Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

171

в разных направлениях. Кроме того, ротатабельные планы миними-

зируют систематическую ошибку, возникающую вследствие неадек-

ватности функции отклика, когда полином второго порядка приме-

няется для аппроксимации поверхности, являющейся на самом деле

поверхностью третьего порядка.

Построение ротатабельных планов 2-го порядка – сложная мате-

матическая задача.

Величина звездного плеча рассчитывается по формулам:

4k/

2d =

(для ПФЭ)

, (7.41)

k–p

2d =

(для ДФЭ), (7.42)

Таблица 7.14

Вспомогательная таблица

для проверки адекватности уравнения регрессии

№ опыта

Y Ŷ |Y – Ŷ| |Y – Ŷ|

1 25 24,926 0,074 0,005

2 29 28,926 0,074 0,005

3 21 20,926 0,074 0,005

4 21 20,926 0,074 0,005

5 27 26,926 0,074 0,005

6 31 30,926 0,074 0,005

7 27 26,926 0,074 0,005

8 27 26,926 0,074 0,005

9 19 19,282 0,282 0,080

10 22 21,712 0,288 0,083

11 27 26,913 0,087 0,008

12 22 22,053 0,053 0,003

13 24 24,120 0,120 0,014

14 29 28,980 0,020 0,000

15 22 21,826 0,174 0,030

∑|Y – Ŷ|

= 0,258

172

Таблица 7.15

Показатели ЦКРП

Наименование

Ядро плана

Число опытов ядра матрицы N = 2

4 8 16 32

Число звездных точек

4 6 8 10

Число нулевых точек N

(для униформных планов*)

5 6 7 10

Плечо звёздных точек d 1,414 1,682 2,000 2,378

Общее число опытов N 13 20 31 52

Ниже приведены формулы расчета коэффициентов регрессии и

их дисперсий после реализации ротатабельных планов.

∑∑∑

1i=

YX– cYcb =

. (7.43)

= c

∑X

. (7.44)

= c

∑(X

)

. (7.45)

∑∑∑∑

1i=

Yc–YXcYXcb +=

(7.46)

S= cS

. (7.47)

S= cS

. (7.48)

ScS

. (7.49)

S= cS

. (7.50)

ScS

. (7.51)

ScS

. (7.52)

)Sc(cS

. (7.53)

ScS

. (7.54)

- дисперсия воспроизводимости опытов (по расчетам ПФЭ).

*Униформность предполагает, что дисперсия предсказания сравни-

тельно мало меняется (или совсем не меняется) в радиусе от центра пла-

на до ±1 значений факторов в кодированном масштабе.

173

Таблица 7.16

Данные для расчета коэффициентов регрессии

и их дисперсий при ЦКРП.

Ядро

плана

0,20000 0,10000 0,12500 0,25000 0,12500

0,16634 0,05680 0,07322 0,12500 0,06250

0,14286 0,03571 0,04167 0,06250 0,03125

0,15909 0,03409 0,04167 0,06250 0,03125

Ядро

плана

0,01875 0,44721 0,35355 0,50000 0,37914

0,00689 0,40786 0,27059 0,35355 0,26342

0,00372 0,37798 0,20413 0,25000 0,18702

0,00281 0,39886 0,20413 0,25000 0,18456

Значимость коэффициентов определяют по критерию Стьюден-

та. Если незначимым оказался один из квадратичных коэффициен-

тов, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии

и b

, а также их дисперсии необходимо пересчитать. Это связано

с неортогональностью матрицы планирования.

Адекватность уравнения проверяют по критерию Фишера.

Пример. Для одного из жаропрочных никелевых сплавов требо-

валось выбрать температуру закалки (x

), температуру старения

) и время старения (x

), обеспечивающие, возможно, более дли-

тельное время до разрушения (Y) при температуре 850°С и напря-

жении 0,49 ГПа (50кгс/мм

). Интервалы варьирования и уровни

факторов указаны в таблице 7.17.

174

Таблица 7.17

Уровни варьирования факторов.

Уровни факторов

и интервалы варьирования

Темпера-

тура за-

калки, °С

Темпера-

тура ста-

рения, °С

Время

старе-

ния, ч

Основной уровень (x

) 1100 750 4

Интервал варьирования (∆x

) 50 50 2

Верхний уровень

1150 800 6

Нижний уровень

1050 700 2

Плечо звездной точки +d

1184 834 7,4

Плечо звездной точки −d

1016 666 0,6

На первом этапе экспериментирования был реализован полный

факторный эксперимент с числом опытов N = 2

(опыты 1÷8) и опы-

ты 9÷14 в центре плана (план-матрица приведена в таблице 7.19).

Число параллельных опытов в центре плана выбрали с учетом воз-

можного в дальнейшем перехода к планированию эксперимента

второго порядка.

Таблица 7.18

План-матрица и результаты первой серии опытов (ПФЭ

№

опыта

1 + + + + + + + + 30,2

2 + – + + – – + – 20,2

3 + + – + – + – – 7,0

4 + – – + + – – + 14,1

5 + + + – + – – – 43,0

6 + – + – – + – + 5,8

7 + + – – – – + + 27,9

8 + – – – + + + – 8,0

9 + 0 0 0 0 0 0 0 29,0

10 + 0 0 0 0 0 0 0 28,4

11 + 0 0 0 0 0 0 0 28,6

12 + 0 0 0 0 0 0 0 28,8

13 + 0 0 0 0 0 0 0 28,7

14 + 0 0 0 0 0 0 0 30,5

175

По результатам опытов 9÷14 вычислили дисперсию S

= S

= 0,58,

следовательно, S

= S

= 0,76. Число степеней свободы f

= 5.

Выполнили расчеты и проверку значимости коэффициентов рег-

рессии.

Дисперсия коэффициентов регрессии составила:

0725,0

58,0

===

Соответственно,

= 0,2693. t

табл. 0,05;5

= 2,57.

После проверки значимости коэффициентов получили следую-

щее уравнение регрессии:

.XX050,2

–XX30,4X650,1–X275,5X50,7525,19Y =

XX775,6–

21321

+++

Проверили адекватность линейной части приведенного выше

уравнения, а именно:

321

X650,1–X275,5X50,7525,19Y ++=

Установлено, что линейная модель неадекватна.

Для синтеза регрессионной модели более высокого, т.е. второго

порядка был построен центральный композиционный ротатабель-

ный униформплан эксперимента. Матрица ЦКРП с числом опытов

N = 2

+ 2 · 3 + 6 = 20 представлена в таблице 7.19.

Пользуясь значениями констант с

, приведенными в таблице 7.16,

рассчитали коэффициенты регрессии и их дисперсии:

;59,3–4520568 ·,0–29,813·00689,074,263·0625,0b

;99,3–4520568 ·,0–29,813·00689,023,257·0625,0b

;80,1–4520568 ·,0–29,813·00689,032,292·0625,0b

;30,44,34·125,0b

;78,6–)2,54–(·125,0b

;30,44,34·125,0b

;21,1–)56,16–

–

(·07322,0b

;92,426,67·07322,0b

;34,72,100·07322,0b

;2929,81305680 ·,0452·16635,0b

=+=

176

Таблица 7.19

План-матрица ЦКРП результаты его реализации

№ опыта

+ ++++++

+++

30,2

+–

––

+ +++

20,2

–+–+–

+++

7,0

+–

–++–

–

+++

14,1

++ +–+–

– +++

43,0

–+––+–+++

5,8

––––+

+++

27,9

+ –––

++++++

8,0

+ +1,682

00000

+2,83 00

36,0

+ –1,682 00000

+2,83

12,1

+1,682

00000

+2,83 0 25,3

–1,682 0

0000

+2,83 0 10,4

0 +1,682

0000

0 +2,83 18,0

0 –1,682

0000

0 +2,83 20,0

+ 000000

000

29,0

+ 000000

000

28,4

+ 000000

000

28,6

000000

000

28,8

000000

000

28,7

+ 000000

000

30,5

177

= 0,16635 · 0,58 = 0,0965;

= 0,40786 · 0,76 =0,310;

= 0,07322 · 0,58 = 0,0425;

= 0,27059 · 0,76 = 0,206;

= 0,125 · 0,58 = 0,0725;

= 0,35355 · 0,76 = 0,269;

= 0,06939 · 0,58 = 0,0402;

= 0,26342 · 0,76 = 0,200.

Согласно результатам проверки (по t-критерию Стьюдента), с

надёжностью 0,95 все коэффициенты регрессии могут быть при-

знаны статистически значимыми.

Таким образом, получено уравнение регрессии второго порядка:

.X59,3–X99,3–X80,1–XX30,4

XX78,6–XX30,4X21,1–X92,4X34,70,29Y

132

3121321

++++=

Адекватность модели проверили по F-критерию. Поскольку дуб-

лировали только один опыт (в центре плана), оценку дисперсии

адекватности модели S

ад

вычислили по формуле (7.21).

;86,6)Y–Y

(; 29; Y29Y

; 6m

1u=

000

====

∑

ℓ = 10.

Следовательно:

= m

– 1 = 6 –1 = 5; f

= 20 – 10 – 1 = 9;

ад

= 6,86/9 = 0,76,

расч.

= 0,76/0,58 = 1,31, F

табл. 0,05; 9; 5

= 4,78.

Поскольку F

расч.

< F

табл. α, f1, f2

, гипотеза об адекватности получен-

ной модели принимается.

178

7.5 симметричные некомпозиционные

квази-Д-оптимальные планы песочинского

Принцип композиционности планирования не всегда является

удобным. Часто удобней и экономичней запланировать и реализо-

вать сразу большую серию опытов, чем последовательно несколько

раз небольшие серии, особенно в тех случаях, когда эксперимента-

тор знает, что функция отклика в изучаемой области факторного про-

странства заведомо нелинейная. В частности, в таких случаях приме-

няют симметричные квази-Д-оптимальные планы Песочинского.

Экспериментальные точки выбирают из множеств, указанных в

таблице. Факторы варьируют на трех уровнях:

– 1, 0, + 1. Расчет ко-

эффициентов модели

∑∑∑

iii

XbXXbXbbY +++=

можно проводить по формулам, аналогичным формулам для рас-

чета коэффициентов регрессии по результатам реализации ЦКРП.

В таблице 7.20 приведены значения вспомогательных констант с

для расчетов по результатам реализации планов Песочинского.

Таблица 7.20

Данные для расчета коэффициентов регрессии и их дисперсий.

Число

факторов

2 0,52941 0,29412 0,10000 0,12500 0,5000

3 1,00000 0,50000 0,12500 0,25000 0,2500

4 0,38235 0,11765 0,03125 0,04167 0,1250

5 0,42000 0,10000 0,02500 0,03125 0,1250

Число

факторов

2 –0,05882 0,72761 0,31623 0,35355 0,66421

3 0,18750 1,00000 0,35355 0,50000 0,66144

4 0,00735 0,61834 0,17678 0,20413 0,36380

5 0 0,64807 0,15811 0,17678 0,35355

179

Таблица 7.21

Матрица симметричного квази-Д-оптимального

плана Песочинского

(k = 3)

№

опыта

1 + 0 + + 0 0 + 0 + +

2 + 0 – + 0 0 – 0 + +

3 + 0 + – 0 0 – 0 + +

4 + 0 – – 0 0 + 0 + +

5 + + 0 + 0 + 0 + 0 +

6 + – 0 + 0 – 0 + 0 +

7 + + 0 – 0 – 0 + 0 +

8 + – 0 – 0 + 0 + 0 +

9 + + + 0 + 0 0 + + 0

10 + – + 0 – 0 0 + + 0

11 + + – 0 – 0 0 + + 0

12 + – – 0 + 0 0 + + 0

13 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Планы Песочинского, как и ЦКРП, неортогональны. При незна-

чимости коэффициентов b

и b

исключение их и соответствующих

слагаемых из регрессионной модели не требует пересчета осталь-

ных коэффициентов регрессии, а исключение незначимых коэффи-

циентов b

и b

требует пересчета оставшихся коэффициентов b

а также их дисперсий.

7.6 принятие решений по планам второго порядка

Для нелинейной модели наиболее важна оценка ее адекватности.

Рассмотрим 2 ситуации.

1. Нелинейная модель объекта исследования неадекватна

Можно предпринять переход к модели более высокого поряд-

ка. Однако такое решение считается неэффективным, так как связано

с экспериментальными и вычислительными трудностями, а также с

трудностями при анализе и интерпретации полученной модели.

Более приемлемый способ устранения неадекватности нелиней-

ной модели – введение в план новых факторов из числа отброшен-

ных на этапе предварительного эксперимента или при анализе ли-

нейной модели.

180

2. Нелинейная модель объекта исследования адекватна

Задача исследования на этом этапе выполнена: в распоряжении

экспериментатора имеется математическая модель, адекватно опи-

сывающая поверхность отклика в исследуемой области факторного

пространства. При этом исследователь может принять решение об

использовании полученных данных при исследовании аналогичных

объектов.

7.7 Вопросы для самоконтроля

1. Что понимают под активным экспериментом?

2. Как называют выходные переменные объекта активного экспе-

риментирования?

3. Какие условия предъявляются к объекту, на котором осущест-

вляется активный эксперимент?

4. Что называют областью определения факторов?

5. Какие требования предъявляются к факторам?

6. Какие требования предъявляются к выходному параметру объ-

екта, когда он является параметром оптимизации системы?

7. Что называют факторным пространством?

8. Что понимают под планированием эксперимента?

9. Что понимают под уровнем фактора?

10. Какие критерии оптимальности планов Вы знаете?

11. Какой эксперимент называют полным факторным?

12. Как рассчитывают количество опытов при планировании пол-

ного факторного эксперимента?

13. Назовите основные этапы обработки экспериментальных дан-

ных запланированного активного эксперимента?

14. Как выполняют переход от действительных значений факто-

ров к кодированным?

15. Что показывает план-матрица эксперимента?

16. Приведите общий вид уравнения линейной регрессии.

17. Приведите общий вид полиноминальной модели при нелиней-

ной регрессии.

18. Составьте план-матрицу ПФЭ для 3-х факторов.

19. Какими свойствами обладают планы ПФЭ и ДФЭ?

20. В каких случаях применяют дробный факторный эксперимент?

21. Как рассчитывается количество опытов для дробного фак-

торного эксперимента?

22. Что показывает генерирующее соотношение?

23. Что называют определяющим контрастом?

24. Какие реплики ДФЭ называются главными?