Миронов С.В., Пищухин А.М. Метасистемный подход в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

251

Рисунок Г.9 - Уточнение и укрупнение структуры (пример Г.9)

Г.5. Задачи проектирования систем

Иерархическая схема — одна из самых важных

структурных схем, используемых при проектиро-

вании сложных си стем.

Герберт А. Саймон

Структурированные системы используются при решении наиболее

важных системных задач, возникающих как при исследовании, так и при

проектировании систем. В общем случае эти задачи представляют собой

системные формулировки различных вопросов, связанных с отношением

между частями и целым. Проблемы типа часть-целое, возникающие при

исследовании систем, существенно отличаются от тех же проблем, возни-

кающих при их проектировании. В данном разделе мы рассмотрим структу-

рированные системы с точки зрения их роли при решении системных задач

проектирования. Изучению роли этих систем при исследовании систем, ро-

ли более сложной и хуже изученной, посвящены оставшиеся разделы этой

главы.

252

Как указывалось в разделе В.10, первым этапом проектирования явля-

ется определение порождающей системы, представляющей задание, кото-

рое должна выполнить данная система. В общем случае это задание

представляет собой преобразование состояний соответствующих входных

переменных в состояния выходных переменных. Таким образом, получен-

ная порождающая система всегда является направленной. Кроме того, это

обычно детерминированная система. Часто эта система не является уни-

кальной, что показывается в следующем примере.

Пример Г.10. Снова рассмотрим последовательный двоичный сумматор,

введенный в примере Г.9. Его задачей является суммирование двух двоич-

ных чисел, передаваемых последовательно разряд за разрядом в порядке

возрастания значимости разрядов. Обычная система с поведением, ис-

пользуемая для представления этой задачи, описана в примере Г.9. Ее

маска и поведение показаны на рисунке Г.10,а.

Рисунок Г.10 - Два варианта систем с поведением, представляющих

последовательный двоичный сумматор (пример Г.10)

Помимо входных и выходных переменных х, у, z, полностью описы-

вающих ее задачу, система включает еще и внутреннюю переменную с —

переносимый разряд. На рисунке Г.10,б показана альтернативная система с

поведением (ее маска и поведение), не содержащая внутренних пере-

менных.

Эти системы, несмотря на то, что они решают одну и ту же задачу пре-

образования входных переменных х и у в выходную переменную z, совер-

шенно различны. Различия, хорошо видные при сравнении масок, необхо-

253

димо влекут за собой различия в структурах, реализующих поведение. Так,

например, если предположить, что предшествующие значения переменных

(т. е. значения, определенные при ρ = - 1) непосредственно доступные ко-

манде задержки, то эти две системы с поведением включают структури-

рованные системы, изображенные соответственно на рисунке Г.9,а и

Г.10,в. Эти две структурированные системы, совершенно одинаковые с

точки зрения среды, представляют собой совершенно разные основы

для проектирования. Выбор одной из систем может быть осуществлен

пользователем сразу или процесс проектирования может быть продолжен

для обеих систем, а выбор осуществлен на более позднем этапе.

Следующим после определения конкретной системы с поведением

этапом проектирования является определение структурированной систе-

мы, удовлетворяющей таким требованиям:

1) она реализует функцию поведения выбранной порождающей сис-

темы;

2) все ее элементы представляют собой порождающие системы с опре-

деленными (подходящими) функциями поведения;

3) она удовлетворяет некоторым целевым критериям, определяемым как

необходимые;

4) она принадлежит к определенному классу структурированных систем

(то есть удовлетворяет некоторым структурным ограничениям).

Требование 1) очевидно, поскольку предполагается, что эта структури-

рованная система выполняет требуемое задание и это задание представляется

функцией поведения данной порождающей системы, то эта функция, в свою

очередь, должна представляться этой структурированной системой. Требо-

вание 2) говорит об имеющихся технологических возможностях. Оно пред-

ставляет собой перечень всех модулей (компонентов, кирпичиков), которые

можно использовать при создании проектируемой структурированной систе-

мы. Важно быть уверенным в том, что выбранных типов элементов доста-

точно для реализации данной порождающей системы. Требования 3) и 4)

представляют собой условия оптимизации соответственно по целям и по ог-

раничениям. Обычно имеется множество возможных целевых критериев и

ограничений. Часто они представляют собой комбинации таких факторов,

как стоимость, сложность, систематичность, время реакции, надежность,

тестируемость, ремонтопригодность и так далее.

Задача реализации заданной функции поведения с помощью элементов

определенных типов сводится в принципе к задаче нахождения подходящей

(в смысле целевых критериев и ограничений) декомпозиции функций, соот-

ветствующих отдельным выходным переменным данной системы, на функ-

ции, представляемые элементами заданных типов.

Одним из методов решения этой задачи, который применим только в

определенных случаях, является использование формальных правил некой

алгебры, операции которой соответствуют функциям, представленным этими

254

элементами. Этот метод, если считать систему детерминированной, состоит

из следующих шагов:

а) Для каждой функции, соответствующей выходной переменной, опре-

деляется алгебраическое выражение. Оно может быть, например, подхо-

дящей канонической формой определенного типа. Эти алгебраические выра-

жения задают определенный способ композиции функций проектируемой

системы из функций, соответствующих элементам. Таким образом, эти вы-

ражения удовлетворяют требованиям 1) и 2) для задачи проектирования. Ес-

ли, чтомаловероятно, отсутствуют целевые критерии и ограничения, то зада-

ча проектирования решена.

б) Полученные выражения преобразуются согласно правилам данной ал-

гебры к виду, удовлетворяющему целевым критериям и ограничениям. В

общем случае может быть несколько решений. Обычно бывает достаточно

определить только одно.

Другой метод решения задачи декомпозиции, применимый только к

дискретным системам, состоит в том, что декомпозиция производится неза-

висимо от алгебраических преобразований, а непосредственно с помощью

действий над определениями рассматриваемых функций (их табличным,

матричным или каким-то другим подходящим представлением) или с ис-

пользованием соответствующих функциональных уравнений. Для демонст-

рации этого метода предположим для простоты, что все имеющиеся элемен-

ты имеют две входные переменные и одну выходную. На рисунке Г.11,а по-

казаны входные и выходные переменные проектируемой системы и одного

из ее элементов.

Рисунок Г.11 - Иллюстрация метода декомпозиции для проектирования

систем

Будем считать, что любая выходная переменная является функцией вы-

ходных переменных, а именно:

255

)v,...,v,v(fv

..................................

),v,...,v,v(fv

nmnmn

nnn

2122

2111

(Г.22)

для проектируемой системы и

)x,x(gy

(Г.23)

для этого элемента. Теперь представим, что элемент включен в систему

таким образом, что его выходная переменная идентична одной из выход-

ных переменных F

, скажем переменной v

n+i

. Это дает структурированную

систему, схема которой показана на рисунке Г.11,б. Она состоит из двух под-

систем: одна — это данный элемент, а другая — модифицированная система

. Структурированная система содержит две переменные z

и z

, не входя-

щие в исходную систему F

. Поскольку в этой системе переменные v

n+i

и у

рассматриваются как идентичные, то функциональное уравнение

n+i

, v

, ..., v

)=g(x

, х

) (Г.24)

должно выполняться. Решение этого уравнения представляет собой две

функции

, v

,..., v

), (Г.25)

, v

, ..., v

Чтобы эти функции были решением уравнения (Г.24), это уравнение

должно, разумеется, выполняться при подстановке данных функций вместо

переменных

и х

. Поскольку в данном случае считается, переменные х

, х

идентичны новым переменным

и z

(смотри рисунок Г.11,б), то можно пе-

реписать уравнение (Г.25) следующим образом:

, v

, ..., v

). (Г.26)

Обычно решений уравнений (Г.24) может быть много. Следовательно,

основная проблема состоит в выборе одного решения. Прежде всего, множе-

ство решений сокращается за счет решений, не удовлетворяющих заданным

структурным ограничениям. Кроме того, ищутся такие решения, для которых

функции

, h

зависят от как можно меньшего числа переменных v

, v

,...,v

В самом деле, чем меньше это число, тем сильнее декомпозиция и тем легче

при необходимости осуществлять дальнейшую декомпозицию функций

. И, наконец, оставшиеся решения упорядочиваются относительно целевых

критериев и те решения, которые оказываются худшими по всем критериям

(или их подмножество), выбираются как основа для продолжения процесса

декомпозиции.

Шаг декомпозиции, изображенный на рисунке Г.11,б, должен быть по-

вторен для всех выходных переменных

n+i

, v

n+2

,...,v

n+m

и, если нужно, для но-

вых переменных

, z

,..., введенных в процессе декомпозиции. Декомпозиция

прекращается в тех случаях, когда все новые переменные становятся иден-

тичны входным переменным

,...,v

. Понятно, что на каждом шаге деком-

позиции нужно испытывать новые элементы и сравнивать их возможные де-

композиции.

256

Многошаговая декомпозиция показана на рисунке Г.12. Для простоты

используется только один тип элементов, тот, что изображен на рисунке

Г.11,а. На рисунке Г.13 приведены эффективные типы декомпозиций систе-

мы с одной выходной переменной на элементы с двумя входными перемен-

ными и одной выходной.

Рисунок Г.12. Пример возможной ситуации после семи шагов деком-

позиции

Показаны все типы декомпозиций для

n = 3, 4, 5, 6, для которых на каж-

дом шаге декомпозиции новые переменные зависят от непересекающихся

подмножеств входных переменных, унаследованных от предшествующей де-

композиции. Это наиболее подходящие типы декомпозиций. Числа на рисун-

ке Г.13 — это количество входных переменных, от которых зависят соответ-

ствующие выходные или промежуточные переменные.

Легко видеть, что вычислительная сложность задачи проектирования с

ростом числа входных и выходных переменных проектируемой системы рас-

тет очень быстро. То же происходит и с ростом числа возможных типов

элементов. Так, например, при п входных переменных и т выходных и од-

ном типе элементов с двумя входными переменными и одной выходной число

эффективных шагов декомпозиции, показанных на рисунке Г.13, равно

произведению (п—1)m, а для е типов элементов (е≥2) оно равно уже

m)n(

1−

с каждой декомпозицией, разумеется, связано решение соответствую-

щего функционального уравнения, оценка и сравнение его решений и отбор

наиболее перспективных из них с точки зрения всего проекта.

Есть два основных способа сделать обозримой задачу проектирования.

Один из них — представление общего задания в виде иерархии частных

257

Рисунок Г.13 - Примеры декомпозиций, основанных на элементах с двумя

входными и одной выходной переменной

заданий таким образом, чтобы на каждом уровне иерархии сложность про-

ектирования была относительно небольшой. Подобная организация имеет не-

которые дополнительные преимущества, связанные с надежностью, тестируе-

мостью и восстанавливаемостью. Другой способ уменьшения сложности про-

ектирования состоит в ослаблении целевых критериев. Вместо того чтобы

требовать получения оптимального проекта, соглашаются на «хороший» или

«приемлемый». Такой подход к проектированию систем позволяет использо-

вать эвристические методы.

Из-за большого числа возможных типов элементов оказывается слиш-

ком сложным включить в УРСЗ различные конкретные типы проектирова-

ния, основанные на определенных алгебрах или типах функциональных

уравнений. Поэтому УРСЗ должен служить источником информации для

пользователя. Если для задачи проектирования, заданной пользователем,

имеется некий определенный метод проектирования, УРСЗ должен предоста-

вить пользователю исчерпывающую информацию об этом методе. Средства

УРСЗ для решения проблемы проектирования на уровне структурированных

систем должны разрабатываться, в рамках общего подхода к декомпозиции

как оптимизации (для небольших задач) или как средства удовлетворения

требований (основанного на соответствующих эвристических методах).

Г.6. Задачи идентификации

...даже зная свойства частей и законы их ваимодей-

ствия, очень непросто вывести свойства целого.

Герберт А. Саймон

258

В исследованиях систем важное место занимают две взаимодополняющие

задачи, связанные с взаимоотношением обобщенной системы с поведением и

разных множеств ее подсистем. Одна из них основывается на предположении,

что система с поведением, рассматриваемая как обобщенная, уже задана.

Задача состоит в определении того, какие структурированные системы,

состоящие из множеств подсистем заданных обобщенных систем, подходят

для реконструкции данной системы с поведением с приемлемым уровнем

точности. Во втором случае структурированная система с поведением зада-

на, и задача состоит в том, чтобы вывести свойства неизвестной обобщенной

системы.

В литературе эти задачи называют соответственно задачей реконструкции

и задачей идентификации. В этом разделе рассматривается задача идентифи-

кации, а в следующем — задача реконструкции.

Задача идентификации распадается на две подзадачи. Одна состоит в

определении множества всех обобщенных систем с поведением, представ-

ленных данной структурированной системой в том смысле, что функции

поведения их элементов являются проекциями функции поведения любой из

этих обобщенных систем. Это множество обобщенных систем называется

реконструктивным семейством рассматриваемой структурированной сис-

темы, Вторая подзадача заключается в выборе из реконструктивного семей-

ства такой обобщенной системы, которая задает в определенном смысле

лучшую гипотезу относительно реальной обобщенной системы.

РЕКОНСТРУКТИВНОЕ СЕМЕЙСТВО

Рассмотрим структурированную систему с поведением SF вида

(Г.18), элементы которой представлены множествами

S выборочных пере-

менных и функциями поведения

f (

∈

). Будем говорить, что система с

поведением сопоставима с данной структурированной системой SF, если обе

системы определены для одних и тех же параметров и переменных, а также

используют один и тот же тип функций поведения (например, функции рас-

пределения вероятностей или возможностей). Обозначим через G

мно-

жество функций поведения всех систем с поведением, сопоставимых с

SF, а через F

множество функций поведения систем с поведением из

реконструктивного семейства SF.

Ff ∈ тогда и только тогда, когда

f]Sf[

=↓ (Г.27)

для всех (

Nx ∈ ). Для вероятностных или возможностных функций поведе-

ния уравнения (Г.27) представляются соответственно системами уравнений

)c(f)c(f

∑

= (Г.28)

или

)c(fmax)c(f

(Г.29)

259

где (

Nx ∈ ). В этих уравнениях определяются значения

c), значения f(с)

определяются для всех обобщенных состояний входящих в уравнения

переменных. Положим, что

∈

для всех (

∈

Чтобы определить значения f(c), которые можно интерпретировать как

вероятности или возможности состояний с, уравнения (Г.28) или (Г.29)

нужно дополнить требованием, чтобы f(c)≥0 для всех

с ∈ . Несмотря на

то, что f(c) должны для вероятностных систем удовлетворять некоторым до-

полнительным требованиям, таким, как

f(c)≤1 и

∈

∑

)c(f

легко увидеть, что эти дополнительные требования учитываются видом этих

уравнений и требованием, чтобы

f(c)≥0 для всех

∈

. Взаимоотношение

между заданной структурированной системой и соответствующими обоб-

щенными системами с поведением описывается множеством из

|C|

∈

∑

уравнений вида (Г.28) или (Г.29) с |С| неизвестными,

f(с), удовлетворяющей

неравенствам

f(c)≥0 для всех

∈

. Обычно некоторые из этих уравнений

зависят от остальных и могут быть исключены. Если заданная структуриро-

ванная система непротиворечива, то полученная система уравнений [то есть

система линейно-независимых уравнений вида (Г.28)] имеет по крайней мере

одно решение в области неотрицательных действительных чисел.

Идентификация обобщенной системы с поведением по заданной струк-

турированной системе однозначна тогда и только тогда, когда решение огра-

ниченной системы уравнений существует (то есть структурированная система

непротиворечива) и оно единственно. Это бывает довольно редко. Если реше-

ние не единственно, что бывает значительно чаще, то идентификация неодно-

значна. По существу, это означает, что данная обобщенная система, хоть

для нее и выполняются все ограничения на переменные структурированной

системы, содержит некоторую дополнительную информацию. Это и есть кон-

структивное выражение известного утверждения науки о системах, что «целое

больше суммы составляющих его частей».

Пример Г.11. Рассмотрим структурированную систему, элементами ко-

торой являются системы с поведением без памяти, каждая из которых со-

держит по две из трех переменных v

. Каждая переменная имеет одно

из двух состояний 0 или 1. Вероятностные функции поведения элементов

f приведены в таблице Г.3. Легко убедиться, что эта структурированная

система локально согласована. Например, вероятность того, что v

= 0 рав-

на 0.6 (и 0.4 для v

=1) независимо от того, вычисляется она как проекция

или

Обозначим через р

, р

,...p

(таблица Г.4) неизвестные вероятности со-

стояний обобщенных систем с поведением. Тогда реконструктивное семейство

260

данной структурированной системы описывается неравенствами

)Ni(p

,i70

0 ∈≥ и 12 уравнениями вида (Г.28)

Таблица Г.3- Элементы структурированной системы из примера Г.11

с)

с=0 0 0.4

с = 0

0 0.4

с=0 0

0.4

0 1 0.3 0 1 0.2

0 1

0.3

1 0 0.2 1 0 0.1

1 0

0.1

1 1 0.1 1 1 0.3

1 1

0.2

Таблица Г.4 - Обозначения, исполь-

зуемые в примерах Г.11, Г.12 и Г.14

f(с)

с = 0

0 0

f(000) = р

0 0 1

f(001 )= р

0 1 0

f(010) = р

0 1 1

f(011) = р

1 0 0

f(100) = р

1 0 1

f(101)=р

1 1 0

f(110)=р

1 1 1

f(111)= р

Исследовав эти уравнения, получаем, что все неизвестные могут быть

выражены через одну из них, скажем через р

. В самом деле,

из (1): р

= 0.4 - р

;

из (5):

= 0.4 - р

;

из (9) :

=0.4 - р

;

из (2):

= 0.3 - р

= - 0.1+р

;

из (3):

= 0.2 - р4 = - 0.2+р

;

из (6):

= 0.3 - р

= 0,4 - р

;

из (8):

= 0.1 - р

= - 0.3 + р

Таким образом,

= p

= 0.4 – p

, (a)

= - 0.1 + p

, (б)

= - 0.2 + р

, (в)

= - 0.3 + р

Из неравенств для каждого из уравнений получаем следующие огра-

ничения на р

а) p

(или р

, р

) ≥ 0 дает p

≤ 0.4;

б) р

≥ 0 дает p

≥0.1;

=0.4 (1), p

=0.4 (5)

=0.4 (9),

=0.3 (2), p

=0.3 (6)

=0.3 (10),

=0.2 (3), p

=0.2 (7)

=0.2 (11),

=0.1 (Г), p

=0.1 (8)

=0.1 (12),