Мозговой А.Ю.Сборник задач по гидравлике
Подождите немного. Документ загружается.
21
III ГИДРОДИНАМИКА
3.1 Определить гидравлический радиус потока жидкости (см. рис. 3.1), протекающего
по открытому каналу прямоугольной формы шириной a = 2,3 м. Глубина потока b = 1,5 м.
Рисунок 3.1 – Схема к задаче 3.1
Решение:
Гидравлический радиус вычисляют по формуле, м:
R = F / χ (3.1)
где F – площадь живого сечения потока, м
2
:
F = a*b (3.2)
где a – ширина потока, a = 2,3 м;
b – высота (глубина) потока, b = 1,5 м.
F = 2,3*1,5 = 3,45 м
2
.
χ – смоченный периметр, м:
χ = 2*b + a (3.3)
χ = 2*1,5 + 2,3 = 5,3 м.
R = 3,45 / 5,3 = 0,65 м.
Ответ: гидравлический радиус потока равен 0,65 м.
3.2 Поток жидкости протекает по трубе прямоугольного сечения, размеры которой
15×30 см. Чему равен гидравлический радиус потока?
Ответ: 0,05 м.
a
b
22
3.3 По трубопроводу диаметром d = 350 мм за время t = 12 с проходит V = 0,25 м
3
воды. Определить объемный и массовый расходы воды, а также среднюю линейную
скорость и массовую скорость потока.
Решение:
При решении задачи пренебрегаем объемным сжатием жидкости, принимая ее
плотность равной 1000 м
3
/кг. Объемный расход воды равен, м
3
/с:
Q = V/t (3.4)
где V – объем жидкости, м
3
;
t – время истечения жидкости, с.
Q = 0,25 / 12 = 0,02 м
3
/с.
Массовый расход жидкости вычисляем по формуле, кг/с:
М = m/t (3.5)
где m – массовое количество жидкости, кг:
m = V*ρ (3.6)
где ρ – плотность воды, ρ = 1000 кг/м
3
;
t – время истечения жидкости, с.
М = V*ρ/t (3.7)
М = 0,25*1000/12 = 20,8 кг/с.
Среднюю линейную скорость находим по формуле, м/с:
ω = Q/F (3.8)
где Q – объемный расход жидкости, м
3
/с;
F – площадь поперечного сечения потока, м
2
:
F = π*d
2
/4 (3.9)
ω = 4*Q / (π*d
2
) (3.10)
ω = 4*0,02 / (3,14*(0,35)
2
) = 0,208 м/с.
Массовая скорость потока определяется, кг/(м
2
*с):
u = М / F (3.11)
u = 4*20,8 / (3,14*(0,35)
2
) = 216,3 кг/(м
2
*с).
23
Ответ: объемный и массовый расходы воды равны соответственно 0,02 м
3
/с и 20,8
кг/с; средняя линейная скорость и массовая скорость потока равны соответственно 0,208 м/с
и 216,3 кг/(м
2
*с).
3.4 Вычислить массовый расход жидкости, проходящий через поперечное сечение
трубопровода площадью 0,1 м
2
. Средняя линейная скорость потока 1,2 м/с, плотность
жидкости 890 кг/м
3
.
Ответ: 106,8 кг/с.
3.5 Чему равна средняя линейная скорость потока жидкости, проходящего по
трубопроводу диаметром 30 мм, если за время в 1 час через трубопровод проходит 2 м
3
жидкости?
Ответ: 0,79 м/с.
3.6 Вычислить, среднюю линейную скорость потока несжимаемой жидкости через
конечное сечение трубопровода, если известно, что начальное сечение трубопровода имеет
площадь f
1
= 0,05 м
2
, а конечное сечение – f
2
= 0,008 м
2
, средняя линейная скорость движения
жидкости через начальное сечение трубопровода ω
1
составляет 1,3 м/с.
Решение:
Опираясь на уравнение неразрывности потока, для двух сечений трубопровода
получаем уравнение (с учетом неизменности величины плотности жидкости):
f
1
*ω
1
= f
2
*ω
2
(3.12)
где f
1
и f
2
– соответственно площади начального и конечного сечений трубопровода,
м
2
;
ω
1
и ω
2
– соответственно средние линейные скорости потока через начальное и
конечное сечение трубопровода, м/с.
ω
2
= f
1
*ω
1
/ f
2
(3.13)
Подставляя исходные данные, получаем среднюю линейную скорость потока через
конечное сечение трубопровода, м/с:
ω
2
= 0,05*1,3 / 0,008 = 8,13 м/с.
Ответ: средняя линейная скорость потока жидкости через конечное сечение
трубопровода равна 8,13 м/с.
3.7 За время 8 с через трубопровод проходит 0,13 м
3
жидкости. Диаметр
трубопровода в начальном сечении 50 мм, а в конечном – 80 мм. Определить средние
линейные скорости потока через начальное и конечное сечения трубопровода.
Ответ: соответственно 8,3 м/с и 3,2 м/с.
24
3.8 По трубопроводу теплообменника движется нагреваемая жидкость – вода.
Начальное сечение трубопровода имеет диаметр 50 мм, а конечное – 25 мм. В процессе
нагрева плотность жидкости уменьшается с 1000 кг/м
3
до 970 кг/м
3
. Определить, каким
должен быть массовый расход жидкости через трубопровод, чтобы скорость движения
жидкости через конечное сечение составляла 3 м/с. Какая при этом должна быть средняя
линейная скорость через начальное сечение?
Ответ: 1,43 кг/с; 0,73 м/с.
3.9 Вычислить перепад давления в трубопроводе, транспортирующем жидкость, если
известно: плотность жидкости ρ = 1500 кг/м
3
, средняя линейная скорость потока через
начальное сечение ω
1
= 2 м/с, а через конечное – ω
2
= 1,8 м/с. Трубопровод расположен
горизонтально.
Решение:
При решении данной задачи необходимо за основу всех последующих формул
привести уравнение Д.Бернулли:
α
1
*ω
1
2
/(2*g) + р
1
/(ρ*g) + z
1
= α
2
*ω
2
2
/(2*g) + р
2
/(ρ*g) + z
2
+ h
1-2
(3.14)
где α
1
и α
2
– коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения
скорости по сечению потока, для идеальной жидкости принимается 1,0;
ω
1
и ω
2
– средние линейные скорости потока в начальном и конечном сечениях
трубопровода соответственно, м/с;
р
1
и р
2
– давление жидкости в центре тяжести начального и конечного сечений
трубопровода соответственно, Па;
z
1
и z
2
– отметки оси трубопровода в сечениях на начальном и конечном участках
трубопровода, м;
h
1-2
– потери давления при движении жидкости, Па (при движении идеальной
жидкости отсутствуют);
ρ -- плотность жидкости, кг/м
3
;
g – ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с
2
.
На основе пояснений к формуле 3.14, а также учтя, что начальное и конечное сечения
трубопровода находятся на одной отметке, получаем формулу:
α
1
*ω
1
2
/(2*g) + р
1
/(ρ*g) = α
2
*ω
2
2
/(2*g) + р
2
/(ρ*g) (3.15)
Перепад давления в трубопроводе представляет собой разность р
1
– р
2
. Преобразуя
уравнение 3.15, вычленяем из уравнения данную разность:
р
1
– р
2
= α*ρ*(ω
2
2
– ω
1
2
)/2 (3.16)
р
1
– р
2
= 1,0*1500*(1,8 – 2)/2 = -150 Па
Ответ: перепад давления в трубопроводе составляет 150 Па.
25
3.10 Вычислить высоту струи фонтана относительно основания, на котором он
расположен, если струя подается с давлением 8 кПа, скорость струи при ее выходе из
направляющей трубы равна 5 м/с. Коэффициент Кориолиса принять равным 1,1, потерями
давления на трение пренебречь.
Ответ: 2,22 м.
3.11 Каким должен быть перепад давлений в центре тяжести начального
и конечного
сечений трубопровода, чтобы при неизменной скорости движения по трубопроводу ртути
жидкость поднялась бы на 14 м выше своего первоначального уровня? При движении ртути
по трубопроводу возникают потери, равные 0,5 м.
Ответ: 1,93 МПа.
3.12 Гидродинамический напор потока идеальной жидкости Н
г.д.
плотностью ρ = 900
кг/м
3
равен 8,6 м. Вычислить среднюю линейную скорость потока, если давление жидкости
в центре тяжести сечения потока р = 50 кПа, а замеры всех параметров произведены на
нивелирной высоте z = 2,5 м.
Решение:
Левая и правая части уравнения Бернулли представляют собой гидродинамический
напор потока, который для идеальной жидкости может быть определен, Па:
Н
г.д.
= α*ω
2
/(2*g) + р/(ρ*g) + z (3.17)
Вычленим из уравнения 3.17 параметр ω и определим его величину. м/с:
ω = √(2*g*(Н
г.д.
- р/(ρ*g) – z)/α) (3.18)
ω = √(2*9,81*(8,6 - 50000/(900*9,81) – 2,5)/1) = 2,93 м/с.
Ответ: средняя линейная скорость потока равна 2,93 м/с.
3.13 На какой нивелирной высоте были произведены замеры давления, если по трубке
Пито-Прандтля скоростной напор равен 2 м, а пьезометрический – 3,6 м.
Гидродинамический напор в данной точке трубопровода составляет 8,65 м.
Ответ: 3,05 м.
3.14 На рисунке 3.2 показаны трубка Пито и трубка Пито-Прандтля. Определить
неизвестные величины, если скорость потока в точке замера ω = 1,7 м/с..
26
а б
Рисунок 3.2 – Схема к задаче 3.14
где а – трубка Пито,
б – трубка Пито-Прандтля.
Решение:
Высота h
ск
, показанная на рисунке, определяет скоростной напор потока и может быть
вычислена, м:
h
ск
= ω
2
/(2*g) (3.19)
Следует помнить, что величина скоростного напора входит в гидродинамический
напор потока и задействована в уравнении Бернулли.
Решая условие по рисунку 3.2 «а», получаем, м:
h
ск
= (1,7)
2
/(2*9,81) = 0,15 м.
Условие по рисунку 3.2 «б» решается следующим образом: величину
пьезометрического напора суммируем с величиной скоростного напора, получаем, м:
h = 0,3 + 0,15 = 0,45 м.
(если допустить, что точка замера давления – ось трубопровода – лежит на нулевой
отметке, т.е. z = 0, то полученная высота является гидродинамическим напором потока).
Ответ: скоростной напор потока равен 0,15 м, а гидродинамический – равен 0,45 м.
3.15 Вычислить потери давления на трение при движении по трубопроводу нефти
плотностью 785 кг/м
3
, если известно: давление в начальном сечении трубопровода 85 кПа, а
в конечном – 44 кПа; средняя линейная скорость потока через начальное сечение равна 3 м/с,
а через конечное – 2,85 м/с; ось начального сечения трубопровода находится на высоте 4,2 м.
а конечного – на высоте 7,5 м. Коэффициент Кориолиса принять равным 1,1.
Ответ: 0,71 м.
ω
?
0
,
3 м
ω
h
ск
= ?
27
3.16 Какой должна быть величина уклона водопровода длиной 250 м, чтобы давление
и скорость потока в его начальном и конечном сечениях были бы неизменны, потери за счет
сил трения составляли 20 кПа?
Ответ: 8,15‰.
3.17 Определить, какое давление будет оказывать жидкость в центре тяжести
конечного сечения трубопровода, если давление в начальном сечении равно
120 кПа, средняя
линейная скорость потока через начальное сечение 14 м/с, а через конечное – 6 м/с. Ось
начального сечения расположена на отметке 15,5 м. а конечного – на отметке 2 м.
Плотность жидкости 1100 кг/м
3
. Потери давления за счет сил трения составляют 55 кПа.
Ответ: 299 кПа.
3.18 Найти пьезометрическую высоту жидкости в сечении трубопровода, если
давление жидкости в центре тяжести сечения 5 МПа, а плотность жидкости равна
13000 кг/м
3
.
Ответ: 39,2 м.
3.19 На рисунке 3.3 показан водомер Вентури – устройство, предназначенное для
определения расхода жидкости. Вычислить расход воды при следующих условиях: высота
столба жидкости h в пьезометре №1 равна 0,2 м, а в пьезометре №2 – 0,18 м. Диаметр
суженной части прибора – d
2
= 0,1 м, а расширенной – d
1
=
0,2 м.
Рисунок 3.3 – Водомер Вентури
Решение:
Расход жидкости находят, м
3
/с:
Q = ω*F (3.20)
где F – площадь живого сечения трубопровода, м
2
.
При этом средняя линейная скорость потока неизвестна.
Дальнейшее решение задачи основывается на преобразовании уравнения Бернулли.
Так как ось прибора горизонтальна, то принимаем z
1
= z
2
, тогда:
1
2
h
28
α
1
*ω
1
2
/(2*g) + р
1
/(ρ*g) = α
2
*ω
2
2
/(2*g) + р
2
/(ρ*g) (3.21)
Разность уровней воды в пьезометрах обозначим через Δh, где:
Δh = (р
1
– р
2
)/(ρ*g) (3.22)
Тогда
(р
1
– р
2
)/(ρ*g) = α
2
*ω
2
2
/(2*g) - α
1
*ω
1
2
/(2*g) = Δh (3.23)
Δh = α*(ω
2
2
- ω
1
2
)/(2*g) (3.24)
Разность скоростей ω
1
и ω
2
выразим следующим уравнением:
ω
2
2
– ω
1
2
= 2*g*Δh (3.25)
На основании уравнения неразрывности потока имеем:
ω
1
*F
1
= ω
2
*F
2
(3.26)
ω
1
= ω
2
*F
2
/F
1
(3.27)
Подставив уравнение 3.27 в уравнение 3.25, получим:
ω
2
2
– ω
2
2
*(F
2
/F
1
)
2
= 2*g*Δh (3.28)
1 - (F
2
/F
1
)
2
= 2*g*Δh/ω
2
2
(3.29)
ω
2
= √[2*g*Δh/(1 – (F
2
/F
1
)
2
)] (3.30)
Выразим площади сечения труб через соответствующие диаметры труб:
F
1
= π*d
1
2
/4 и F
2
= π*d
2
2
/4 (3.31)
Уравнения 3.30 и 3.31 подставим в уравнение 3.20, получим:
Q = π*d
2
2
/4 * √[2*g*Δh/(1 – (d
2
2
/d
1
2
)
2
)] (3.32)
В уравнении 3.21 преднамеренно не были учтены потери на трение; учитываем их,
введя коэффициент расхода μ=0,95÷0,98:
Q = μ*π*d
2
2
/4 * √[2*g*Δh/(1 – (d
2
/d
1
)
4
)] (3.33)
Q = 0,98*3,14*(0,1)
2
/4 * √[2*9,81*(0,2 – 0,18)/(1 – (0,1/0,2)
4
)] = 0,00498 м
3
/с (4,98 л/с).
Ответ: расход воды равен 4,98 л/с.
3.20 Определить перепад уровней воды в пьезометрах (см. рис. 3.3), если расход через
водомер равен 8 м
3
/ч, диаметры участков прибора составляют 100 мм и 40 мм. Коэффициент
расхода принять равным 0,98.
29
Ответ: 0,162 м.
3.21 По трубе внутренним диаметром d = 80 мм движется вода, кинематическая
вязкость которой ν = 1,515*10
-6
м
2
/с. Скорость движения воды ω = 2 м/с. Определить режим
движения жидкости.
Решение:
Режим движения жидкости определяется числом Рейнольдса, которое вычисляют по
формуле:
Re = ω*d/ν (3.34)
где d – диаметр трубы, м;
ν – кинематическая вязкость жидкости, м
2
/с.
Re = 2*0,08/(1,515*10
-6
) = 105611
Для определения режима движения жидкости рабочее число Рейнольдса сравниваем с
критическим:
Re (105611) > Re
кр
(2300)
Следовательно, режим движения жидкости турбулентный.
Ответ: режим движения жидкости турбулентный.
3.22 Определить рабочее число Рейнольдса и режим движения газа (газ принять
несжимаемым) по трубопроводу прямоугольного сечения размерами 20×25 см.
Кинематическая вязкость газа 1,5*10
-5
м
2
/с, скорость движения среды равна 5 м/с
(использовать формулу с гидравлическим радиусом: Re = ω*R/ν).
Ответ: 18519; режим движения среды критический.
3.23 Определить критическую скорость движения потока жидкости по трубе
диаметром 15 мм; кинематическая вязкость жидкости равна 10
-6
м
2
/с.
Ответ: 0,15 м/с.
3.24 По трубопроводу внутренним диаметром d = 20 мм и протяженностью l = 12 м за
время t = 4 с перекачивают V = 2 литра глицерина. Определить потери напора по длине,
возникающие при движении жидкости по трубопроводу.
Решение:
Потери давления определяются в зависимости от режима движения жидкости.
Находим число Рейнольдса:
30
Re = ω*d/ν (3.35)
где ω – скорость движения жидкости, м/с, вычисляют:
ω = 4*Q/(π*d
2
) (3.36)
Q = V/t (3.37)
Тогда преобразуем формулу 3.35:
Re = 4*V/(ν *π*d*t) (3.38)
Re = 4*0,002/(9,7*10
-4
*3,14*0,02*4) = 32,8 (< Re
кр
)
Следовательно, режим движения жидкости ламинарный, тогда потери давления по
длине при движении жидкости по трубопроводу находят, м:
h
ω дл
= 64*l*ω
2
/(Re*d*2*g) (3.35)
h
ω дл
= 64*l*(4*V/(t*π*d
2
))
2
/(Re*d*2*g) (3.36)
h
ω дл
= 64*12*(4*0,002/(4*3,14*(0,02)
2
))
2
/(32,8*0,02*2*9,81) = 302,6 м.
Ответ: потери напора по длине равны 302,6 м.
3.25 Чему равен коэффициент гидравлического трения λ, если число Рейнольдса
составляет 1800?
Ответ: 0,036.
3.26 Определить степень шероховатости внутренней поверхности полиэтиленовой
трубы при эквивалентной шероховатости данной поверхности равной 0,000007 м, если
транспортируемая по трубе среда – вода с кинематической вязкостью ν = 10
-6
м
2
/с. Скорость
движения жидкости по трубе – ω = 3 м/с.
Решение:
Степень шероховатости внутренней поверхности трубы зависит от соотношения
толщины ламинарной пленки δ
пл
, покрывающей внутреннюю поверхность трубы и
эквивалентной шероховатости k данной поверхности.
Толщина ламинарной пристеночной пленки вычисляется, м:
δ
пл
= 300*ν/ω (3.37)
где ν – кинематическая вязкость транспортируемой по трубе жидкости. м
2
/с;
ω – средняя линейная скорость потока, идущего по трубе, м/с.
δ
пл
= 300*10
-6
/3 = 0,0001 м.