Определение момента инерции твердого тела на основе законов равноускоренного движения
Подождите немного. Документ загружается.
Санкт-Петербургский Государственный
Университет Точной Механики и Оптики
Лабораторная работа №4а
Определение момента инерции твердого тела на основе
законов равноускоренного движения
г. Санкт-Петербург
2008г.
Цель работы: экспериментальное исследование законов динамики вращательного
движения.
1.Теория работы
Основной закон динамики вращательного движения:
I
M
ε - угловое ускорение.
I – величина, характеризующая инерционность тела при вращении, называется
моментом инерции.
2
mrI
Для проверки законов вращательного
движения в данной работе используется
установка изображённая на рисунке.
Исследуемым телом является закреплённое на
неподвижной оси колесо 1. Момент инерции
передвигая в радиальном направлении четыре
симметрично расположенных груза 2. Колесо
приводится во вращение гирей 3, которая
подвешивается на нити, намотанной на шкив
радиуса r0.
Вращение колеса происходит под действием
момента М силы натяжения нити и противоположно направленного момента сил
сопротивления М
с
. Следовательно:
I
MM
c
или
IMM
c
. Из формулы видно, что сила сопротивления не
зависит от скорости и зависимость величины М от ε является линейной. Таким
образом, момент инерции колеса I можно найти, проведя экспериментальное
исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения нити и угловым
ускорением.
Движение гири происходит согласно уравнению:
Fmgma
, где а – ускорение движения гири, которое можно найти, зная
время t ее опускания и пройденный путь h:
2
2
t
h
a
Получаем:
)
2
(
2
00
t
h
grmrFM
Зная соотношение
0
ra
находим:
2
0
2
tr
h
Формулы позволяют найти момент силы натяжения силы М и угловое
ускорение ε. Проведя опыт с гирями различной массы, можно исследовать зависимость
М от ε и построить график. Поэтому определение момента инерции колеса сводится к
определению углового коэффициента найденной функции М(ε).
График прилагается.
ct 001,0
2
0
2
tr
h
)
2
(
2
00
t
h
gmrFrM
Записав уравнение М(ε) для разных двух точек на построенной прямой, имеем:
c
MIM ')'(
c
MIM '')''(
Из этой системы получаем:
'''
)''()'M(
M
I
Величины М(ε’) и М(ε’’) находятся из графика, то есть являются результатом
усреднения ряда экпериментальных данных, то погрешность определения I в данном
случае будет меньше, чем при подстановке в последнее равенство полученных
непосредственно из опыта значений
M
~
(ε).
2.Результаты измерений
Были сделаны измерения для трёх положений грузов 2 и трёх различных масс гири 3.
Приборная погрешность .
Ниже приведены таблицы измерений.
h (м) r (м) m1(кг) t1(с) m2(кг) t2(с) m3(кг) t3(с) m4(кг) t4(c)
1 0,4 0,2 0,053 6,240 0,095 4,241 0,137 3,552 0.179 2.475
2 0,4 0,2 0,053 6,552 0,095 4,464 0,137 3,720 0.179 2.482
3 0,4 0,2 0,053 6,510 0,095 4,419 0,137 3,589 0.179 2.711
4 0,4 0,2 0,053 6,315 0,095 4,589 0,137 3,665 0.179 2.702
5 0,4 0,2 0,053 6,470 0,095 4,427 0,137 3,603 0.179 2.483
Ср. 0,4 0,2 0,053 6,417 0,095 4,428 0,137 3,626 0.179 2.571
h (м) r (м) m1(кг) t1(с) m2(кг) t2(с) m3(кг) t3(с) m4(кг) t4(c)
1 0,4 0,15 0,053 5,329 0,095 3,669 0,137 2,775 0.179 1.980
2 0,4 0,15 0,053 5,723 0,095 3,515 0,137 2,825 0.179 1.993
3 0,4 0,15 0,053 5,607 0,095 3,647 0,137 2,833 0.179 1.952
4 0,4 0,15 0,053 5,630 0,095 3,620 0,137 2,891 0.179 1.976
5 0,4 0,15 0,053 5,377 0,095 3,609 0,137 2,876 0.179 1.966
Ср. 0,4 0,15 0,053 5,533 0,095 3,612 0,137 2,840 0.179 1.973
h (м) r (м) m1(кг) t1(с) m2(кг) t2(с) m3(кг) t3(с) m4(кг) t4(c)
1 0,4 0,1 0,053 3,867 0,095 2,851 0,137 2,155 0.179 1.576
2 0,4 0,1 0,053 4,002 0,095 2,703 0,137 2,174 0.179 1.644
3 0,4 0,1 0,053 4,016 0,095 2,723 0,137 2,120 0.179 1.638
4 0,4 0,1 0,053 4,010 0,095 2,608 0,137 2,137 0.179 1.658
5 0,4 0,1 0,053 3,897 0,095 2,713 0,137 2,123 0.179 1.663
Ср. 0,4 0,1 0,053 3,958 0,095 2,720 0,137 2,142 0.179 1.634
Для выбранного значения r расчитаем по формулам
и
величины M и ε при различных m. Построим график функции M(ε), аппроксимируя
экспериментальные результаты линейной зависимостью.Он приведён в приложении 1.
Расчёты момента силы и углового ускорения
Таблица резултата расчётов момента силы и углового ускорения
r=0.2 м
№ опыта М ε
1 0.021 0.48
2 0.037 1.02
3 0.053 1.52
4 0.069 3.03
r=0.15 м
№ опыта M ε
1 0.021 0.65
2 0.037 1.54
3 0.053 2.5
4 0.069 5.3
r=0.1 м
№ опыта M ε
1 0.021 1.3
2 0.037 2.5
3 0.053 4.4
4 0.069 7.3
Значения M и ɛ при r=0.2 м:
0 2 1.07 8 1.90 , 0 0 2 1 20 . 0 1 9 4 )-( 9 . 80 , 0 0 2 1 2)
1 8.4 1
8.0
8.9(0 4.00 5 3.0
M
0 6 9.09 , 6 7 90 , 0 0 7 1 60 . 1 2 1 )-( 9 . 80 , 0 0 7 1 6)
6 1.6
8.0
8.9(0 4.01 7 9.0
M
0 5 3.07 3 9.90 , 0 0 5 4 80 . 0 6 1 )-( 9 . 80 , 0 0 5 4 8)
1 3 . 1 5
8.0
8.9(0 4.01 3 7.0
M
0 3 7.07 5 9.90 , 0 0 3 80 . 0 4 1 )-( 9 . 80 , 0 0 3 8)
1 9 , 6 1
8.0
8.9(0 4.00 9 5.0
M
ɛ при r=0.15 м:
ɛ при r=0.10 м:
5 2.1
0 , 5 2 6
8.0
1 5.1 30 4.0
8.0
0 3.3
2 6 4.0
8.0
6 1.60 4.0
8.0
0 2.1
0 , 7 8 4 4
8.0
6 1.1 90 4.0
8.0
4 8.0
1 , 6 4 7 2
8.0
1 8.4 10 4.0
8.0
6 5.0
2 2.1
8.0
6 1.3 00 4.0
8.0
5 4.1
5 2.0
8.0
0 5.1 30 4.0
8.0
5.2
3 2.0
8.0
0 6.80 4.0
8.0
3.5
1 5.0
8.0
8 9.30 4.0
8.0
3.1
6 3.0
8.0
6 8.1 50 4.0
8.0
5.2
3 2.0
8.0
0 6.80 4.0
8.0
4.4
1 8.0
8.0
5 9.40 4.0
8.0
3.7
1 1.0
8.0
6 7.20 4.0
8.0
'''
)''()'(
MM
I
3
*008.0
6
048.0
3.13.7
021.0069.0
мкгI
Используя формулу подсчитываем моменты инерции колеса
для разных r
Используя полученные результаты, строим график зависимости I(r
2
). Он приведён в
приложении 2.
Расчет погрешности
Погрешность вычисляется по формуле:
i
iin
MM
N
SM
2
1
))()(
~
(
2
1
где N – число точек,
)(
~
i
M
- экспериментальное значение, М(ε
i
) – значение по
графику, S
n-1
– коэффициент Стьюдента.
Погрешность ΔI можно найти по формуле:
)''()'(
2
MM
M
I
I
Но лучше рассчитать по вытекающей из первых двух формуле:
i
ii
MM
NMMI
I
2
))()(
~
(
2
2
)''()'(
1
4166.002.083.2002.083.20)001.0013.0007.0001.0(
2
2
048.0
1
))07.0069.0()04.0053.0()03.0037.0()02.0021.0((
24
2
021.0069.0
1
22
2
i
I
I
3
м0,00741660.001882.0
кг
I
I
II
Результат
0 1 8 8 2.0
5 5.2
0 4 8.0
4 8.00 3.3
0 2 1.00 6 9.0
I
0 1 0 3 2.0
6 5.4
0 4 8.0
6 5.03.5
0 2 1.00 6 9.0
I
При r=0.2м
При r=0.15м
При r=0.1м
В результате момент инерции колеса при разных r изображен в следующей таблице:
r (м) 0,10 0,15 0,20
I (кг м
2
) (0,008 ± 0,007) (0,010 ± 0,007) (0,018 ± 0,007)
По графику I(r
2
) , изображённому на приложении 2, видно, что в пределах
погрешности измерений, если размерами грузов можно пренебречь,
экспериментальные точки находятся на одной прямой. Это подтверждает
справедливость соотношения I = mr
2