Паршукова В.А., Митюшев А.А. Начертательная геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
31
Развертка цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра
вращения является прямоугольник длиной L
1
= D
1
и высотой 1,5D
1
, где L
1
–
длина окружности основания, D
1
– диаметр основания. Для получения полной
развертки цилиндра в любом месте добавляют верхнее и нижнее основание –
круг диаметром D
1
. Проводим центральную линию N – N, которая делит высоту
боковой поверхности пополам.
Для того, чтобы нанести на боковую поверхность цилиндра линию
пересечения цилиндра с конусом, поступают следующим образом:
– делят на 8 равных частей основание цилиндра на фронтальной
проекции ортогонального чертежа – точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
– также на 8 равных частей делят длину окружности L на развертке –
точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
– в точках деления на развертке проводим соответствующие
образующие и откладываем длину цилиндра 1,5D
1
;
– если точки, принадлежащие линии пересечения находятся на
отмеченных образующих цилиндра – точки А, А
1
, В, В
1
, С, С
1
, D, D
1
,
то их
наносят от центральной линии N – N вверх и вниз. Размеры по длине берут с
горизонтальной плоскости проекций , т.к. образующие цилиндра именно здесь
имеют натуральную величину. Например, точки А и А
1
находятся на
образующей 5, размеры по длине отмечены *;
– точку Е наносим следующим образом: точка Е находится между
образующими 8 и 1. С помощью циркуля берем расстояние от точки 1 до точки
е′
на фронтальной плоскости проекций и переносим это расстояние на развертку
от точки 1 в сторону точки 8. Проводим дополнительную образующую и на ней
отмечаем точку Е. Также строится точка F.
Развертка конуса. Разверткой боковой поверхности прямого кругового
конуса является сектор радиуса L c центральным углом α = 360 , где L –
натуральная величина образующей конуса L – НВ S – I, R – радиус окружности
основания конуса R = .
Для получения полной развертки конуса в любом месте к боковой
поверхности добавляют основание конуса – круг диаметром D.
Для того, чтобы нанести на боковую поверхность конуса линию пересечения
конуса с цилиндром, поступают следующим образом:
– делят на 8 равных частей основание конуса на горизонтальной
плоскости проекции ортогонального чертежа – точки I, II, III, IV, V, VI, VII,
VIII;
– также на 8 равных частей делят дугу окружности развертки боковой
поверхности конуса – точки I, II, III, IV, V, VI,
VII, VIII;
– через полученные точки проводим образующие SI, SII, SIII и т. д., а
также образующие, проведенные через точки линии пересечения SC, SC
1
, SA и
SA
1
, например, образующая SC находится между образующими SII и SIII;
– проводим на развертке конуса параллели конуса, соответствующие
32
выбранным точкам AA
1
, BB
1
, CC
1
, DD
1
, E,F на линии пересечения. Радиусы
параллелей RSl
E
, RSl
D
, RSl
C
, RSl
B
, RSl
F
берут с фронтальной проекции
ортогонального чертежа, с левой стороны главного меридиана конуса, т.к. здесь
они имеют натуральную величину;
– на пересечении параллелей и соответствующих образующих
отмечаем точки принадлежащие линии пересечения AA
1
, BB
1
, CC
1
, DD
1
, E, F;
– соединив в определенной последовательности точки с помощью
лекала, получают на развертке боковой поверхности кривую пересечения
цилиндра вращения с прямым круговым конусом. Сплошные тонкие линии
вспомогательных построений необходимо сохранить.
Таблица 6 – Данные к эпюру №6.
Размеры в миллиметрах.
№
варианта
Х
P
Х
S
У
S
Z
S
D
У
P
Z
P
D
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
50
50
53
60
50
65
70
75
80
50
85
85
80
80
75
75
70
70
68
68
66
66
64
64
62
62
60
80
80
80
80
70
75
75
75
75
75
80
80
80
80
80
70
70
70
70
75
75
75
80
80
80
80
80
70
70
70
72
72
70
70
70
72
72
75
75
75
70
70
72
72
74
74
70
72
75
74
75
70
70
70
100
100
100
100
102
98
98
98
98
102
102
102
102
102
100
100
100
100
98
98
95
95
96
96
97
97
102
90
90
90
90
88
90
90
90
86
88
86
86
84
84
84
86
88
88
88
84
84
92
92
92
92
90
90
70
70
72
72
70
70
70
72
72
75
75
75
75
70
70
72
72
74
74
70
72
75
75
75
70
70
70
32
32
32
35
32
35
35
35
35
35
36
40
40
40
40
42
40
36
32
32
35
38
36
34
38
38
34
70
60
64
70
64
70
70
70
70
70
72
70
70
64
64
64
64
64
68
70
70
64
64
68
64
68
68
33
34
35
Раздел 2. Методические указания по решению задач и
контрольные задания
2.1 Тема 1 Проецирование точки
Проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости
проекции. Эпюр точки
Аппарат проецирования:
V – верхняя полуплоскость фронтальной плоскости проекции;
H – передняя полуплоскость горизонтальной плоскости проекции;
W – передняя полуплоскость профильной плоскости проекции;
V
Н W;
V ∩ H → Х – ось абсцисс, Н ∩ W → Y – ось ординат, V ∩ W → Z – ось
аппликат.
Точка О – начало координат.
Точка А – объект проецирования. Для построения проекции точки А на
плоскость Н проведем через точку проецирующий луч Аа, перпендикулярный
этой плоскости. Точка а пересечения этого луча с плоскостью Н будет искомой
горизонтальной проекцией точки А, а′ – фронтальная проекция точки А, а″ –
профильная проекция точки А (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Наглядное изображение точки в I октанте (четверти) и эпюр точки
Комплексный чертеж (эпюр) точки, расположенной в I октанте (четверти),
получим, если совместим плоскости Н и W c плоскостью V, вращая плоскость Н
36
вокруг оси Х, а плоскость W вокруг оси Z (рисунок 1.1). Линии а′а, а′а″
называются линиями связи.
Координата Х – абсцисса – показывает удаление точки А от плоскости W;
координата Y – ордината – показывает удаление точки А от плоскости V;
координата Z – аппликата – показывает удаление точки А от плоскости Н;
координаты проекций точки А: а(Х, Y); а′(Х, Z); а″(Z, Y).
Из вышесказанного следует, что любые две проекции однозначно
определяют положение точки в пространстве.
Три правила проецирования
1) Фронтальная и горизонтальная проекции точки всегда лежат на одной
линии связи а′а оси Х.
2) Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной
линии связи а′а″ оси Z.
3) Профильная проекция точки находится справа от оси Z, если координата
Y положительная, и слева от оси Z, если координата Y отрицательная.
Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 8 частей
(октантов). Точки могут располагаться во всех восьми октантах. Наблюдатель
находится в I октанте (рисунки 1.2, 1.3).
Октант
Знаки координат
Х
Y
Z
I
+
+
+
II
+
–
+
III
+
–
–
IV
+
+
–
V
–
+
+
VI
–
–
+
VII
–
–
–
VIII
–
+
–
Рисунок 1.2 – Наглядное изображение
октантов пространства
Рисунок 1.3 – Знаки координат
в октантах пространства
Задачи по теме 1 – Проецирование точки
1.1. Построить эпюр и наглядное изображение точек А (25, 20, 5), В (15, 0,
25), С (0, 25, 10).
Примечание: при построении наглядного изображения точек координату Y следует
37
уменьшить вдвое.
Z
Y
W
Y
H
X
X
Z
Y
V
H
W
0
0
Z
Y
W
Y
H
X
X
Z
Y
V
H
W
0
0
1.2 Достроить наглядное изображение и построить эпюр точек А, В и С.
Записать их координаты.
Z
Y
W
Y
H
X
X
Z
Y
V
H
W
0
0
B
b'
A
a
C
Z
Y
W
Y
H
X
X
Z
Y
V
H
W
0
0
B
b'
A
a
C
1.3 Построить наглядное изображение, горизонтальные и фронтальные
проекции точек А(5; – 20; 10), В(10; – 10; – 20), С(20; 0; – 30), D(30; 30; – 40),
Е(40; 0; 0).
38
2.2 Тема 2. Проецирование прямой
Прямая линия представляет собой линию (множество точек), вдоль
которой расстояние между двумя ее точками является кратчайшим.
Прямые, по отношению к плоскостям проекций, делятся на прямые
общего и частного положения.
2.2.1 Прямые общего положения
Прямой общего положения (рисунок 2.1) называют прямую,
непараллельную ни одной из плоскостей проекций.
Рисунок 2.1 – Наглядное изображение прямой АВ и построение ее проекций на
эпюре
При ортогональном проецировании на плоскость Н прямая АВ
проецируется в прямую аb, на плоскость V в прямую а′b′ и на плоскость W в
прямую a′′b′′. Особенности проекций:
– все проекции наклонены ко всем осям проекций ;
– любая из проекций меньше самого отрезка: a b < AB; a′b′ < AB;
a′′b′′ < AB.
39
2.2.2 Проекции отрезка прямой частного положения. Истинная
длина и углы наклона его к плоскостям проекции
К прямым частного положения относятся:
1) прямые, параллельные одной плоскости проекции (прямые уровня);
Наименование
прямой
Наглядное изображение и эпюр
Эпюрные
принципы прямой
Горизонтальная
(горизонталь)
АВ || H
а′ b′ || OX, a′′b′′ ||
OУ
W
ab = AB;
– угол
наклона АВ к V
Фронтальная
(фронталь)
АВ || V
ab || OX, а′′b′′ || OZ,
a′b′ = AB;
α – угол
наклона АВ к Н
Профильная
AB || W
ab || ОУ
Н
, а′b′ || OZ
a′′b′′ = АВ
α – угол
наклона
АВ к Н
– угол
наклона
АВ к V
Рисунок 2.2 – Прямые параллельные одной плоскости проекции
40
2) прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций и
параллельные двум другим плоскостям проекций (прямые проецирующие)
(рисунок 2.3)
Наименование
прямой
Наглядное изображение и эпюр
Эпюрные
принципы прямой
Горизонтально
проецирующая
АВ ⊥ Н
a ≡ b – точка,
а′b′ || OZ и ⊥ ОХ
a′′b′′|| OZ и ⊥ ОУ
W
a′b′ = a′′b′′ = AB
Фронтально
проецирующая
АВ ⊥ V
a′ ≡ b′ – точка
ab || ОУ
Н
и ⊥ ОХ,
a′′ || ОУ
W
⊥ OZ,
ab = a′′b′′ = AB
Профильно
проецирующее
АВ ⊥ W
a′′ ≡ b′′ – точка
ab || OX и ⊥ ОУ
Н
,
a′b′ || OX и ⊥ ОZ,
ab = a′b′ = AB
Рисунок 2.3 – Прямые перпендикулярные плоскости проекций