Новиков В.А., Кончаловский В.Ю. Сборник задач по расчету погрешностей электрических измерений
Подождите немного. Документ загружается.
50,5 дел. (отсчет выполнен с округлением до 1/2 дел.). Измерение
выполняется при температуре окружающей среды Т = 10
о
С.
Характеристики амперметра: класс точности 0,5; диапазон
показаний — (0…2)А; шкала содержит 100 делений; нормальная область
значений температуры — (20 5)
о
С; рабочая область значений
температуры — (10…35)
о
С; R
А
= (0,100 0,050) Ом.
Представить результат измерения в виде двух доверительных
интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,99.
Решение:
P = 1
п
=
вз.п
+
о.п
+
т.п
+
отс.п
;
c
I
= I
к
/ а
к
= 0,02 А/дел.;
I = c
I
a = 1,010 А;
вз
= – I ( R
A
/ R
и
);
вз.н
= – I ( R
A max
/ R
и
) = – 0,0303 А;
вз.в
= – I ( R
A min
/ R
и
) = – 0,0101 А;
вз.п
= (
вз.в
–
вз.н
) / 2 = 0,0101 А;
= – (
вз.в
+
вз.н
) / 2 = 0,0202 А;
I = I + = 1,0302 A;
о.п
=
о.п
(I
N
/ 100 %) = 0,01 А;
т.п
= (
о,п
/ 10
о
С)Т – Т
н
= 0,01 А;
отс.п
= 0,5 q = 0,5 0,5 c
I
= 0,005 А;
п
= 0, 0351 А.
Ответ 1: (1,030 0,035) А; Р = 1.
P = 0,99
гр
(Р) = K
P
2
п.от
2
п.т
2
п.о
2
п.вз
= 0,0253 А.
Ответ 2: (1,030 0,025) А; Р = 0,99.
3.3. К выходу источника синусоидального напряжения с внутренним
сопротивлением R
и
= 5 кОм подключен вольтметр, показание которого
U = 5,00 В. Измерение выполняется при нормальных условиях.
Характеристики вольтметра: класс точности 0,5; диапазон показаний
(0…10) В; R
V
1 МОм; x
C,V
50 кОм.
Полагая, что погрешность отсчитывания пренебрежимо мала,
представить результат измерения в виде доверительного интервала для
доверительной вероятности, равной 1.
Решение:
P = 1
п
=
вз.п
+
о.п
;
вз
= – U [R
и
/ R
V
+ 0,5 (R
и
/ x
C,V
)
2
];
21
вз,н
= – U [R
и
/ R
V min
+ 0,5 (R
и
/ x
C,V min
)
2
] = – 0,05 В;
вз,в
= 0 В;
вз.п
= (
вз.в
–
вз.н
) / 2 = 0,025 В;
= – (
вз.в
+
вз.н
) / 2 = 0,025 В;
U = U + = 5,025 В;
о.п
=
о.п
(U
N
/ 100 %) = 0,05 В;
п
= 0,075 В.
Ответ: (5,025 0,075) В; Р = 1.
3.4. К выходу источника постоянного напряжения с внутренним
сопротивлением R
и
= (100 10) кОм подключен цифровой вольтметр,
показание которого U = –1,5371 В. Измерение выполняется при температуре
окружающей среды Т = 35
о
С.
Характеристики вольтметра: класс точности 0,1/0,05; диапазон
показаний (0…–2) В; нормальная область значений температуры (20 2)
о
С; рабочая область значений температуры (0…40)
о
С; К
вл.т
=
о.п
/ 20
о
С;
R
V
= (10,0 0,5) МОм.
Представить результат измерения в виде двух доверительных
интервалов для доверительных вероятностей, равных 1 и 0,9.
Решение:
P = 1
п
=
вз.п
+
о.п
+
т.п
;
вз
= – U (R
и
/ R
V
);
вз.в
= – U (R
и max
/ R
V max
) = 0,017798 В ( > 0, так как U < 0);
вз.н
= – U (R
и min
/ R
V max
) = 0,013175 В ( > 0, так как U < 0);
вз.п
= (
вз.в
–
вз.н
) / 2 = 0,0023115 В;
= – (
вз.в
+
вз.н
) / 2 = – 0,0154865 В;
U = U + = – 1,5525865 В;
о.п
= 0,1 % + 0,05 % [–2 В / –1,5371 В – 1] = 0,115 % ;
о.п
=
о,п
U / 100 % = 0,0017685 В;
т.п
= (
о,п
/ 20
о
С)Т – Т
н
= 0,0013263 В;
п
= 0,0054063 В.
Ответ 1: (–1,5526 0,0054) В; Р = 1.
P = 0,9
гр
(Р) = K
P
2
п.т
2
п.о
2
п.вз
= 0,0030383 В.
Ответ 2: (–1,5526 0,0030) В; Р = 0,95.
Задачи для самостоятельного решения
22
3.5. Вольтметром класса точности 0,5 с диапазоном показаний
(0…0,3) В, со шкалой, содержащей 150 делений, и входным сопротивлением
не менее 10 кОм в нормальных условиях измеряется напряжение
постоянного тока на зажимах источника, имеющего выходное
сопротивление не более 100 Ом. С округлением до 1 дел. по шкале сделан
отсчет: 131 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,95.
3.6. Амперметром класса точности 0,5 с диапазоном измерений (0…
1) А, со шкалой, содержащей 100 делений, и входным сопротивлением не
более 0,1 Ом в условиях, отличающихся от нормальных только
температурой, значение которой составляет 30
о
С, измеряется ток источника,
имеющего выходное сопротивление не менее 10 Ом. С округлением до 0,5
дел. по шкале сделан отсчет: 75,5 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.7. Вольтметром класса точности 0,5 с диапазоном измерений
(0…100) В и входным сопротивлением от 90 до 110 кОм в условиях,
отличающихся от нормальных только температурой, значение которой
составляет 35
о
С, измеряется напряжение постоянного тока на зажимах
источника, имеющего выходное сопротивление, равное 10 кОм.
Измеренное значение составляет 50,0 В. Погрешность отсчитывания
пренебрежимо мала.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,99.
3.8. Миллиамперметром класса точности 0,2 с диапазоном измерений
(0…100) мА, со шкалой, содержащей 200 делений, и входным
сопротивлением, равным 1 Ом в условиях, отличающихся от нормальных
только температурой, значение которой составляет 10
о
С, измеряется ток
источника, имеющего выходное сопротивление, равное (10,00 0,05) Ом. С
округлением до 0,25 дел. по шкале сделан отсчет: 150,25 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.9. Цифровым вольтметром класса точности 0,01/0,005 с диапазоном
измерений (0…1) В и входным сопротивлением от 9 до 11 МОм в
нормальных условиях измеряется напряжение постоянного тока на зажимах
источника, имеющего выходное сопротивление от 8 до 12 кОм. Измеренное
значение составляет 0,50000 В.
23
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.10. Микроамперметром класса точности 1,0 с диапазоном
измерений (0…50) мкА, со шкалой, содержащей 100 делений, и входным
сопротивлением в диапазоне (1,0 0,1) кОм в условиях, отличающихся от
нормальных только температурой, значение которой составляет 28
о
С,
измеряется ток источника, имеющего выходное сопротивление, равное 10
кОм. С округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 50 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,9.
3.11. Вольтметром класса точности 0,2 с диапазоном измерений (0…
1)В, со шкалой, содержащей 200 делений, и входным сопротивлением,
равным 5 кОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного
тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление от 50 до
100 Ом. С округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 100 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,95.
3.12. Вольтметром класса точности 2,5 с диапазоном измерений
(0…100) В, входным сопротивлением не менее 1 МОм и входной емкостью
не более 10 пФ при нормальной температуре измеряется синусоидальное
напряжение с частотой 900 кГц на зажимах источника, имеющего выходное
сопротивление не более 5 кОм. Нормальная область значений частоты
вольтметра — 45 Гц…500 кГц, рабочая область значений частоты —
20 Гц...1 МГц. Измеренное значение составляет 50,0 В. Погрешность
отсчитывания пренебрежимо мала.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,9.
3.13. Цифровым омметром класса точности 0,02/0,01 с диапазоном
измерений (0…200) Ом в условиях, отличающихся от нормальных только
температурой, значение которой составляет 28
о
Сi, измеряется
сопротивление объекта, соединенного с прибором двухпроводной линией
связи. Сопротивление каждого из проводов не превышает 0,05 Ом.
Измеренное значение составляет 150,00 Ом.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,99.
3.14. Вольтметром класса точности 2,5 с диапазоном измерений
(0…100) В, входным сопротивлением не менее 1 МОм и входной емкостью
не более 10 пФ при температуре 27
о
С (T
н
= 20ii5
о
С) измеряется
24
синусоидальное напряжение с частотой 40 Гц на зажимах источника,
имеющего выходное сопротивление не более 5 кОм. Нормальная область
значений частоты вольтметра — 45 Гц...500 кГц, рабочая область значений
частоты — 20 Гц...1 МГц. Измеренное значение составляет 50,0 В.
Погрешность отсчитывания пренебрежимо мала.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.15. Цифровым вольтметром класса точности 0,1/0,05 с диапазоном
измерений (0…10) В и входным сопротивлением, равным 1 МОм при
температуре 22
о
С измеряется напряжение постоянного тока на зажимах
источника, имеющего выходное сопротивление, равное 1 кОм. Измеренное
значение составляет 3,00 В. Нормальная область значений температуры
вольтметра — (20 5)
о
С.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.16. Вольтметром класса точности 1,5 с диапазоном измерений (0…
3) В, со шкалой, содержащей 50 делений, и входным сопротивлением,
равным 10 кОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного
тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление не более
400 Ом. С округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 31 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,99.
3.17. Амперметром класса точности 2,5 с диапазоном измерений
(0…300) А, со шкалой, содержащей 30 делений, и входным сопротивлением,
равным 0,01 Ом при температуре 25
о
С измеряется ток источника,
имеющего выходное сопротивление не менее 0,25 Ом. С округлением до
1дел. по шкале сделан отсчет: 25 дел. Нормальная область значений
температуры амперметра — (20 5)
о
С.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,9.
3.18. Вольтметром класса точности 1,5 с диапазоном измерений
(0…600)В и входным сопротивлением от 180 до 220 кОм в условиях,
отличающихся от нормальных только температурой, значение которой
составляет 15
о
С, измеряется напряжение постоянного тока на зажимах
источника, имеющего выходное сопротивление, равное 25 кОм.
Измеренное значение составляет 500 В. Погрешность отсчитывания
пренебрежимо мала.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
25
3.19. Цифровым миллиамперметром класса точности 0,2/0,1 с
диапазоном измерений (0...100)мА и входным сопротивлением, равным 1 Ом
в условиях, отличающихся от нормальных только температурой, значение
которой составляет 28
о
С, измеряется ток источника, имеющего выходное
сопротивление, равное (20,0i 1,0) Ом. Измеренное значение составляет
80,00 мА.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 0,99.
3.20. Цифровым вольтметром класса точности 0,01/0,005 с
диапазоном измерений (0…200)В и входным сопротивлением от 900 кОм до
1 МОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного тока на
зажимах источника, имеющего выходное сопротивление, равное 5 кОм.
Измеренное значение составляет 160,00 В.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.21. Микроамперметром класса точности 1,0 с диапазоном измерений
(0...50) мкА, со шкалой, содержащей 100 делений, и входным
сопротивлением, равным 1 кОм в условиях, отличающихся от нормальных
только температурой, значение которой составляет 13
о
С, измеряется ток
источника, имеющего выходное сопротивление, равное 10 кОм. С
округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 50 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.22. Вольтметром класса точности 0,2 с диапазоном измерений (0…
1) В, со шкалой, содержащей 200 делений, и входным сопротивлением,
равным 1 кОм в нормальных условиях измеряется напряжение постоянного
тока на зажимах источника, имеющего выходное сопротивление, равное
(100 5) Ом. С округлением до 1 дел. по шкале сделан отсчет: 150 дел.
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
3.23. Вольтметром класса точности 2,0 с диапазоном измерений
(0…30) В, входным сопротивлением не менее 10 МОм и входной емкостью
не более 10 пФ при нормальной температуре измеряется синусоидальное
напряжение с частотой 70 кГц на зажимах источника, имеющего выходное
сопротивление не более 100 кОм. Нормальная область значений частоты
вольтметра — 45 Гц…50 кГц, рабочая область значений частоты —
20 Гц...100 кГц. Измеренное значение составляет 25,0 В. Погрешность
отсчитывания пренебрежимо мала.
26
Представьте результат измерения с указанием погрешности для
доверительной вероятности, равной 1.
27
4. ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ
Примеры
4.1. Последовательно с резистором включен амперметр класса
точности 0,5 с диапазоном показаний (0…5) А. Показание амперметра I =
2,000 А; существенна только основная погрешность прибора. Номинальное
значение сопротивления резистора R = 1 Ом; предел допускаемого
относительного отклонения реального сопротивления от номинального
R,п
=
0,5 %.
Определите мощность рассеяния резистора Р
расс
. Представить результат
в виде доверительного интервала для доверительной вероятности P = 1.
Решение:
Р
расс
= I
2
R = 4,000 Вт;
*0 1-й способ
Р
расс
= I
2
R;
п
= Р
расс
/ I
Iп
+ Р
расс
/ R
Rп
;
Iп
=
о.п
(I
N
/ 100 %) = 0,025 А;
Rп
=
Rп
(R / 100 %) = 0,005 Ом;
Р
расс
/ I = 2 I R = 4,000 В;
Р
расс
/ R = I
2
= 4,000 А
2
;
п
= 0,12 Вт;
Ответ 1: (4,00 0,12) Вт; Р = 1.
*1 2-й способ
2
Р
расс
= (a
i
x
i
bi
); x
1
= I; x
2
= R; a
1
= a
2
= 1; b
1
= 2; b
2
= 1;
i =1
п
= b
1
1,п
+ b
2
2,п
= 2
Iп
+
Rп
;
Iп
=
о.п
(I
N
/ I) = 1,25 %;
п
= 3,0 %;
п
=
п
( Р
расс
/ 100 %) = 0,12 Вт;
Ответ 2: (4,00 0,12) Вт; Р = 1.
4.2. Необходимое электрическое сопротивление цепи в ряде случаев
приходится создавать тем или иным соединением двух и более стандартных
резисторов.
Пусть имеются два резистора, R1 и R2, со следующими номинальными
значениями сопротивления и пределами допускаемого относительного
отклонения реального сопротивления от номинального: R
1
= 1 кОм, R
2
= 3
кОм,
R1п
= 0,2 %,
R2п
= 1,0 %.
28
Определите номинальные значения эквивалентных сопротивлений R
пос
и R
пар
, соответствующих последовательному и параллельному соединениям
резисторов R1 и R2, и пределы допускаемых относительных отклонений
реальных эквивалентных сопротивлений от R
пос
и R
пар
.
Решение:
последовательное соединение
R
пос
= R
1
+ R
2
= 4 кОм;
п
= R
пос
/ R
1
R1п
+ R
пос
/ R
2
R2п
;
п
= (
R1п
R
1
+
R2п
R
2
) / R
пос
= 0,8 %.
параллельное соединение
R
пар
= R
1
R
2
/ (R
1
+ R
2
) = 0,75 кОм;
*2 1-й способ
п
= R
пар
/ R
1
R1п
+ R
пар
/ R
2
R2п
;
п
= (R
пар
/ R
1
R1п
R
1
+ R
пар
/ R
2
R2п
R
2
) / R
пар
;
R
пар
/ R
1
= [R
2
/ (R
1
+ R
2
)]
2
= 9/16;
R
пар
/ R
2
= [R
1
/ (R
1
+ R
2
)]
2
= 1/16;
п
= 0,4 %.
*3 2-й способ
Y
пар
= Y
1
+ Y
2
; Y
1
= 1 / R
1
; Y
2
= 1 / R
2
;
Yi п
=
Ri п
; i = 1,2;
Yпар.п
=
Y1п
+
Y2п
;
Yi п
=
Y п
Y
i
=
R,п
/ R
i
;
п
= (
Y1п
+
Y2п
) / Y
пар
= (
R1п
/ R
1
+
R2п
/ R
2
) R
пар
= 0,4 %.
4.3. Угол сдвига фаз между двумя синусоидальными напряжениями
измеряется с помощью электронно-лучевого осциллографа методом эллипса.
При этом искомый угол рассчитывается по формуле: = arcsin (H
1
/ H
2
), где
H
1
— расстояние между точками пересечения эллипса с вертикальной
секущей, проведенной через центр эллипса, H
2
– высота прямоугольника, в
который вписывается эллипс.
Измеренные значения — H
1
= 40 мм, H
2
= 50 мм. Толщина луча
осциллографа — b = 1 мм.
Полагая, что существенна только визуальная погрешность измерения
(т.е. погрешность измерения расстояний, предельное значение которой
в.п
= 0,4 b), представить результат измерения угла сдвига фаз в виде
доверительного интервала для доверительной вероятности, равной 1.
Решение:
= arcsin (H
1
/ H
2
) 0,9273 рад;
п
= /H
1
в1п
+ / H
2
в2п
;
x = H
1
/ H
2
;
29
/ H
1
= ( / x) (x / H
1
);
/ H
2
= ( / x) (x / H
2
);
/ x = (1 – x
2
)
-0,5
= 5/3 рад;
x / H
1
= 1 / H
2
= 0,02 мм
-1
;
x / H
2
= – H
1
/ H
2
2
= – 0,016 мм
-1
;
в1п
=
в2п
= 0,4 мм;
п
= 0,024 рад;
Ответ: (0,927 0,024) рад; Р = 1.
4.4. Измерение коэффициента усиления усилителя напряжения K
U
выполняется с помощью цифрового милливольтметра; при этом измеряются
напряжения на входе и выходе усилителя — U
вх1
, U
вых1
, U
вх2
, U
вых2
, а значение
K
U
вычисляется по формуле: K
U
= (U
вых1
– U
вых2
) / (U
вх1
– U
вх2
).
Измеренные значения напряжений:
U
вх1
= 200,0 мВ, U
вых1
= 605,3 мВ, U
вх2
= 100,0 мВ, U
вых2
= 305,3 мВ.
Полагая, что существенна только погрешность квантования цифрового
вольтметра (значение которой по абсолютной величине не превышает
половины ступени квантования), представить результат измерения
коэффициента усиления в виде двух доверительных интервалов для
доверительных вероятностей, равных 1 и 0,95.
Решение:
K
U
= 3;
P = 1
п
= K
U
/ U
вх1
Uвх1п
+ K
U
/ U
вх2
Uвх2п
+
+K
U
/ U
вых1
Uвых1п
+ K
U
/ U
вых2
Uвых2п
;
Uвх1п
=
Uвх2п
=
Uвых1п
=
Uвых1п
= 0,05 мВ;
K
U
/ U
вх1
= – K
U
/ (U
вх1
– U
вх2
) = – 0,03000 мВ
-1
;
K
U
/ U
вх2
= K
U
/ (U
вх1
– U
вх2
) = 0,03000 мВ
-1
;
K
U
/ U
вых1
= K
U
/ (U
вых1
– U
вых2
) = 0,01000 мВ
-1
;
K
U
/ U
вых2
= – K
U
/ (U
вых1
– U
вых2
) = – 0,01000 мВ
-1
;
п
= 0,0040.
Ответ 1: (3,0000 0,0040); Р = 1.
P = 0,95
гр
(Р) = K
P
{[(K
U
/ U
вх1
)
Uвх1п
]
2
+
+ [(K
U
/ U
вх2
)
Uвх2п
]
2
+
+ [(K
U
/U
вых1
)
Uвых1п
]
2
+
+ [(K
U
/U
вых2
)
Uвых2п
]
2
}
0,5
;
гр
(Р) 0,0025;
Ответ 2: (3,0000 0,0025); Р = 0,95.
Задачи для самостоятельного решения
30