Непейвода Н.Н. Введение в системный и логический анализ
Подождите немного. Документ загружается.
Н.Н. Непейвода
Введение в системный и логический анализ
Курс лекций
УДК
ББК
Непейвода Н.Н. Введение в системный и логический анализ.
Курс лекций.
Приложения математики являются скорее искусством, чем наукой, хотя и бази-
руются на абстрактнейших достижениях точных наук. Данная публикация является
первым опытом пособия по курсу, призванному дать интегральный взгляд на по-
луформальные и неформальные методы, соблазны и трудности, возникающие при
приложении математики, и показать место различных математических дисциплин в
данной области.
Рекомендуется для студентов и аспирантов специальностей — математика, ин-
формационные системы, прикладная математика, структурная прикладная лингви-
стика, философия, когнитивная психология.
iii
Насреддин произносил проповедь,и кто-то задал ему каверзный во-
прос.
— Не знаю,— ответил Насреддин.
— Зачем же в этом случае ты забрался на минбар?— не унимался
слушатель, и Насреддин отрезал:
— Мои знания возвысили меня до минбара. Если бы я захотел взо-
браться на высоту своего невежества, пришлось бы строить минбар
до самого неба.
[10, стр. 306]
Оглавление
Введение vi
1 Из истории математики и информатики 3
1.1 Предыстория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Начало математики: эллины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Расширение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Развитие формальной техники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Бесконечно малые: взлет, падение и возрождение . . . . . . . 16
2 Математика и реальность 24
2.1 Что такое математика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 О мировоззрении математиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Формализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Рефлективные результаты в математике . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Влияние рефлективных результатов на научное мировоззрение 49
2.6 Трудности и опасности при применении математических мо-
делей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7 Математика и рационализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8 Интуиционизм как альтернатива стандартному рационализму 56
2.8.1 Творческие последовательности . . . . . . . . . . . . . 56
3 Уровни знаний и умений 58
3.1 Данные, умения и знания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Белосельский-Белозерский и Кант . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.4 () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
iv
ОГЛАВЛЕНИЕ
v
3.3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.8 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.10 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 93
4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 99
5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 108
6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Введение
Занимающиеся приложениями математики знают, что данная область, ис-
ключительно неформальна, если, конечно, пытаться достичь хорошего уров-
ня профессионализма. Конечно, гораздо проще, и зачастую выгоднее дей-
ствовать по принципу «Чего изволите?»
1
Но это — дорога, ведущая к духов-
ной катастрофе лица и к большим неприятностям для тех, кто пользуется его
приятными советами.
Есть и другая опасность. Построенной математической моделью подме-
няют реальность. При этом забывается, что любая формализация всегда не-
адекватна, и необходимо хорошо осознавать, в какой момент происходит вы-
ход за пределы ее применимости, а также каковы слабости полученных ре-
зультатов.
Приложения математики к сложным системам — искусство, базирующе-
еся на науке, но не сводящееся к ней одной. Поэтому в данном пособии мы
вынуждены часто использовать неформальное изложение и показ на приме-
рах. Более того, по сути дела данное изложение находится на стыке практики
и трех дисциплин — математики, информатики, философии:
Математика
Философия
СиЛА
Информатика
Практика
(1)
По формальным критериям и по традициям данных отраслей знаний курс
мог бы считаться философским либо информатическим, но его роль в дру-
гом.
Цикл знаний по фундаментальной дисциплине нуждается в прочном осно-
вании и четком завершении. Поэтому для выработки общего взгляда, не да-
ющего сведениям остаться на уровне эрудиции, а переводящего их в знания,
1
Или, как это перевел Салтыков-Щедрин, «Применительно к подлости».
vi
vii
необходимы два центральных курса: основополагающий и интегрирующий.
Основополагающий может быть любым курсом по данной дисциплине, удо-
влетворяющим следующим требованиям.
1. Данный курс демонстрирует основную часть методов и проблем, ха-
рактерных для рассматриваемой науки.
2. Данный курс не замкнут внутри себя, а интенсивно привлекает мате-
риалы других курсов соответствующего цикла и, в свою очередь, сам
снабжает их фундаментальными результатами.
3. Результаты и понятия, выработанные в данном курсе, широко приме-
нимы за рамками данной науки, и простейшие из таких применений
показываются в ходе курса.
В частности, в математике основополагающими могут быть следующие
курсы:
— Математический анализ вместе с функциональным анализом, теорией
измерений и теорией вероятностей.
— Алгебра вместе с ее приложениями к автоматам, анализу систем, коди-
рованию и т. п.
— Геометрия и топология вместе с ее приложениями к алгоритмам, ком-
пьютерной графике, алгебре и анализу.
— Логика вместе с ее приложениями к анализу, алгебре, информатике.
В информатике такими основополагающими курсами могут быть либо ис-
кусство программирования,либо информатика как теория программных струк-
тур и их представлений.
Обычно такой курс имеется в каждом университете в каждой области
знаний. Он диктуется прежде всего традициями данной науки, а во вторую
очередь наличием научных школ в одной из областей. Но, как правило, те,
кто чувствуют себя главными, забывают о своих обязанностях и реализуют
лишь права. Они игнорируют в своем курсе достижения других областей на-
уки, даже если это удлиняет и затемняет изложение. Они считают ниже сво-
его достоинства упоминать о приложениях данной отрасли науки в других
отраслях даже той же науки, если эти приложения не вошли в почтенную
традицию, как приложения математического анализа к физике либо теории
вероятностей к статистике.
viii
ВВЕДЕНИЕ
Завершающий цикл курс должен интегрировать полученные знания, по-
казать их взаимосвязи и образующуюся систему методов. Он должен пока-
зывать, как пользоваться методами разных отраслей данной науки при ре-
шении задач и особенно при их преобразовании, как переносить результаты
из одной области в другую, как понимать, что означает для другой области
фундаментальный результат некоторого из разделов данной науки. Обычно
таких курсов в учебном плане нет. Поэтому у нас был введен курс ‘Матема-
тические структуры’ как итоговый в математическом цикле.
Но как окончательное завершение здания, как купол над крышей храма,
необходим и курс, который посвящен именно месту данной науки в систе-
ме знаний человечества и в системе умений рационально мыслящих людей.
Такой курс должен находиться не внутри соответствующего цикла, а на его
границе, и скорее за нею, потому что здесь нужно пользоваться достиже-
ниями соответствующей науки, но нельзя быть связанным ее традициями.
Данный курс является первым опытом такой надстройки для специально-
стей, базирующихся на математике и информатике.
Поэтому в настоящем изложении мы делаем упор на большие системы и
работу с ними прежде всего в информатике.
Общеметодологические
рассмотрения
1
