Панов В.К. Физические основы теплотехники. Ч. I: Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

§ 38. Опыты Эндрюса 167

ых

представлений о строении вещества.

о состоит из мельчайших частиц,

веке. Слово «мо-

по-

ное

я его ос-

опытов, косвен-

лоне-

чей, электронов

менее подходящими образ-

ед-

этого, дали воз-

дро. За эти ра-

по фи-

рез поверхность раздела мы

дем наблюдать скачкообразное

изменение физических свойств в

разы или на десятки процентов.

Приходится задуматься: одно

ли и то же вещество находится

по разные стороны поверхно-

сти? Глядя только на физиче-

ские свойства, скорее скажешь

«нет». Или, во всяком случае, что по физическим свойствам

этого сказать нельзя. Нужно привлекать иные. Например, ха-

рактер взаимодействия с другими веществами — химические

свойства. По ним вроде бы выясняется, что вещество одно.

Тогда следует вопрос: а с чем связано такое кардинальное от-

личие в физических свойствах? Вот здесь опыты Эндрюса да-

ют возможность многое прояснить исходя из уже распростра-

ненных тогда (но отнюдь не общепринятых) молекулярн

Представления о том, что веществ

жидкость ρ = 10

кг/м

с ≅ 4,2

Ккг

кДж

⋅

пар ρ ∼ 1 кг/м

∼ 2

кг

кДж

⋅

Рис. 8.2. Различие свойств

жидкости и газа на примере Н

движущихся в пустоте, начали формироваться еще в XVIII

лекула» – уменьшительная форма от латинского moles (количество) –

ременрусски должно означать лишь маленькое количество вещества. Сов

определение молекулы: наименьшая частица вещества, обладающа

новными химическими свойствами.

Постепенное накопление результатов наблюдений и

но свидетельствующих в пользу молекулярного строения, продолжалось

в квесь XIX ек. Основными доказательствами существования моле ул счита-

ются: броуновское движение мелких частиц, не оседающих в газе или жид-

кости; диффузия – взаимное проникновение веществ; дифракция (отк

ние от прямолинейности распространения) рентгеновских лу

и нейтронов при прохождении через вещество, и др. Надо, однако, заметить,

что некоторые, даже крупные, физики и химики продолжали считать моле-

ы и атомы не реальнымикул объектами, а более-

ами даже в начале XX века.

Окончательное доказательство существования молекул связывают с

овского, Жана Батистаименами Альберта Эйнштейна, Мариана Смолух

Перрена и Теодора Сведберга. Эйнштейн и Смолуховский разработали в

1904 – 1906 гг. математическую теорию броуновского движения на основе

молекулярно-кинетической теории газов. Эксперименты Перрена и Св

берга блестяще подтвердили следствия из нее, а кроме

можность определить постоянную Больцмана и число Авога

боты Перрен и Сведберг получили Нобелевскую премию 1926 года

зике и химии соответственно.

§ 38. Опыты Эндрюса 168

ельная

не за-

ны на опытных

а они, постепен-

термодинамика от этого не «пострадает».

тавить суть обсу-

ермодина-

ается

тву молекул

в ки-

v/n .

м рас-

Замечу, что термодинамика вполне сформировалась как ц

и результатынаука в «домолекулярную» эпоху. Все ее положения

висят от предположений о строении вещества, а основа

данных. Если наши представления о веществе изменятся (

но усложняясь, это делают), то

Тем не менее образ молекулы помогает нагляднее предс

ждаемых закономерностей, особенно когда средствами самóй т

мики внятных объяснений дать не удается.

На диаграмме (рис. 8.1) по оси абсцисс откладыв

удельный объем вещества (объем одного килограмма), т. е. все

состояния относятся к одному и тому же количес

n = N

/μ.

Если удельный объем разделить на число молекул

лограмме выбранного вещества, то получим объем, в среднем

приходящийся на одну молекулу в данном состоянии:

1мол

Размер этого объема дает представление о средне

стоянии между молекулами в данном состоянии:

ср

мол1

ис. 8.1) оЗначит, можно считать, что по оси абсцисс (р т-

ко в

дам.

газа

для жид-

казывают,

но равно размеру молекулы

(~10

– 8

м).

молекулами малы,

расстояния велики, это несвойственно: газ всегда занимает

весь предоставленный объем. Значит, на малых расстояниях

в жидкости молекулы удерживаются какими-то силами, а на

больших расстояниях в газе этих сил нет.

4. Раз на малых расстояниях межмолекулярные силы дей-

ствуют, а на больших нет, значит, они зависят от расстояния.

Два последних вывода позволяют объяснить то обстоя-

тельство, что для парообразования требуется изрядное коли-

кладывается среднее межмолекулярное расстояние (толь

одругом масштабе, конечно), и перейти к дальнейшим выв

2. Различие в поведении и свойствах жидкости и

одного и того же вещества связано с разницей в средних рас

стояниях между молекулами. В состоянии а, предельном дл

газа, расстояние велико; в состоянии б, предельном

кости, оно мало. Более поздние опыты и расчеты по

что в жидкости расстояние пример

(≈ 3·10

–10

м), а в газах на один-два порядка больше

3. Жидкостям, где расстояния между

свойственно сохранять постоянным свой объем. Газам, где

§ 39. Пограничная кривая 169

чество тепла. Эту величи т теплотой парообразо-

вания — эт превраще-

ния килогра ех же р-Т

условиях, r, Дж/кг.

Остановлюсь на последних словах. Здесь речь идет о

процессе б – а — кипении, когда r подводится, или о процессе

а – б —

против сил межмоле-

еньшаются.

у жидко-

ких свойств

§ 39.

ограничная кривая

(ПК)

ну называю

о количество тепла, необходимое для

мма жидкости в килограмм пара при т

конденсации, когда r должно быть отведено. Из диа-

граммы видно, что давление и температура в состояниях б, а

и на протяжении всего процесса между ними одинаковы. То-

гда возникает вопрос: на что потрачены подведенные джоули

(при кипении), если температура не выросла, давление тоже?

Ответ напрашивается такой: на работу

кулярного взаимодействия. Одновременно это означает: внут-

реннее состояние вещества вполне естественно характеризо-

вать температурой, связанной с кинетической энергией дви-

жения молекул. Подходит и удельный объем, который связан

со средним расстоянием между молекулами и, таким образом,

с потенциальной энергией их взаимодействия.

5. Построив семейство изотерм в широком диапазоне

температур, можно заметить в них еще одну закономерность

(рис. 8.1). С увеличением температуры длина «ступеньки»

уменьшается. Точка б смещается вправо, а это значит, что, не-

смотря на рост давления, расстояние между молекулами в жид-

кости увеличивается. Точка а смещается влево – значит, рас-

стояния в газе, несмотря на рост температуры, ум

Таким образом, с ростом температуры различие межд

стью и газом уменьшается, значения физичес

сближаются, теплота парообразования уменьшается.

Пограничная кривая

Если соединить на рис. 8.1 одной линией состояния б на

разных изотермах, а другой – состояния а, то обе линии с рос-

том температуры соединяются в точке К. Полученная таким

образом линия носит название пограничной кривой (рис. 8.3).

Название вполне соответствует сути дела – п

разделяет всю диаграмму на области различных фазовых

состояний. Справа и выше ПК – обширная область газовых со-

§ 39. Пограничная кривая 170

ояний вещества. Чем состоян (бол

удельные объемы), тем газ ближ

удельные объемы очень малы —

Состояния под ПК — это

находится одновременно в жид

смесь и область в целом наз

. Только чем он

насыщ

тводя

жидкостью (НЖ). В этих состояниях жид-

кость

К на пограничной кривой

назыв

ые объемы), тем газ ближ

удельные объемы очень малы —

Состояния под ПК — это

находится одновременно в жид

смесь и область в целом наз

. Только чем он

насыщ

тводя

жидкостью (НЖ). В этих состояниях жид-

кость

К на пограничной кривой

назыв

ст ие дальше от ПК ьшие

е к идеальному. Слева от ПК

это область жидкости.

двухфазная смесь: вещество

ком и газообразном виде. Та-

ывают влажным паром.

е к идеальному. Слева от ПК

это область жидкости.

двухфазная смесь: вещество

ком и газообразном виде. Та-

ывают влажным паром. куюкую

100

200

250

300

р, бар

Точки, составляющие правую ветвь ПК, — это предель-

ные состояния для газа, при переходе через которые влево по-

является жидкость. Эти состояния принято называть сухим на-

сыщенным паром (СНП). Пар еще сухой, жидкости в нем нет,

но уже полностью готов сконденсироваться

Точки, составляющие правую ветвь ПК, — это предель-

ные состояния для газа, при переходе через которые влево по-

является жидкость. Эти состояния принято называть сухим на-

сыщенным паром (СНП). Пар еще сухой, жидкости в нем нет,

но уже полностью готов сконденсироваться

ен при этом? Это можно понимать так. Если прибли-

жаться к этим состояниям из области газа, например по изо-

терме, то его объем уменьшается, а внутренняя энергия не ме-

няется (§ 15). Но энергия единицы объема при этом растет.

Значит, можно считать СНП насыщенным энергией, о

ен при этом? Это можно понимать так. Если прибли-

жаться к этим состояниям из области газа, например по изо-

терме, то его объем уменьшается, а внутренняя энергия не ме-

няется (§ 15). Но энергия единицы объема при этом растет.

Значит, можно считать СНП насыщенным энергией, о

которую мы можем сконденсировать его в жидкость.

Состояния, образующие левую ветвь ПК, принято назы-

вать насыщенной

которую мы можем сконденсировать его в жидкость.

Состояния, образующие левую ветвь ПК, принято назы-

вать насыщенной

полностью готова перейти в пар, но продолжает быть

еще только жидкостью. О насыщенности можно высказать со-

ображения, аналогичные СНП. Обычно для того, чтобы жид-

кость стала готова перейти в пар, ее надо нагреть, подведя тепло.

Так что НЖ можно считать насыщенной теплом.

Критическая точка. Точку

полностью готова перейти в пар, но продолжает быть

еще только жидкостью. О насыщенности можно высказать со-

ображения, аналогичные СНП. Обычно для того, чтобы жид-

кость стала готова перейти в пар, ее надо нагреть, подведя тепло.

Так что НЖ можно считать насыщенной теплом.

Критическая точка. Точку

ают критическим состоянием вещества. Это уникальное

состояние представляет интерес для исследований до сих пор

ают критическим состоянием вещества. Это уникальное

состояние представляет интерес для исследований до сих пор

Если считать, что ПК ограничивает область, составлен-

ную из горизонтальных отрезков изотерм, то с ростом темпе-

Если считать, что ПК ограничивает область, составлен-

ную из горизонтальных отрезков изотерм, то с ростом темпе-

0,001 0,01 0,1 1v, м

/кг

150

кр

жидкость

газ

влажный

пар

Рис. 8.3. Пограничная

кривая Н

О. Области разных

фазовых состояний

§ 39. Пограничная кривая 171

р в ращается, причем до нуля в

чено ранее, определяет ве-

ью и газом. Значит, критиче-

ь так: это состояние, в ко-

жидкостью и газом одного и

ерхность раздела, поскольку

любо -

щ -

еств. Но параметры кри-

тичес

рату ы длина этих отрезко сок

точке К. Длина отрезков, как отме

личину различий между жидкост

ское состояние можно определит

тором исчезает различие между

того же вещества. Исчезает пов

расстояния между молекулами в

ковы, становятся равными нулю

теплота парообразования. И вооб

стояние сказать, жидкость это или газ. Это ни то ни другое,

это — критическое состояние.

Можно посмотреть иначе. Изотерма Т

кр

, которая лишь

касается ПК в критической точке и имеет в ней перегиб, раз-

деляет диаграмму на две области. Ниже такой температуры

вещество может находиться в любом из трех состояний: газо-

образном, жидком или двухфазном. Но выше критической

температуры вещество может быть только газом.

Это справедливо для всех вещ

й точке вещества одина

поверхностное натяжение

е невозможно про это со

кого состояния р

кр

, Т

кр

, v

кр

имеют различные значения

для каждого из них (они фактически определяют «размер» и

местоположение ПК на диаграмме). Приведу значения крити-

ческих параметров и пограничные кривые некоторых веществ

(табл. 8.1, рис. 8.4).

Таблица 8.1

кр

= 221 бар

кр

= 374 °С

кр

= 0,00326 м

/кг

воздух

кр

= 37,7 бар

кр

= –140 °С

кр

= 0,00286 м

/кг

СО

кр

= 73,9 бар

кр

= 31 °С

кр

= 0,00214 м

/кг

Нg (ртуть)

кр

= 1530 бар

кр

= 1490 °С

кр

= 0,00019 м

/кг

Цифры говорят о том, что вода, например, может оста-

ваться жидкой вплоть до температуры 374 °С. При более высо-

ких температурах Н

О будет газообразной при любых давлени-

ях. Ртуть, привычно жидкая в обычных условиях, может оста-

ваться такой до температуры 1490 °С. Вещество СО

, получив-

шее даже название «углекислый газ» по привычному для нас

состоянию, оказывается, может быть жидкостью при комнатной

§ 39. Пограничная кривая 17

ладить ниже –140 °С —

торой ень важно.

Это д

сч

ладить ниже –140 °С —

торой ень важно.

Это д

сч

температуре, стоит только

должным образом

сить давление. Воздух при

обычных температурах,

как ни дави, жидким не

станет. Прежде его нужно

ох

должным образом

сить давление. Воздух при

обычных температурах,

как ни дави, жидким не

станет. Прежде его нужно

ох

тогда он может сконденси-

роваться в жидкость.

Такое различие в параметрах области влажного пара, в ко

тогда он может сконденси-

роваться в жидкость.

Такое различие в параметрах области влажного пара, в ко

возможен фазовый переход жидкость – газ, оч возможен фазовый переход жидкость – газ, оч

ает возможность, в частности, используя различные ве-

щества в качестве рабочего тела тепловых машин, конструи-

ровать их для самых различных областей применения.

тольк холодильной технике латура хладагенто

ает возможность, в частности, используя различные ве-

щества в качестве рабочего тела тепловых машин, конструи-

ровать их для самых различных областей применения.

тольк холодильной технике латура хладагенто

В одной

в на-

иты

В одной

в на-

иты

о номенко номенк

вает более 50 наименований.

§ 40. я насыще

вает более 50 наименований.

§ 40. я насыще Лини ния Лини ния

Посмотрим теперь на область двухфазных состояний в

буквальном смысле с другой стороны — в диаграмме р-Т. При

заданном давлении все состояния под пограничной кривой от

Посмотрим теперь на область двухфазных состояний в

буквальном смысле с другой стороны — в диаграмме р-Т. При

заданном давлении все состояния под пограничной кривой от

точки а до точки б включительно характеризуются одинако-

вым давлением (отрезок а – б горизонтален) и одной темпера-

турой (это отрезок изотермы). Поэтому в р-Т диаграмме весь

этот отрезок изобразится точкой, а вся область под ПК

«слипнется» в линию, которая заканчивается в критической

точке (рис. 8.5). Образно говоря, мы получаем вид на ПК сбоку

(о том

точки а до точки б включительно характеризуются одинако-

вым давлением (отрезок а – б горизонтален) и одной темпера-

турой (это отрезок изотермы). Поэтому в р-Т диаграмме весь

этот отрезок изобразится точкой, а вся область под ПК

«слипнется» в линию, которая заканчивается в критической

точке (рис. 8.5). Образно говоря, мы получаем вид на ПК сбоку

(о том, что обычно используемые диаграммы – проекции более

общей трехмерной, см. § 9.2). При этом полученная кривая име-

ет самостоятельный смысл и собственное название.

, что обычно используемые диаграммы – проекции более

общей трехмерной, см. § 9.2). При этом полученная кривая име-

ет самостоятельный смысл и собственное название.

Рис. 8.5. Пограничная

кривая и линия

насыщения

100

150

200

250

0,001 0,01 0,1

v, м

/кг

, бар

СО

Рис. 8.4. Пограничные кривые воды

и углекислого газа

§ 40. Линия насыщения 173

сти. Поэтому естественное название этой

линии

более. При

давлении 170 бар t = 352 °C

r = 858 кДж/кг — на получение 1 кг пара по-

а) меньше тепла по сравнению с за-

де чем получить такую экономию,

придет

Каждая точка этой линии, как и всякая точка в термоди-

намической диаграмме, отражает состояние. В данном случае

состояние насыщения — равновесие сухого насыщенного пара и

насыщенной жидко

— линия насыщения (ЛН).

Всякая линия в системе координат отображает зависи-

мость между величинами, отложенными по осям. Линия на-

сыщения отражает зависимость между давлением и темпера-

турой в состоянии насыщения:

= f (T

) ⇔ T

= f (р

). (8.1)

Зависимость (8.1) в широких кругах более известна как

зависимость температуры кипения от давления, потому что

любая точка ЛН отражает условия, в которых возможен про-

цесс кипения-конденсации. Чтобы он действительно происхо-

дил при этих условиях, необходимо подводить или отводить

тепло в зависимости от требуемого направления процесса. Ес-

ли теплообмена нет, то влажный пар так и будет оставаться в

неизменном состоянии насыщения.

С УВЕЛИЧЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРА КИ-

ПЕНИЯ РАСТЕТ.

Существование зависимости (8.1) чрезвычайно важно

для теплоэнергетики, техники низких температур, самых раз-

ных технологий, включая пищевые.

Промышленная теплоэнергетика основана на использовании в каче-

стве рабочего тела водяного пара. Для получения пара, как уже говорилось,

требуется затратить теплоту парообразования. При атмосферном давлении и

соответственно температуре 100 °С

r = 2258 кДж/кг. В современных мощ-

ных котлоагрегатах пар получают при давлении 140–170 бар и

требуется на 1400 кДж/кг (или в 2,63 раз

тратами при давлении 1 бар. Правда, преж

ся потратить тепло на то, чтобы нагреть воду на 252 °С – от 100 °С до

352 °С. Это тепло можно оценить как разность энтальпий соответствующих

состояний: i'

352

– i'

100

= 1690 – 417 = 1273 кДж/кг. Тогда общие затраты на

получение пара при 170 бар составят: 1273 + 858 = 2131 кДж/кг. Получается

экономия: (2258 – 2131) / 2258 = 5,6 %. При тех огромных мощностях, кото-

рые развивают энергоблоки с такими параметрами, 5% экономии тепла —

это очень существенно. Не говоря уже о том, что пар, расширяясь от давле-

ния 170 бар до хотя бы атмосферного, совершит требуемую работу, а пар,

полученный при атмосферном давлении, уже не расширится.

§ 40. Линия насыщения 174

не везт

плоно-

при та-

кой температуре давление в ней должно быть ниже атмосферного (≈ 0,47 бар).

В холодильной технике зависимость (8.1) позволяет легко регулиро-

вать температуру в охлаждаемом объеме, изменя ом

хладагент кипит в испарителе. Для этого треб

типа вентиля, изменяющее проходное сечение д

Так же как и пограничная кривая, линия насыщения

для каждого вещества индивидуальна.

В р-Т диаграмме область левее и выше ЛН — это область

жидкости, ниже и правее ЛН — область газа. Второе название

газооб

анных компо-

нента

В судовых условиях одна из главных потребностей жизнеобеспече-

ния и производства – пресная вода. Запастись ею на берегу для многомесяч-

ного рейса невозможно. А кругом в прямом смысле море воды, правда, со-

леной. Из нее можно добыть пресную выпариванием. Нужно тепло. Чтобы

и с собой дополнительное количество дорогого топлива, можно ис-

пользовать «бросовое» тепло: судовой двигатель требуется охлаждать. Ох-

лаждающая вода нагревается обычно до 80 °С и служит греющим те

сителем для опреснительной установки. Для кипения морской воды

я давление, при котор

уется простейшее устройство

ля потока хладагента.

разного состояния — перегретый пар. Это пар с темпе-

ратурой выше насыщения при имеющемся в нем давлении. На

рис. 8.6 точка б — одно из состояний перегретого пара при за-

данном давлении р

. Видно, что температура Т

в этом состоя-

нии больше температуры насыщения при том же давлении.

перегретый

§ 41. Параметры состояния влажного пара

Итак, влажный пар (ВП) – это равновесная смесь сухо-

го насыщенного пара и насыщенной жидкости. Подчеркну,

что исходно подразумеваются только два назв

. Кроме того, ПОНЯТИЕ «ВЛАЖНЫЙ ПАР» ОТНО-

СИТСЯ НЕ ТОЛЬКО К ВОДЕ! Область таких состояний су-

ществует у любого вещества.

Прежде, задавая равновесное состояние газа, мы могли

использовать любые два из трех параметров р, Т,

v, поскольку

Т = Т

)

Т = Т

> Т

)

газ

≡

пар

жидкость

Рис. 8.6.

К пояснению

понятия

«перегретый пар»

)

> Т

)

§ 41. Параметры состояния влажного пара 175

молекул за секунду перешло из жид-

кости

о и отражает линия насыщени

раметров (р, Т) в области ВП отвечает любому сост

отрезке а Поэтому для ВП ну новый

параметр н ел и мог

быть изме

Пар степень сухости ра —

отношени П к масс и

все они равноправны, не зависят друг от друга и имеют одина-

ковое значение в любой точке системы. В случае с ВП условия

пар

= р

жидк

= р

, (8.2а)

пар

= Т

жидк

= Т

(8.2б)

легко проверяются экспериментально и являются условиями

равновесия двухфазной системы (это можно показать вполне

строго и аналитически [5, §5-4]).

К условиям (8.2а), (8.2б) должно быть добавлено еще условие равен-

ства химических потенциалов вещества в обеих фазах:

пар

= μ

жидк

. (8.2в)

Это условие означает: сколько

в пар, столько же за секунду вернулось обратно. Иначе говоря, рав-

ными должны быть потоки массы между фазами.

Любопытная двусмысленность: состояние на поверку оказывается

процессом, точнее, двумя, встречно направленными, равной интенсивности.

Такое состояние принято называть динамическим равновесием.

Таким образом, давление и температура остаются адек-

ватными (на латыни – соответствующий, верный, точный) па-

раметрами состояния для влажного пара. Про удельный объем

ВП без дополнительных оговорок этого сказать нельзя.

При задании состояния ВП возникает новое обстоятель-

ство. В области под пограничной кривой давление и темпера-

тура перестают быть независимыми. Они однозначно связа-

ны между собой, чт я. Пара па-

оянию на

– б (рис. 8.1). жно вводить

состояния, который е завис бы от р и Т

рен.

аметр этот — влажного па

е массы СН е всей смес (ВП):

х =

вп

Как видно из определения, степень сухости безразмерна,

всегда положительна и не превосходит единицы:

≤

1, (8.4)

поэтому ее часто выражают в процентах. По физическому

смыслу х — это массовая доля СПН в смеси под названием ВП.

За пределами пограничной кривой х не имеет смысла.

снп

. 3) (8.

§ 41. Параметры состояния влажного пара 176

Степень сухости — это по

параметр состояния. Полноправны мысле, ч

зависит от давления и температур

может быть измерен. Правда, экспе

не столь безмятежно, как измерен

ры, но целый ряд методов для это

новной элемент наиболее популя

(п

деляется сть (конст ыть раз-

ной).

лноценный и полноправный

й в том с то он не

ы; полноценный, поскольку

риментальное определение х

ие давления или температу-

й цели вполне отлажен. Ос-

рных методик – сепаратор

м парожидкостная смесь раз-

рукция его может б

о-русск , в которои – отделитель)

на пар и жидко

После этого определяется по отдельности их количество.

Кроме степени сухости ВП, часто пользуются величиной

степени влажности. Это массовая доля жидкости во влаж-

ном паре. Поскольку ВП состоит только из двух компонентов,

то степень влажности даже отдельной буквой не обозначают:

1 – х =

вп

нж

. ( .5)8

ь сухости справедливо и по от-

ия объема

изменении давления на единицу:

Все сказанное про степен

ношению к степени влажности

Таким образом, для того чтобы состояние ВП было од-

нозначно задано, должно быть известно по-прежнему два не-

зависимых параметра. Только теперь это

(р, х) либо (Т, х). (8.6)

§ 42. Термодинамические функции влажного пара

Кроме отличия в способе задания состояния ВП область

двухфазных состояний характеризуется еще целым рядом осо-

бенностей в свойствах вещества.

Анализируя

р-v диаграмму, приходим к выводу, что

сжимаемость ВП бесконечна. Под коэффициентом сжимаемо-

сти понимается относительная величина изменен

при

const

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

8.7)

В области под ПК приписка t = const озн е-

нение объема нужно брать вдоль горизонтальног изо-

термы, на котором Δр = 0. Знаменатель в формуле (8.7) равен

нулю, поэтому сжим мость в этой обла и бесконечна (

= ∞).

. (

ачает, что изм

о отрезка

ае ст