Мустафаев А.С., Корольков А.П., Смирнова Н.Н., Варшавский С.П. Общая физика. Механика. Молекулярная физика: Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

3.EСформулируйте основные законы динамики

поступательного и вращательного движения.

4.EКакой характер имеет движение груза в приборе Атвуда на

различных участках траектории? Чем определяется это различие?

5.EКакой вид должна иметь кривая зависимости ускорения

грузов от массы перегруза? Какой физический смысл имеют точки

пересечения этой кривой с осями координат? При каких условиях

кривая a(m) близка к прямой?

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основное уравнение динамики вращательного движения

твердого тела





JM =

где



– суммарный момент внешних сил, приложенных к телу

относительно оси вращения; J – момент инерции тела относительно

той же оси;





– угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два

понятия: момент силы относительно точки и момент силы

относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как

векторное произведение

 

FrМ



=

где



– сила;



– радиус-вектор, проведенный из точки О в точку

приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция



на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

FlM 



где l – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии

действия силы.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при

вращательном движении, подобно тому, как масса тела является

мерой инертности тела при поступательном движении. Момент

инерции тела зависит от распределения массы тела относительно

оси вращения. Для вычисления

момента инерции твердого тела

относительно данной оси разобьем

мысленно тело на большое число

малых элементов объема dV –

материальных точек (см. рисунок).

Тогда момент инерции элемента объема dV относительно оси

вращения ОО'

dVrdmrdJ



а полный момент инерции тела





dVrdJJ

где dm7=7dV – масса элемента объема dV; r

– расстояние до оси

вращения;  – плотность вещества в элементе объема dV.

Таким образом, задача нахождения момента инерции тела

относительно оси вращения сводится к интегрированию.

Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от

момента внешних сил



, ни от углового ускорения.

Для расчетов моментов инерции относительно произвольной

оси может быть использована теорема Штейнера. Согласно ей,

момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме

момента инерции тела J

относительно оси, проходящей через центр

инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

mdJJ 

В общем случае расчет момента инерции представляет собой

достаточно сложную задачу, и часто он определяется

экспериментально с помощью основного уравнения динамики

вращательного движения, методом крутильных колебаний и др.

Момент импульса материальной точки определяется как

векторное произведение:

 



mrL 

где m – масса материальной точки;



– ее скорость;



–

расстояние от точки до оси вращения.

Момент импульса материальной точки

LE=Emvr.

Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг

некоторой оси,





где J – момент инерции тела;  – угловая скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса в замкнутой системе

формулируется следующим образом: суммарный момент импульса

всех тел замкнутой системы остается постоянным

const)( 





Кинетическая энергия вращающегося тела

JE

РаботаC4.CОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ

КОЛЕБАНИЙ

Цель работы – определить моменты инерции прямоугольного

параллелепипеда относительно трех взаимно перпендикулярных осей,

проходящих через центр масс, с помощью крутильных колебаний.

Общие сведения

Пусть тело представляет собой однородный прямоугольный

параллелепипед со сторонами а, b, с (см. рисунок). Моменты

инерции этого тела относительно соответствующих осей

)(



;

)(



;

)(



Здесь оси х, у и z проходят через центр масс перпендикулярно

граням со сторонами bс, ас и аb соответственно.

Если тело имеет форму куба, то aE=Eb7=7c и

maJJJ

zyx



В данной работе момент инерции определяется методом

крутильных колебаний. Если тело, висящее на нерастяжимой нити

(так, что направление нити проходит через центр тяжести тела),

повернуть в

горизонтальной плоскости

на некоторый угол , то в

результате деформации

нити возникнет упругая

сила. Она создаст крутящий

момент (момент силы)

DM

(здесь D – модуль кручения нити подвеса), возвращающий

систему в исходное состояние. В результате возникнут крутильные

колебания.

Из теории крутильных колебаний следует, что период колебаний

DJT /2

. (1)

где J – момент инерции.

Так как D неизвестен, для его исключения из формулы (1)

следует провести измерения периода колебаний с телом, момент

инерции которого относительно оси вращения или легко

рассчитывается, или известен. Таким телом может быть, например,

куб, момент инерции которого

maJ 

В экспериментальной установке предусмотрена рамка для

закрепления различных тел, отличающихся массой и размерами.

Пусть J

, J

, и J – моменты инерции куба, рамки и

параллелепипеда относительно некоторой оси. Тогда на основании

формулы (1) можно записать

;













(2)

где Т

– период колебаний рамки; Т

– период колебаний рамки и

куба; Т – период колебаний рамки и параллелепипеда.

Исключая из уравнений (2) D и J

, получим





. (3)

Экспериментальная установка состоит из массивного

основания со штативом. Кронштейны на штативе служат для

закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка. На

среднем кронштейне закреплена стальная плита, являющаяся

основанием для фотоэлектрического датчика, электромагнита и

шкалы. Положение электромагнита относительно

фотоэлектрического датчика указано стрелкой на шкале. Во время

колебаний крутильного маятника стрела рамки прерывает световой

поток, в результате чего в электронной схеме генерируются

импульсы, которые после усиления подаются на электронный

секундомер.

Порядок выполнения работы

1.EВключить установку.

2.EНажатием кнопки «ПУСК» включить электромагнит,

который должен удержать рамку прибора.

3.EНажать последовательно кнопки «СБРОС» и «ПУСК»,

измерить время t десяти колебаний пустой рамки; вычислить период

колебания Т7=7t / N, где N – число колебаний.

4.EПовторить измерения не менее 10 раз и вычислить среднее

значение t.

5.EУстановить в рамку куб и повторить пп.2-3 не менее 10Eраз.

6.EУстановить в рамку параллелепипед и повторить пп.2-3 не

менее 10 раз (период колебаний параллелепипеда измерить для трех

взаимно перпендикулярных осей).

7.EРезультаты измерений оформить в виде таблицы:

Номер опыта t T

ТТ 

 

ТТ 

m 

a 

…

8.EОбработать результаты измерений. Вычислить момент

инерции куба

,6/

maJ 

где m – масса куба, mE=E0,962Eкг; а – длина ребра куба, аE=E5,0Eсм.

Зная средние значения периодов, по формулеE(3) рассчитать

Вычислить средние квадратические ошибки для всех

измеренных периодов по формуле

 









где n – число измерений;

– среднее значение соответствующего

периода колебаний;

– значение периода в i-м опыте.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку момента

инерции куба по формуле









где



– ошибка при измерении массы,



=E2Eг;



– приборная

ошибка,



=E1Eмм.

Рассчитать средние квадратические ошибки

 ,,

для моментов инерции параллелепипеда

относительно осей х, у, z. Так как ТE»EТ

и Т

E»EТ

, то формулу для

вычисления погрешности можно записать в виде

























TTJ

где

TTJ

 ,,

– средние квадратические ошибки.

Расчеты погрешностей следует провести для всех трех

моментов инерции. Окончательные результаты представить в виде

;

Jxx

JJ 

;

Jyy

JJ 

Jzz

JJ 

Контрольные вопросы

1.EВ чем заключается физический смысл момента инерции?

От чего зависит момент инерции?

2.EВ чем сущность метода крутильных колебаний?

3.EКакие параметры влияют на период колебаний

крутильного маятника?

4.EПочему Т и Т

много больше Т

5.EКак рассчитать J

6.EПочему у параллелепипеда J

 J

, а у куба

E=EJ

РаботаC5.CОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

СCПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Цель работы – исследовать зависимость момента инерции

крестовины с грузами от распределения массы относительно оси

вращения, проходящей через центр масс.

Общие сведения

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях

которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и

закрепляться в нужном положении (см. рисунок). Крестовина с

грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива

различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена

через блок.

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием

силы тяжести которого система приводится в движение. На груз

действует сила тяжести

gmP





и сила натяжения



, поэтому на

основании второго закона Ньютона можно записать

,maFmg 

(1)

где g – ускорение свободного падения; а – ускорение, с которым

движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под

действием момента силы натяжения





;



=EFr

, (2)

где J – момент инерции относительно оси вращения;  – угловое

ускорение; r

– радиус шкива.

Из уравнений (1) и (2) получим

 

 /

agmrJ

. (3)

Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением

E=Eа/r

, то формула (3) принимает вид

aagmrJ /)(



, (4)

где аE=E2h / t

; h – путь, пройденный грузом за время t.

Таким образом, с учетом формулы (4) получим

hgtmr

)2(





. (5)

