Petra? I., Podlubny I., O’Leary P., Dor?ak ?., Vinagre B.M. Аналоговые ПИД-регуляторы дробного порядка
Подождите немного. Документ загружается.
11
при условии что H
e
(
ω
) и G
e
(
ω
) существуют. Мы будем использовать свойство
(2.22) для оценки преобразования Фурье дробного интеграла Римана-
Лиувилля и преобразования Фурье дробных производных.
Преобразование Фурье является полезным инструментом для анализа
линейных динамических систем в частотной области.
Другим полезным свойством преобразования Фурье, которое часто ис-
пользуется в решении прикладных задач, это преобразование Фурье произ-
водных функции
h(t). А именно, если h(t), )(,),(
)1(
thth
n
−
′
… стремятся к нулю
при t → ±∞, тогда преобразование Фурье n-й производной h(t) равно
).()(});({
ωωω
e
nn
e
HjthF −=
Преобразование Фурье является мощным инструментом анализа ли-
нейных динамических систем в частотной области.
Преобразование Фурье дробных интегралов
Сначала оценим Фурье преобразование интеграла дробного порядка
Римана-Лиувилля с нижним пределом а = −∞, т.е.
,)()(
)(
1
)(
1
∫
∞−
−−
∞−
−
Γ
=
t
t
dgttgD
τττ
α
αα
где мы полагаем 0 < α <1.
Давайте начнем с преобразования Лапласа функции
)(
)(
1
α
α
Γ
=
−
t
th
(см. выражение (2.11)), которое может быть записано как
∫
∞
−−−
=
Γ
0
1
.
)(
1
αα
α
sdtet
st
Примем s = − j
ω
, где
ω
является вещественной величиной. Из теоремы
Дирихле следует, что таком случае интеграл (2.25) сходится, если 0 <
α
<1.
Следовательно, мы немедленно получим преобразование Фурье функции
(2.24)
(2.23)
(2.25)
12
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
Γ
=
−
+
)0( ,0
)0(
)(
)(
1
t
t
t
th
α
α
в виде
.)(});({
α
ωω
−
+
= jthF
e
Сейчас мы можем найти преобразование Фурье дробного интеграла
Римана-Лиувилля (2.24), которое может быть записан как свертка (2.21)
функций h+(t) и g(t):
).()()( tgthtfD
t
∗=
+
−
∞−
α
Используя правило (2.22), мы получим
),()(});({
ωωω
α
α
GjtgDF
te
−
−
∞−
=
где G(
ω
) – преобразование Фурье функции g(t).
Формула (2.28) дает также преобразование Фурье дробного интеграла
Грюнвальда-Летникова )(tgD
t
α
−
∞−
, потому что в рассматриваемом случае
оно совпадает с преобразованием дробного интеграла Римана-Лиувилля.
Преобразование Фурье производных дробного порядка
Рассматривая нижний предел а = −∞ и требуя корректного поведения
g(t) и ее производных при t → −∞ мы можем выполнить интегрирование по
частям и записать интеграл Римана-Лиувилля в форме:
.1
),(
)(
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
nn
tgDd
t
g
n
tgD
nn
t
t
n
n
t
<
<
−
=
−
−Γ
=
−
∞−
∞−
+−
∞−
∫
α
τ
τ
τ
α
α
α
α
Преобразование Фурье (2.29) с использованием преобразования Фурье
дробного интеграла Римана-Лиувилля (2.28) и затем преобразование Фурье
производной целого порядка (2.23) дает следующую формулу для экспонен-
циального преобразования Фурье Римана-Лиувилля с нижним пределом а =
−∞:
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
13
).()()()()(
});({)(});({
)(
ωωωωω
ωωω
αα
αα
GjGjj
tgFjtgDF
nn
n
e
n
e
−=−−=
−=
−
−
Дифференциальные уравнения дробного порядка
и передаточные функции
Система управления дробного порядка может быть описана с помощью
дифференциального уравнения дробного порядка в форме [41, 43, 52]:
),(...)()(
)(...)()(
01
01
01
01
tuDbtuDbtuDb
tyDatyDatyDa
mm
nn
mm
nn
βββ
α
α
α
+++=
=+++
−
−
−
−
или с помощью непрерывной передаточной функции в виде [43, 52]:
,
...
...
)(
01
01
01
01
ααα
β
β
β
sasasa
sbsbsb
sG
nn
mm
nn
mm
+++
+++
=
−
−
−
−
где
),...,0( ),,...,0( ;
0
mkbnkaDD
kkt
==≡
γ
γ
− константы; и
),...,0( ),,...,0( mknk
kk
==
β
α
− произвольные вещественные числа.
Без потери общности мы можем полагать, что
α
n
>
α
n-1
> … >
α
0
, и
β
m
>
β
m-1
> … >
β
0
.
(2.30)
(2.31)
(2.32)
14
Глава 3
КОНТРОЛЛЕРЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
Определение дробного PI
λ
D
δ
-контроллера
PI
λ
D
δ
-контроллер дробного порядка (КДП) был предложен в [42 – 44]
как обобщение ПИД контроллера с интегратором вещественного порядка
λ
и
дифференциатором вещественного порядка
δ
. Передаточная функция такого
контроллера в области Лапласа имеет вид:
),0 ,( ,
)(
)(
)( >++==
−
δλ
δλ
sTsTK
sE
sU
sC
dip
где К
р
– константа пропорциональности, Т
i
– константа интегрирования, а Т
d
– константа дифференцирования. Как видно из рис. 3.1, внутренняя структу-
ра контроллера дробного порядка содержит параллельное соединение трех
частей: пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей.
Передаточная функция (3.1) соответствует во временной области дифферен-
циальному уравнению дробного порядка (3.2)
).()()()(
00
ttDTttDTteKtu
tdtip
δ
λ
++=
−
Приняв
λ
= 1 и
δ
= 1, мы получим классический ПИД контроллер. Если
λ
= 0 и Т
i
= 0, мы получим PD
δ
контроллер и т.д. Все эти типы контроллеров
являются частными случаями контроллера дробного порядка, который явля-
ется более гибким и дает возможность лучше приспосабливаться к динами-
ческим свойствам управляемых систем дробного порядка.
(3.1)
(3.2)
15
Необходимо заметить, что другой вид контроллера дробного порядка,
который характеризуется band-limited lead effect, можно найти в доступной
литературе [34, 36]:
. , , ,
1
1
)(
ττ
τ
τ
<
′
∈∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
+
+
= RKRr
s
s
KsC
r
r
Этот тип контроллеров может быть реализован с использованием ре-
курсивного распределения полюсов и нулей [35].
Есть много других известных контроллеров дробного порядка. В каче-
стве примера можно отметить CRONE контроллер [34], интеграл не целого
порядка и его применение в управлении [23] или TID компенсатор [22], кото-
рый имеет сходство по структуре с ПИД контроллером,
но в отличие от него
пропорциональный компонент заменен компонентом с наклонной АЧХ,
имеющей передаточную функцию с показателем степени при s равном (−1/n).
Результирующая передаточная функция TID (tilted, integrator, differentiator)
контроллера имеет вид
,)(
1
Ds
s
I
s
T
sC
n
++=
где Т, I и D – константы контроллера и п – ненулевое вещественное число,
лежащее предпочтительно между 2 и 3. Передаточная функция (3.4) более
точно аппроксимирует оптимальную передаточную функцию и позволяет
получить обобщенную характеристику, которая ближе к теоретически опти-
мальной характеристике, определенной Боде [3].
Свойства и характеристики контроллера
Общие рассуждения
Можно ожидать, что PI
λ
D
δ
-контроллер (3.1) может улучшить характе-
ристики систем контроля за счет введения большего числа настраиваемых
опций, которые интуитивно иллюстрируются на рис. 3.2.
(3.3)
(3.4)
16
Передаточная функция ПДК с комплексными нулями и полюсами, рас-
положенными в любом месте левой полуплоскости комплексной плоскости s,
может быть переписана как
,
1/)2()(
)(
λ
λ
λ
δ
ωςω
s
ss
KsC
nn
++
=
+
где К – коэффициент усиления,
ς
− безразмерный коэффициент затухания, а
ω
n
– собственная частота. Обычно мы выбираем
ς
< 1. При
ς
= 1, условие на-
зывается условием критического затухания [8].
Для широкого класса управляемых объектов мы рекомендуем дробный
PI
n
D
δ
-контроллер, который является частным случаем PI
λ
D
δ
-контроллер, где
λ
= n, n ∈ N и
δ
∈ R. Интегратор целого порядка является важным для исклю-
чения статической ошибки. Но с другой стороны дробный интеграл также
важен для получения идеальной петлевой передаточной функции Боде, ха-
рактеризующейся постоянством фазового сдвига в желаемом частотном диа-
пазоне (например, [1, 3, 23, 51]).
Идеальная передаточная функция в петле по Боде
Боде предложил идеальную форму передаточной характеристики в
петле ОС в своей работе по проектированию усилителей с обратной связью в
1945. Идеальная петлевая передаточная функция имеет вид:
,)(
α
ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
gc
s
sL
(3.5)
(3.6)
17
где
ω
gc
– желаемая частота среза, а
α
– наклон ската частотной характеристи-
ки.
Запас по фазе равен
Φ
m
= π(1 +
α
/2) для всех значений коэффициента
усиления. Запас по амплитуде А
m
бесконечный. Постоянные фазовые сдвиги
60°, 45° и 30° соответствуют наклонам АЧХ
α
= −1,33, −1,5, −1,66.
Кривая Найквиста для идеальной передаточной функции по Боде явля-
ется просто прямой линией из начала координат под углом arg(L(j
ω
)) =
α
π/2
(см. [1, 39]).
Передаточная функция по Боде (3.6) может быть использована как
опорная система в следующей форме:
K
s
K
sG
c
+
=
α
)( (0 < α < 2),
α
s
K
sG
o
=)( (0 < α < 2),
где G
c
(s) – передаточная функция замкнутой петли, а G
о
(s) – передаточная
функция в открытой петле (рис. 3.3).
Обобщенные характеристики идеальной передаточной функции по Бо-
де следующие:
(а) Открытая петля:
АЧХ: постоянный наклон −
α
20 дБ/дек. (рис. 3.4);
• Частота перехода: функция К;
•
ФЧХ: горизонтальная линия на уровне −
απ
/2 (рис. 3.4);
•
Кривая Найквиста: прямая линия с аргументом −
απ
/2.
(b) Замкнутая петля:
(3.7)
(3.8)
18
• Запас по амплитуде: А
m
= бесконечный;
•
Запас по фазе: постоянная: Φ
m
= π(1 − α/2);
• Переходная характеристика: y(t) = Kt
α
E
α
,
α
+1
(−Kt
α
),
где E
α
,
α
+1
– функция Миттаг-Лефлера двух параметров [43].
Иллюстративный пример
Мы можем проиллюстрировать свойства управления дробного порядка
на примере. Предположим, что передаточная функция мотора постоянного
тока
)1(
)(
+
=
sJs
K
sG
m
,
с полезной нагрузкой J. Наша задача обеспечить постоянный фазовый сдвиг
вне зависимости от изменения нагрузки.
Предположим, что мы хотели бы иметь систему с замкнутой петлей,
которая является нечувствительной к изменению усиления с постоянным фа-
зовым сдвигом в 60°. Идеальная передаточная функция в петле по Боде, ко-
торая дает этот фазовый
сдвиг равна
(3.9)
19
3
1
)(
ss
sG
o
= .
Так как G
o
(s) = C(s)G(s), то мы можем найти передаточную функцию
контроллера в следующем виде
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
31
32
31
32
11
)(
s
sK
s
s
K
J
sC
m
,
которая является особым случаем передаточной функции PI
λ
D
δ
контроллера,
где K = J/K
m
является константой контроллера.
Фазовый сдвиг управляемой системы с прямым контуром контроллера
G
c
равен
Φ
m
= arg[C(j
ω
0
)G(j
ω
0
)] + π,
где
ω
0
– частота среза.
Полученный фазовый сдвиг равен
Φ
m
= arg[C(j
ω
)G(j
ω
)] + π =
323
4
)(
1
34
ππ
ππ
ω
=⋅−=+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
j
.
Постоянный фазовый сдвиг не зависит от изменения нагрузки и коэф-
фициента К системы, а ФЧХ представляет горизонтальную линию на уровне
−2π/3.
Переходная характеристика замкнутой петли управления может быть
выражена в виде:
()
311
312 ,311
311
311
1
)1(
1
)(
+
++
+
+
−
−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
= tEt
ss
Lty ,
где переходная характеристика является независимой от нагрузки и
α
= 4/3.
Проектирование параметров контроллера
Настройка параметров PI
λ
D
δ
контроллера осуществляется по заданным
требованиям. Эти требования включают в себя, например, коэффициент за-
тухания, статическая ошибка (e
ss
), динамические свойства и т.д. Один из ши-
роко распространенных методов является метод доминирующих корней [37],
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
20
основанный на заданной мере стабильности и коэффициенте затухания замк-
нутой петли управления. Полагая, что желаемые доминирующие полюса яв-
ляются парой комплексно-сопряженных полюсов s
1,2
= −
σ
± j
ω
d
, находят ко-
эффициент затухания
ς
и собственную частоту
ω
n
.
Коэффициент затухания (меру стабильности) и собственную частоту
можно найти из соотношений
σ
=
ςω
n
и
2
1
ςωω
−=
nd
. Проектные парамет-
ры K
p
, T
i
,
λ
, T
d
и
δ
могут быть определены численно из характеристического
уравнения. В частности, для простого объекта управления с моделью P(s) это
можно сделать, решая
d
dip
js
TTK
sPsC
ωσ
δλ
±−=
+
1)()(min
,,,,
.
Другой возможный путь для получения параметров контроллера – ис-
пользование формулы настройки, основанной на заданных коэффициенте
усиления и фазовом сдвиге [52]:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Φ−=ℜℑ+ℑℜ
Φ−=ℑℑ−ℜℜ
=ℜℑ+ℑℜ
−=ℑℑ−ℜℜ
,sin)]([)]([)]([)]([
,cos)]([)]([)]([)]([
,0)]([)]([)]([)]([
,
1
)]([)]([)]([)]([
mgggg
mgggg
pppp
m
pppp
jPjCjPjC
jPjCjPjC
jPjCjPjC
A
jPjCjPjC
ωωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωω
где Ф
m
– запас по фазе, А
m
– запас по усилению,
ω
p
и
ω
g
- частота среза (0 дБ).
Последним, но не менее важным, мы должны отметить оптимизацион-
ный алгоритм, основанный на минимизации интеграла абсолютной ошибки
(IAE) [44]:
∫∫
−==
tt
dttytwdttetIAE
00
|)()(||)(|)(,
где w(t) – желаемая величина замкнутой петли управления, а y(t) – реальная
величина замкнутой петли управления.