Носов Г.В., Макенова Н.А., Канев Ф.Ю. Компьютерное исследование длинных линий и электромагнитного поля
Подождите немного. Документ загружается.
21
§2.3. Электрическое поле стержневого заземлителя
Если под воздействием внешних источников в проводящей среде
(металлических проводниках, земле, жидкостях, газах) создано электри-
ческое поле, то в ней будет электрический ток. Упорядоченное движе-
ние элементарных носителей зарядов (электронов и ионов) под действи-
ем электрического поля принято называть током проводимости. При
своем упорядоченном движении носители зарядов испытывают много-
численные
столкновения с другими частицами вещества, которые нахо-
дятся в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упорядочен-
ное движение носителей зарядов и являются причиной сопротивления,
оказываемого проводящей средой току.
Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток,
называют удельной проводимостью
. Удельная проводимость
зависит
от физических свойств проводящего материала и температуры, имеет
размерность
См
1
.
Ом м м
Так при
С
20 :
для меди
6
Cм
58 10
м
;
для воды (усредненное значение)
См
0,1
м
;
для грунта (усредненное значение)
См
0, 01
м
;
для полиэтилена
14
См
10
м
.
Электрическое поле постоянного тока I в проводящей среде без
стороннего электрического поля (обусловленного химическими, элек-
трохимическими, тепловыми, термоэлектрическими процессами) опи-
сывается следующими уравнениями и законами:
1.
Ток как поток вектора плотности тока
равен:
s
I
dS ,
(2.31)
где
2
A
11,;1
м
nn n
di
dS
единичный вектор, перпендикулярный
площадке dS и совпадающий с направлением движения зарядов, обра-
зующих ток di.
2.
Закон Ома в дифференциальной форме:
,
E
(2.32)
где
E
– вектор напряженности электрического поля,
B
.
м
22
Вектора
и
E
совпадают по направлению.
3.
Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме:
2
,
V
PEdV
(2.33)
где
Р(Вт)– мощность тепловых потерь в объеме V с проводимостью ;
E– модуль вектора напряженности электрического поля.
4.
Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме:
div 0
или 0
s
dS
(2.34)
т. е. при постоянном токе в любой точке электрического поля нет истока
и стока линий вектора
.
5.
Уравнение Лапласа для потенциала электрического поля:
2
0,
(2.35)
т. е. электрическое поле постоянного тока в проводящей среде является
потенциальным, т. к. в областях не занятых источниками
0.
Edl
6.
Связь между напряженностью и потенциалом электрического
поля:
grad .
E
(2.36)
7.
Граничные условия при переходе тока из среды с проводимо-
стью
1
в среду с проводимостью
2
:
а) на границе раздела сред равны нормальные составляющие век-
тора плотности тока, т. е.
12
nn
;
б) на границе раздела сред равны касательные составляющие век-
тора напряженности электрического поля, т. е.
12
E
E ;
в) для углов по отношению к нормали входа
1
()
и выхода
2
()
векторов плотности тока на границе раздела выполняется следующее
соотношение
11
22
tg
tg
,
т. е. при
12
получаем
2
0,
а это значит, что линии плотности
тока (напряженности) перпендикулярны поверхностям металлических
проводников.
Исходя из вышеприведенных уравнений, следует, что между элек-
трическим полем постоянного тока в проводящей среде и электростати-
ческим полем в диэлектрике при отсутствии стороннего электрического
поля и объемных зарядов существует аналогия в уравнениях и величи-
23
нах: аналогом
является
D
(
D
– вектор электростатической индукции
поля), аналогом тока
I – поток вектора
D
; аналогом
– диэлектриче-
ская проницаемость
a
.
Таким образом, если какое-либо электростатическое поле уже изу-
чено, то все сведения о нем могут быть перенесены и на геометрически
подобное поле в проводящей среде. Справедливо и обратное заключе-
ние. Так замена
a
на
в формулах для электрической емкости С (Ф)
дает формулы для проводимости электрического тока
G
1
()
Ом
.
Задачами расчета электрического поля постоянного тока в прово-
дящей среде являются определение сопротивлений и проводимостей
проводников, расчет электрического поля токов утечки через несовер-
шенную изоляцию и расчет заземления. Графически электрическое поле
постоянного тока в проводящей среде изображается совокупностью
взаимно перпендикулярных линий равного потенциала и линий напря-
женности (тока) подобно
электростатическому полю.
Подобие между электрическим и электростатическим полем можно
проиллюстрировать на примере трехпроводной линии, расположенной
параллельно проводящей поверхности (земле). Для такой линии
(рис. 2.3) подобно первой (2.31) и второй группе (2.32) формул Мак-
свелла запишем уравнения:
а) первая группа уравнений
1111122133
2211222233
3311322333
,
yy y
yy y
yy y
RI RI RI
R
IRI RI
R
IRI RI
(2.37)
где
123
A
,,,
м
yy y
II I токи утечки на единицу длины с 1, 2, 3 прово-
дов через несовершенную изоляцию линии, имеющую удельную прово-
димость
и диэлектрическую проводимость
a
;
123
,,
потенциалы проводов;
2
1
ln Ом м
2
k
kk
y
R
R
– собственные сопротивления изоляции
проводов токам утечки;
1
ln Ом м
2
km
km mk
km
D
RR
d
взаимные сопротивления изоля-
ции токам утечки;
,,,
km km k
dDRyгеометрические размеры, указанные на рис. 2.2.
б) вторая группа уравнений
24
1111122133
2211222233
3311322333
,
y
y
IG G G
IG G G
Iy G G G
(2.38)
где
()
1
1,
Ом м
km
km
km
G
собственные (k
m) и взаимные (k
m)
проводимости изоляции проводов на единицу длины токам утечки;
определитель уравнений (2.37);
km
алгебраическое дополнение, образованное вычеркиванием
k – строки и т – столбца определителя
.
Если заданы потенциалы проводов
123
,,
, то после расчета
,,
kт kk kт
R
RG по уравнениям (2.38) можно найти токи утечки
123
,,
yy y
I
II.
В свою очередь для расчета электрического поля сферического за-
землителя диаметром d и с током
0
I , расположенного на глубине h
(рис. 2.3), применяются методы зеркальных изображений и наложения.
Nm
R
z
R
r
1
R
r
2
Nm
Dd
Dd
N
l
N
E
E
1
R
r
Rh
Rh
2
E
0
I
0
I
N
n
Рис. 2.3. Электрическое поле сферического заземлителя, определяемое
по методу зеркальных изображений
На месте зеркального изображения помещается электрод с тем же
током
0
I . При этом плотность тока в земле от уединенного шара без
учета влияния поверхности земли будет равна при
1
2
d
r (точка N)
25
0
1
2
1
,
4
I
r
тогда по закону Ома (2.32) напряженность составит
0
1
1
2
1
,
4
I
E
r
а на основании уравнения (2.36) находим потенциал
0
1111 1
1
,
4
I
E
dr C C
r
причем
0
1
C , если принять, что
1
0
при
1
r .
Далее находим в точке N плотность тока, напряженность и потен-
циал от фиктивного заземлителя
00 0
22 2
22
222
;;.
44 4
III
E
rrr
Результирующее поле с учетом влияния поверхности земли будет ха-
рактеризоваться геометрической суммой векторов
1
E и
2
E , а также
суммой потенциалов от каждого шара в отдельности
0
12
12
11
(),
4
I
rr
(2.39)
где
2222
12
(), (), rrhZr rhZ причем 0
r и 0.
Z
Затем находим потенциал заземлителя
12
;2
22
dd
rrh
0
0
21
4
2
2
I
d
d
h
,
сопротивление заземления
0
0
12 1
,
4
2
2
З
R
I
d
d
h
и шаговое напряжение (Z=0)
0
22 2 2
11
,
4
()
ш mn
ш
I
U
hr h rl
где 0,8 м
ш
l – длина шага человека.
26
В данной работе исследуется с учетом влияния поверхности земли
осесимметричное электрическое поле постоянного тока стержневого за-
землителя длиной l и диаметра d c током
0
I .
Осесимметричным (плоскомеридианным) называют поле, потенци-
ал и напряженность которого не зависят от угловой координаты
ци-
линдрических координат ,,
rZ. Картина такого поля, представляющая
собой совокупность ортогональных эквипотенциальных и силовых ли-
ний, одинакова в любой плоскости, проходящей через ось 0Z, т. е. в на-
шем случае ось стержневого заземлителя.
Для расчета потенциала в земле используем методы зеркальных
изображений и наложения, определяя потенциал в точке N от реального
и фиктивного заземлителя
(рис. 2.4).
L
I
0
I
0
z
0
2R
r
1
r
2
L
z
0
z
r
z
r
N
Рис. 2.4. Стержневой заземлитель как набор сферических заземлителей
При этом полагаем, что ток вдоль стержня уменьшается вглубь земли по
линейному закону от
0
I до 0:
0
0
1,
Z
II
l
(2.40)
где
0
0
Z
l .
Представим стержневой заземлитель в виде совокупности сфериче-
ских заземлителей, в каждом из которых ток равен
00
0
1,
Z
dZ
dI I
ll
(2.41)
тогда, согласно (3.9), в точке N потенциал от сферического заземлителя
и его зеркального изображения будет равен
27
12
11
,
4
dI
d
rr
(2.42)
где
,)(;)(
2
0
2
2
2
0
2
1
ZZrrZZrr где причем координаты
точки N изменяются в следующих пределах:
., 00
Z
r
В результате потенциал в точке N электрического поля стержнево-
го заземлителя будет равен
00
0
12
00
11
(1 )( )
4
ll
IZ
ddZ
lrr
или
22
0
2
22
22
22
22 2 2 2 2
() ()
()ln
4
() ()
()ln
2()(),
lZ r lZ
I
lZ
l
rZ Z
lZ r lZ
lZ
rZ Z
rZ r lZ r lZ
(2.43)
причем шаговое напряжение составит
0,8 ;
2
ш
d
l м r
() ( 0; ) ( 0; ).
ш mn ш
Ur Zr Zrl
(2.44)
При
2
d
r и Z=0 получаем максимальное значение потенциала за-
землителя
2
0
0
2
11
ln( 1 ) 1 ,
2
I
кк
к
к
l
где
d
l
к
2
и если 1
к , то
0
0
4
ln 1
2
I
l
d
l
,
(2.45)
тогда сопротивление заземления составит
0
0
14
ln 1 .
2
З
l
R
I
ld
(2.46)
Если величины
0
,,,
I
dl заданы, то по выше приведенным форму-
лам можно рассчитать потенциал заземлителя
0
, сопротивление зазем-
28
ления
З
R , шаговое напряжение
ш
U при Z=0, а также, меняя координа-
ты
r, Z точки N, можно найти распределение потенциала в земле и по-
строить линии равного потенциала.
Линии напряженности осесимметричного поля строятся
перпенди-
кулярно
линиям равного потенциала так, чтобы между соседними ли-
ниями равного потенциала и напряженности получились криволиней-
ные прямоугольные ячейки, у которых (в отличие от плоскопараллель-
ного поля) средняя длина
)( n
и средняя ширина )( a
удовлетворяют
соотношению
0
0
2
k
a
nr
,
где
0
k – коэффициент, постоянный для всех ячеек поля, определяемый
по постоянной квадратной ячейке вблизи заземлителя,
0
r – координаты
центров ячеек. В результате получаем картину электрического поля
стержневого заземлителя.
§2.4. Магнитное поле трехпроводной линии
Магнитное поле постоянного тока является одной из составляющих
неизменного во времени электромагнитного поля и создается в непод-
вижных проводниках неизменными токами. Вторая составляющая элек-
тромагнитного поля, а именно электрическое поле, является неизмен-
ным во времени и потому не влияет на магнитное поле. Следовательно,
магнитное поле можно рассматривать независимо от электрического
поля
.
Магнитное поле характеризуется векторами магнитной индукции
B
(Тл), намагниченности
J
A
()
м
и напряженности
А
()
м
H
, которые
связаны соотношением
00
() ,
a
B
HJ H H
где
7
0
410
Гн
м
– магнитная постоянная;
– относительная маг-
нитная проницаемость;
а
– абсолютная магнитная проницаемость. Для
вакуума и воздуха
1
, для ферромагнитных тел 1.
Магнитное поле может быть обнаружено силовым воздействием на
постоянный магнит или проводник с постоянным током
I. Согласно за-
кону Ампера сила
)(
H
F , действующая на проводник длиной l с током I,
помещенный во внешнее магнитное поле с индукцией
B
, равна
[]
l
FIdlB.
29
Если проводник прямолинейный, а индукция
B
постоянна и пер-
пендикулярна направлению тока
I
, то сила может быть рассчитана сле-
дующим образом
,
B
l
I
F
а ее направление определяется по правилу левой руки.
В основе расчета и анализа магнитного поля постоянного тока ле-
жат следующие законы и уравнения.
1.
Принцип непрерывности магнитного потока.
1.1.
В интегральной форме:
.0
s
dSB
Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую по-
верхность равен нулю.
1.2.
В дифференциальной форме:
div 0.B
Дивергенция вектора магнитной индукции всегда равна нулю.
Этот закон означает, что линии магнитной индукции, к которым
вектор
B
направлен по касательной, всегда замкнуты.
2.
Закон полного тока.
2.1.
В интегральной форме:
.
кполн
l
IIdlH
Линейный интеграл от вектора напряженности магнитного поля
вдоль любого замкнутого контура равен полному току, охватываемому
этим контуром. Полный ток равен алгебраической сумме отдельных то-
ков, причем положительные токи связаны с направлением обхода кон-
тура правилом правоходового винта (буравчика).
2.2.
В дифференциальной форме:
rot .
H
Ротор вектора напряженности
H
магнитного поля равен вектору
плотности тока
2
A
м
, т. е. в точках пространства, где 0
, поле
вектора
H
является вихревым.
3.
Уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала:
2
,
a
А
30
причем векторный магнитный потенциал
Вб
м
А
удовлетворяет урав-
нениям
rot , div 0.
ВА А
Векторный магнитный потенциал может использоваться для рас-
чета поля в областях, где
0
и 0
.
4. Для областей пространства, где нет плотности тока (0
) и
rot 0
H
, магнитное поле может рассматриваться как потенциальное,
т. е. как поле, каждая точка которого имеет скалярный магнитный по-
тенциал (А)
м
, удовлетворяющий уравнениям
2
grad , 0.
мм
H
При этом магнитное напряжение между точками
А и В
АВ А В
B
ммм
A
UHdl
не зависит от пути интегрирования напряженности магнитного поля,
если при этом не охватывается ток.
5.
Граничные условия на границе раздела сред с разными магнитными
проницаемостями
1
a
и
2
a
(при отсутствии тока на границе).
А) Равны нормальные составляющие индукции магнитного поля,
т. е.
.
nn
BB
21
Б) Равны касательные составляющие напряженности магнитного
поля, т. е.
.
21
HH
В) Для углов входа
1
()
и выхода
2
()
вектора напряженности
относительно нормали выполняется равенство
1
2
1
2
tg
.
tg
a
a
Г) Равны касательные составляющие векторного магнитного по-
тенциала, т. е.
12
A
A .
Д) Равны скалярные магнитные потенциалы, т. е.
12
.
мм
6. Энергия
(Дж)
м
W
, запасаемая в магнитном поле объема
1
V
: