Формальное рассмотрение аксиом дополняется на этой стадии
использованием математической логики как средства, обеспечивающего
строгое выведение из них следствий. В результате аксиоматическая система
начинает строиться как особый формализованный язык (исчисление).
Вводятся исходные знаки — термины, затем указываются правила их
соединения в формулы, задается перечень исходных принимаемых без
доказательства формул и, наконец, правила вывода из основных формул
производных. Так создается абстрактная знаковая модель, которая затем
интерпретируется на самых различных системах объектов.
Построение формализованных аксиоматических систем привело к большим
успехам прежде всего в математике и даже породило представление о
возможности ее развития чисто формальными средствами. Однако вскоре
обнаружилась ограниченность таких представлений. В частности, К. Гёделем
в 1931 г. были доказаны теоремы о принципиальной неполноте достаточно
развитых формальных систем. Гёдель показал, что невозможно построить
такую формальную систему, множество выводимых (доказуемых) формул
которой охватило бы множе-
629
ство всех содержательно истинных утверждений теории, для формализации
которой строится эта формальная система. Другое важное следствие теорем
Гёделя состоит в том, что невозможно решить вопрос о непротиворечивости
таких систем их же собственными средствами. Теоремы Гёделя, а также ряд
других исследований по обоснованию математики показали, что
аксиоматический метод имеет границы своей применимости. Нельзя,
например, всю математику представить как единую аксиоматически
построенную систему, хотя это не исключает, конечно, успешной
аксиоматизации ее отдельных разделов.
В отличие от математики и логики в эмпирических науках теория должна
быть не только непротиворечивой, но и обоснованной опытным путем.
Отсюда возникают особенности построения теоретических знаний в
эмпирических науках. Специфическим приемом такого построения и
является гипотетико-дедуктивный метод, сущность которого заключается в
создании системы дедуктивно связанных между собой гипотез, из которых в
конечном счете выводятся утверждения об эмпирических фактах.
Этот метод в точном естествознании использовался уже в XVII в., но
объектом методологического анализа он стал сравнительно недавно, когда
начала выясняться специфика теоретического знания по сравнению с
эмпирическим исследованием.