одной и той же суммарной ошибке значения частич-

ных ошибок, рассчитанные при их максимальном влиянии, получаются

значительно меньшими, чем при вероятностном методе расчета. Это

приводит к необходимости изготовления деталей и сборки узлов с более

высокой точностью, к завышению отдельных параметров прибора и к по-

вышению его стоимости. Поэтому расчет при максимальном влиянии

ошибок может быть выполнен в качестве предварительного, прикидоч-

ного расчета или в простейших случаях, когда число отдельных частич-

ных ошибок, составляющих суммарную ошибку, невелико (три-четыре).

В подавляющем большинстве случаев применяют расчет при учете веро-

ятностного влияния ошибок.

§ 18. Расчет при максимальном влиянии ошибок

После выполнения структурного синтеза и установления структуры

прибора, устройств, механизмов находятся функции преобразования

сигналов структурных цепей и элементов, функциональные зависимости

выходных величин и параметров, отдельных составляющих их величин.

В простейших случаях при линейной зависимости, когда выходная

величина является суммой или разностью составляющих се величин,

расчет сводится к простому суммированию ошибок и переходу к па-

раметрам. При более сложных зависимостях при суммировании ошибок

используют разложения функции в ряд Тейлора. Если

f(x,y,

z w),

где U

—

величина (параметр), комплексная ошибка которого подсчиты-

вается; х, у, z w - физические параметры, то

df df df

AU=(—

) Ax + ( ) Ay+(—) Az +...+(—) Дк\

(4.1)

где A

Ax, Ay, Az, . . . , Aw - ошибки параметров;

^~дх~'х

' ^~ду'у'''

и т

* ~~ частные производные, представляю-

щие собой передаточные функции ошибок

по

соответствующим пара-

метрам (иногда

их

называют коэффициентами влияния). Формула

(4.1)

показывает,

что

величина комплексной ошибки AUзависит

не

только

от

величин приращений параметров (частичных ошибок

Ах, Ay, Az,...,

Aw),

но и от

характера зависимости функции

от

параметров, который

определяется передаточными функциями.

Для примера рассчитаем параметры нитяного дальномера, если

из-

вестно,

что

расстояние

в 100 м

измеряется

относительной ошибкой

AD/ D

= 1/200;

фокусное расстояние объектива зрительной трубы огра-

ничено размером

—

200

мм.

Как

известно, расстояние

D от

оси прибо-

ра

до

рейки определяется зависимостью

[7]:

= / +/'+ б,

где

—

фокусное расстояние объектива трубы;

—

расстояние между

дальномерными нитями;

—

отрезок рейки, соответствующий расстоя-

нию ГУ,

б —

расстояние

от оси

прибора

до

задней главной плоскости

объектива.

Для данного дальномера постоянные расстояния

/' и б

известны

довольно высокой точностью,

и их

ошибки

по

сравнению

абсолютной

ошибкой дальности

AD = 50 см

весьма малы (менее

0,01 AD),

поэтому

как постоянные параметры

/' и б

могут

не

учитываться при дальнейшем

расчете. Однако

основной части формулы величина

является взаимо-

зависимым параметром

по

отношению

параметрам

р и / и не

может

не приниматься

во

внимание. Таким образом,

для

расчета точности при-

нимается следующая формула

Дифференцируя формулу последовательно

по

каждому

из

параметров

и переходя

приращениям, получим

/' If'

= — А/' + — А/ f-

Ар.

Р P

Функциональные зависимости типа рассматриваемой удобнее предвари-

тельно логарифмировать

по

основанию

е,

приводя

линейному виду,

а затем дифференцировать:

InD

= In/' +

In/-

lnp.

При максимальном влиянии ошибок учитывается

их

абсолютное значе-

ние,

поэтому, заменяя знак

на

после дифференцирования,

получаем выражение, содержащее относительные ошибки параметров:

А/' А/ Ар

или

D , D D

= Af + А/ + Ap.

I P

Принимая коэффициент дальномера

К — 100 и

учитывая заданные

ограниченные параметры, имеем следующие номинальные величины

параметров:

/' = 200 мм; D = 100 м; / = 100 см; р

—

2 мм; AD =

см.

D 100-10

ГЛЛ

D 100-10

С учетом,

что — = jr = — = 500; — = — =

5-Ю

имеем:

AD= 500 Af' +

100А/

+ 510

Ар; — = — = 100.

Коэффициенты

при

ошибках параметров показывают,

что

принятое

ра-

нее решение

том,

что

величина

ошибка

/ не

могут быть отброшены,

правильное,

так как

коэффициент

при /'

равен

500,

т.е.

он

того

же по-

рядка, что

коэффициент при

А/.

Ошибка

А/

является составляющей двух ошибок:

А/

—

ошибка

визирования

и А/

—

ошибка деления рейки.

Угловая

линейная

А/

{

ошибки визирования связаны очевид-

А/,

ным соотношением:

—— —

—~р

Если учесть,

что А

= Р

/Г, а

D/1

= К, где Р

—

разрешающая способность глаза,

— увеличение

трубы

и К

—

коэффициент дальномера,

то

Ар

2Р

—

= —т + — +

"г;—TT

+ •

г Р Г-Р" /

Дальнейшее решение задачи точностного синтеза может проходить

уче-

том конкретных соображений

возможностей (экономических, техно-

логических, методических

т.д.).

1- й вариант.

учетом технологических возможностей задаем

А/' =

0,5 мм,

т.е. А/'//'

= 1/400; Ар = 2 мкм или Ар/р = 1/10

; А/

1,0 мм; А/

// = 1/1000; при

заданных величинах

AD/D = 1/200,

= 500 мм и при Р

= 60 и К = 100

получим

Г = 60

Следует

оценить возможность создания трубы

полученными параметрами

Так,

при

полученном увеличении

Г = 60

при

фокусном расстоянии

объектива

/' = 200 мм

фокусное расстояние окуляра получится слиш-

ком коротким

—

3,33 мм.

Очевидно,

что

надо уменьшить увеличе-

ние перераспределением ошибок параметров либо пересмотреть ограни-

чение параметра

/' = 200 мм,

увеличив

его,

если увеличение поряд-

ка

является необходимым.

2- й вариант.

Для

расширения допусков

на

оставшиеся параметры

используем методические

технологические возможности.

Так, в

кон-

кретной зрительной трубе фокусное расстояние может быть измерено

с ошибкой, значительно меньшей,

чем

разброс фокусного расстояния

в партии зрительных труб,

величину

р для

конкретного прибора мож-

но наносить

учетом измеренной величины

/ и

коэффициента дально-

мера

—

100.

Таким образом, ошибки

Af и Ар

можно существенно

уменьшить и свести их к ошибкам измерений (Д/' * 0,2 мм, Ар

^ 0,001 мм). За счет этого можно существенно расширить допуски на

другие параметры. Если допустить ошибку деления рейки А1

= 1,0 мм.

то получим величину Г = 24

Приведенный пример имеет лишь методическое значение, но он

показывает, насколько существенно влияет одновременный учет методи-

ческих, технологических и других возможностей на номинальное значе-

ние и допустимые ошибки параметров. При параметрическом синтезе

на основе системного подхода должно быть рассмотрено максимальное

число вариантов с различными сочетаниями значений параметров и

выбран оптимальный вариант. В рассмотренном случае при оптимизации

вариантов следует сравнивать стоимость и трудоемкость отдельных

операций. В 1-м варианте более сложная и дорогая труба, но не требует-

ся измерений значений /'и р. Во 2-м варианте труба проще и дешевле,

допуски на изготовление рейки шире, но необходимы технологические

измерения значений фокусного расстояния и индивидуальное изготов-

ление сетки с необходимым расстоянием р для каждой трубы, чтобы

получить удобный для работы коэффициент дальномера К — 100. При

достаточно крупной серии может оказаться целесообразным селектив-

ный отбор труб и сеток и комплектация их по группам, что снизит тру-

доемкость изготовления по сравнению с индивидуальным отбором.

При любом сочетании величин ошибок параметров метод расчета

при их максимальном влиянии дает завышенные значения параметров

и поэтому при любом виде расчетов может использоваться как ориен-

тировочный.

§ 19. Расчет при учете вероятностного влияния ошибок

Лучшие результаты дает расчет точности с использованием положений

теории вероятностей.

Совокупность случайных ошибок Д

,..., Д„ какой-либо вели-

чины (параметра) принято оценивать либо средней квадратической ошиб-

кой т, либо предельной ошибкой Д

пр

. Среднюю квадратическую ошиб-

ку подсчитывают по формуле

„. уж.

п - 1

где [v J ] - гауссова сумма, v

= x

- х\ х — 2 среднее ариф-

метическое значение из п результатов измерения величины.

Предельные отклонения Д

пр

обычно выражают в долях среднего

квадратического отклонения [7]

пр

= Km. (4.3)

Коэффициент К зависит в основном от закона распределения случай-

ной величины. При законе нормального распределения (закон Гаусса)

К = 3; при законе равной вероятности К = \/3 = 1,73; при законе

Симпсона (закон треугольника), когда производится сложение двух

случайных величин, распределение каждой из которых следует закону

равной вероятности, К - у/в = 2,45. При отсутствии систематических

ошибок коэффициент К характеризует рассеивание случайной величи-

ны относительно ее номинального значения. Кроме изложенного полезно

отметить следующее: композиция двух или большего количества зако-

нов нормального распределения дает также закон нормального распре-

деления с дисперсией, равной сумме дисперсий отдельных распределе-

ний; композиция двух законов равной вероятности дает закон Симпсо-

на с дисперсией рассеяния, равной сумме дисперсий отдельных законов;

закон равной вероятности наблюдается при округлении отсчетов по шка-

лам до ближайших делений, а также при оценке ошибок, вызванных экс-

центриситетами, перекосами осей за счет зазоров и т.д.; композиции

из двух законов Симпсона, из трех и более законов разных распределе-

ний приводят с достаточным приближением к закону нормального рас-

пределения, а при наличии большого числа факторов, влияющих на слу-

чайную величину, распределение последней подчиняется нормальному

закону (практически достаточное число факторов п > 5); влияние от-

дельной случайной ошибки считается пренебрегаемо малым, если оно

не превышает 10 % от комплексной или суммарной ошибки.

Средняя квадратическая ошибка функции независимых аргументов

=f(x,y,

... , w) равна

где т

, т

, .. ., m

— средние квадратические ошибки аргументов

соответствующим параметрам (передаточные функции).

Вопросы оценки точности некоторых функций измеренных величин

рассмотрены в различных источниках по теории ошибок, например,

При учете вероятного влияния ошибок может быть принят следую-

щий порядок расчета параметров [7]:

1) рассчитывают предельные ошибки как функции параметров;

2) преобразуют предельные ошибки в средние квадратические с уче-

том формулы

(4.3);

3) определяют среднюю квадратическую ошибку единичного резуль-

тата (однократного использования прибора);

4) суммируют квадратические значения комплексных и частичных

ошибок с учетом передаточных функций;

5) проводят окончательный выбор параметров.

Как и при расчете при максимальном влиянии ошибок, устанавли-

вают связи между значениями частичных ошибок и номинальных разме-

df 2 ~ д{ 2 " а/ 2 Г

= \/ (~) ™1 + (~г) ™l+--- + (T-)

v v

дх

ду 'о У uW о у

(4.4)

в [4].

ров параметров; с учетом передаточных функций анализируют влияние

на суммарную ошибку результата комплексных и частичных ошибок

и производят параметрический синтез сравнением различных вариан-

тов на основе системного подхода. При этом учитывают необходимую

методику проведения измерений.

Средняя квадратическая ошибка т единичного измерения прибо-

ром связана с суммарной ошибкой конечного результата т

, которая,

как правило, является заданной зависимостью

где N - число единичных измерений при одной установке прибора (на-

пример, для теодолита однократное измерение одного направления;

для нивелира - один отсчет по одной стороне рейки). Соответственно

они будут содержать ошибки: т

— ошибка направления; т

ъзг

—

ошибка взгляда; п

—

число установок прибора, необходимых для полу-

чения конечного результата измерения. (Например, для теодолита - ве-

личина угла, измеренного одним полуприемом; для нивелира - величи-

на превышения, измеренная при одной установке нивелира по высоте

и по одной стороне рейки).

Например, для теодолита со средней квадратической ошибкой из-

мерения угла одним приемом , с учетом, что в каждом полуприеме

для получения величины угла необходимо измерить два направления

= 2), а каждый прием состоит из двух полуприемов, выполняемых

при разных положениях круга (п = 2), средняя квадратическая ошибка

направления т

будет:

у/п

уД

'7T

Формулу (4.6) можно получить и через ошибку функции. Измеренный

угол - это разница двух направлений, и ошибка угла, измеренного

одним полуприемом, при одинаковых ошибках каждого направления

будет ml = ml + ml = 2 ml, а т

— /я y/l. Ошибка угла, изме-

Р1 "

"2 *• Pi "

ренного полным приемом, будет т

=т^ /\/2, т.е. т

= т^.

В качестве примера приведем расчет и обоснование комплексных

ошибок структурных звеньев теодолита Т2 при измерении горизонталь-

ных углов и некоторых частичных ошибок.

Для теодолита Т2 в соответствии с ГОСТ

10529-79

задана средняя

квадратическая ошибка измерения горизонтального угла одним при-

емом не более = 2".

К необходимой для дальнейших расчетов ошибке единичного изме-

рения — средней квадратической ошибке измерения направления - пе-

рейдем по формуле

(4.6).

Имеем

= m

=т