Методика применения пакета Maple для кинематического анализа механизмов

Подождите немного. Документ загружается.

ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÌÀØÈÍ

219

УДК 531.133.3:519.6

Р. К. Асадулин

Астраханский государственный технический университет

ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÏÀÊÅÒÀ MAPLE

ÄËß ÊÈÍÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÀÍÀËÈÇÀ ÌÅÕÀÍÈÇÌÎÂ

В машиноведении разработано множество методов графоаналитиче-

ского анализа кинематики и динамики механизмов. В последнее время

эти методы были вытеснены компьютерными программами, позволяющи-

ми быстрее и точнее решать задачи кинематического анализа аналитиче-

скими методами. Однако и старые методы не были забыты, т. к. они дают

более наглядное представление о происходящих в процессе движения ме-

ханизмов процессах.

Наиболее распространенными «старыми» методами кинематического

анализа механизмов являются метод планов и метод кинематических диа-

грамм. Суть этих методов сводится к следующему: в некотором масштабе

строится кинематическая схема механизма, угловая скорость входного зве-

на которого принимается постоянной; строятся: планы положений меха-

низма, планы скоростей или кинематическая диаграмма перемещений ана-

лизируемой точки механизма, планы ускорений или графически дифферен-

цируется диаграмма перемещений, причем чем меньше шаг построения

планов положений, тем точнее решение задачи. В результате получают дис-

кретные значения скоростей и ускорений всех точек механизма. Все эти

действия предполагают большой объем построений и вычислений.

Реализуем метод планов с помощью пакета Maple 7, богатого при-

кладными библиотеками, направленными на решение различных задач.

Пакет аналитических вычислений Maple не нашел такого широкого

распространения, как, например, MathCAD или Matlab [1], но это не

уменьшает его достоинств. Этот пакет – совместное детище университета

Ватерлоо (штат Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ЕТН,

Цюрих, Швейцария). Он состоит из ядра – процедур, написанных на языке

С, библиотек и интерфейса. Работа с пакетом проходит в режиме интер-

претатора. В строке ввода пользователь вводит команду, нажимает клави-

шу Enter и получает результат – строку (строки) вывода либо сообщение

об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить

новую команду и т. д.

Библиотека geometry содержит команды для решения задач двух-

мерной евклидовой геометрии [1]. Геометрические объекты определяются

обычным образом: точка задается своими координатами (команда point),

прямая (команда line) – двумя точками или уравнением, окружность (ко-

манда circle) – тремя точками, заданием центра и радиуса, диаметром. Це-

лый ряд команд пакета проверяет выполнение того или иного условия для

геометрических объектов, например, команда are_collinear проверяет, ле-

жат ли три точки на одной прямой. Другие команды предназначены для

ISSN 1812-9498. ÂÅÑÒÍÈÊ ÀÃÒÓ. 2006. № 1 (30)

220

поиска характеристик геометрических объектов – так, команда

intersection находит точку пересечения двух прямых. Все программы на

языке Maple начинаются с команды restart, которая обнуляет все полу-

ченные результаты при перезапуске программы.

В качестве объекта исследования рассмотрим изображенный на

рис. 1 рычажный механизм второго класса по Ассуру.

Рис. 1. Схема исследуемого механизма

Механизм приводится в движение кривошипом 1, вращающимся

с постоянной угловой скоростью

const

=ω .

Создадим

процедуру

по

строения

планов

положений

этого

механизма

Задаем

геометрические

па

раметры

механизма

2,11

l –

длина

звена

1; 5,12

l –

длина

звена

2; 0,531

l –

длина

отрезка

ВС

звена

3; 0,14

l –

длина

отрезка

звена

3; 5,4

ОЕ –

длина

отрезка

OE.

Задаем

начальный

конечный

угол

пово

рота

звена

⋅

22ug ;01ug .

Определим

шаг

построения

планов

по

ложений

который

представляет

собой

угол

поворота

кривошипа

1Npoints

ug1ug2

step

−

= . (1)

Здесь

Npoints –

число

планов

положений

которые

должны

быть

построенными

угол

поворота

кривошипа

для

го

плана

положений

будет

равен

⋅+= step1ugugol . (2)

Определим

положение

всех

точек

механизма

(

напомним

что

точка

задается

командой

point

geometry[point](O,[0,0])

geometry[point](C||i,[(oe+l4*cos(ugol[i])),(l4*sin(ugol[i]))])

geometry[point](E,[oe,0])

Точка

лежит

на

прямой

является

одной

из

точек

пересечения

этой

прямой

окружностью

радиусом

центром

точке

geometry[circle](ec,[E,l4]): geometry[line]

(OE,[O,E]):

geometry[circle](cd||i,[C||i,l32]):

geometry[intersection](D||i,cd||i,OE,[D||i1,D||i2]):

x1_d||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](D||i1)):

ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÌÀØÈÍ

221

x2_d||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](D||i2)):

Команда intersection выдаст две точки пересечения прямой и ок-

ружности, соответственно

1i||D

2i||D (

символ

является

синтаксиче

ским

знаком

результатом

такой

записи

будет

значение

Из

условия

сборки

нас

будет

интересовать

точка

координаты

которой

огра

ничены

условием

ОЕ

if x1_d||i > oe then D||i:=D||i1 else D||i:=D||i2 end if

Эту

запись

можно

расшифровать

следующим

образом

–

если

коор

дината

по

оси

точки

больше

величины

OE,

то

точку

считать

точкой

противном

случае

считать

точкой

точку

Точка

находится

как

точка

пересечения

прямой

окружности

радиусом

31,

ограниченная

условием

ОЕ

geometry[line](CD||i,[C||i,D||i]):

geometry[circle](oa,[O,l1]):

geometry[circle](db||i,[D||i,(l31+l32)]):

geometry[intersection](B||i,CD||i,db||i,[B||i1,B||i2]):

x1_b||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](B||i1)):

x2_b||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](B||i2)):

if x1_b||i < oe then B||i:=B||i1 else B||i:=B||i2 end if:

Чтобы

не

потерять

ход

рассуждений

необходимо

указать

что

коман

да

evalf(n)

вычисляет

значение

величины

формате

числа

плавающей

запятой

команда

HorizontalCoord(N)

определяет

координату

точки

по

горизонтальной

оси

(

форма

записи

geometry[HorizontalCoord](N)

означает

что

команда

HorizontalCoord

принадлежит

библиотеке

geometry

Точка

находится

на

пересечении

двух

окружностей

центрами

точках

радиусами

соответственно

Поскольку

есть

за

труднения

задании

ограничивающих

условий

представляем

оба

условия

сборки

geometry[circle](ba||i,[B||i,l2]):

geometry[intersection](A||i,ba||i,oa,[A||i1,A||i2]):

Определим

координаты

всех

подвижных

точек

использованием

команд

VerticalCoord(N)

HorizontalCoord

определяющих

координаты

точки

по

осям

координат

x1_a||i:=evalf(geometry[VerticalCoord](A||i1)):

x2_a||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](A||i2)):

x_a||i:=geometry[HorizontalCoord](A||i1):

y_a||i:=geometry[VerticalCoord](A||i1):

x_a_||i:=geometry[HorizontalCoord](A||i2):

y_a_||i:=geometry[VerticalCoord](A||i2):

x_b||i:=geometry[HorizontalCoord](B||i):

y_b||i:=geometry[VerticalCoord](B||i):

x_c||i:=geometry[HorizontalCoord](C||i):

y_c||i:=geometry[VerticalCoord](C||i):

x_d||i:=geometry[HorizontalCoord](D||i):

y_d||i:=geometry[VerticalCoord](D||i):

x_e:=geometry[HorizontalCoord](E):

ISSN 1812-9498. ÂÅÑÒÍÈÊ ÀÃÒÓ. 2006. № 1 (30)

222

y_e:=geometry[VerticalCoord](E):

Для визуализации полученных результатов воспользуемся элемен-

тами библиотеки plottools, предназначенной для изображения на графиках

простейших геометрических фигур:

zveno1[i]:= plottools[line]([0,0],[x_a||i,y_a||i],color =blue,thickness=2):

zveno1_[i]:=plottools[line]([0,0],[x_a_||i,y_a_||i],color =blue,thickness=2):

zveno2[i]:=plottools[line]([x_a||i,y_a||i],[x_b||i,y_b||i],color=

=blue,thickness=2):

zveno2_[i]:=plottools[line]([x_a_||i,y_a_||i],[x_b||i,y_b||i],color

=blue,thickness=2):

zveno3[i]:=plottools[line]([x_b||i,y_b||i],[x_d||i,y_d||i],color=

=blue,thickness=2):

polzun[i]:=plottools[polygon]([[x_d||i-

0.5,y_d||i+0.2],[x_d||i+0.5,y_d||i+0.2],[x_d||i+0.5,y_d||i-0.2],[x_d||i-0.5,

y_d||i-0.2]],color= yellow):

krivoship[i]:=plottools[line]([x_c||i,y_c||i],[x_e,y_e],color

=blue,thickness=2):

opora1:=plottools[polygon]([[0,0],[-.2,-.2],[.2,-.2]],color=red, thickness=1):

opora2:=plottools[polygon]([[x_e,y_e],[x_e-.2,y_e-.2],[x_e+.2,y_e-.2]],

color=red, thickness=1):

z1_[i]:=plottools[circle]([0,0],l1):

z2_[i]:=plottools[circle]([x_b||i,y_b||i],l2):

Как видно из этой записи, такие команды, как line и circle встречают-

ся не только в библиотеке geometry, поэтому необходимо конкретизировать

их принадлежность. Новой командой является команда polygon, служащая

для задания многоугольника по координатам его вершин. Опции color и

thickness задают цвет и толщину линии изображаемой фигуры. Теперь

можно построить i-й план положений с помощью команды display.

Индекс i у каждого определенного параметра позволяет нам сгруп-

пировать весь алгоритм расчета в цикл, т. е. алгоритм будет выполняться

для каждого i из определенной последовательности. Maple позволяет соз-

дать процедуру, в которую будет заключен этот алгоритм. В результате

получим n планов положений. Если их показывать по очереди, то получим

анимацию движения механизма, заданную процедурой, которая носит на-

звание pp, что означает «планы положений»:

pp:= proc(Npoints::numeric)

local

step,i,ugol,C,O,E,ec,OE,cd,D,D1,D2,x1_d,x2_d,CD,db,B,B1,B2,x1_b,x2_b,b

a,oa,x1_a,x2_a,U,zveno1,zveno1_,zveno2,zveno2_,zveno3,polzun,krivoship,

opora1,opora2,picture,x_a,y_a,x_b,y_b,x_c,y_c,x_d,y_d,x_e,y_e,itogo,

z1_,z2_;

step := (ug2 - ug1)/(Npoints - 1);

for i from 0 to Npoints-1 do

ugol[i]:=ug1+step*i;

……………………………………………………………………………………

ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÌÀØÈÍ

223

picture[i]:=display({opora1,opora2,zveno1[i],zveno2[i],zveno1_[i],zveno2_

[i],zveno3[i],polzun[i],krivoship[i],z1_[i],z2_[i]});

end do;

display([seq(picture[i],i=0..Npoints-1)],insequence=true,

axes=normal,scaling=constrained);

end proc:

Здесь слово proc означает – процедура, число за скобками – Npoints –

число планов положений, которое мы введем при запуске процедуры. Затем

вводят локальные переменные, т. е. переменные, которым будет присваивать-

ся какое-то значение только внутри данной процедуры. Место многоточия на

самом деле занимает алгоритм, описанный выше. Слово seq в команде dis-

play означает, что переменная picture[i] будет преобразована в список, где i

в качестве нижнего индекса будет задавать последовательность, принимая

значения от 0 до Npoints-1, а значит, и картинка, заданная фигурами opora1,

opora2, zveno1[i], zveno2[i], zveno1_[i], zveno2_[i], zveno3[i], polzun[i],

krivoship[i], z1_[i], z2_[i], будет воспроизводиться последовательно. Выпол-

нение команды «pp(100);» занимает несколько минут, после чего выводится

анимационная картинка из ста слайдов (рис. 2).

Рис. 2. Кадры анимации движения механизма

Укажем, что результатом выполнения процедуры рр можно сделать

любые из определенных в процедуре параметров, например, можно полу-

чить матрицу, где будут приведены координаты всех точек, или запро-

граммировать процедуру так, чтобы при вводе в скобках угла поворота

кривошипа процедура определяла координаты какой-то одной или всех

точек для данного положения механизма. Это говорит о том, что процеду-

ра является численной функцией

y)x(f

, где значение x мы задаем са-

ми, а значение y получаем в процессе выполнения процедурой алгоритма

расчета, причем «тело» процедуры мы не изменяем.

ISSN 1812-9498. ÂÅÑÒÍÈÊ ÀÃÒÓ. 2006. № 1 (30)

224

Аналогичным образом выполняем построение планов скоростей,

к процедуре рр добавляем следующие строки:

> geometry[point](pv,[0,0]):

geometry[point](c||i,[(v_a*cos((Pi/2)+ugol[i])),(v_a*sin((Pi/2)+ugol[i]))]):

geometry[PerpendicularLine](cd||i,c||i,CD||i):

geometry[intersection](d||i,cd||i,OE):

cd_||i:=geometry[distance](c||i,d||i):bc_||i:=l31*cd_||i/l32:

geometry[circle](cb_||i,[c||i,bc_||i]):

geometry[intersection](b||i,cb_||i,cd||i,[b||i1,b||i2]):

bd1||i:=evalf(geometry[distance](d||i,b||i1)):

bd2||i:=evalf(geometry[distance](d||i,b||i2)):

if bd1||i >bd2||i then b||i:=b||i1 else b||i:=b||i2 end if:

geometry[line](OA1||i,[O,A||i1]):

geometry[line](BA1||i,[B||i,A||i1]):

geometry[line](OA2||i,[O,A||i2]):

geometry[line](BA2||i,[B||i,A||i2]):

geometry[PerpendicularLine](pva1||i,pv,OA1||i):

geometry[PerpendicularLine](ba1||i,b||i,BA1||i):

geometry[intersection](a1||i,pva1||i,ba1||i):

geometry[PerpendicularLine](pva2||i,pv,OA2||i):

geometry[PerpendicularLine](ba2||i,b||i,BA2||i):

geometry[intersection](a2||i,pva2||i,ba2||i):

xpv:=evalf(geometry[HorizontalCoord](pv)):

ypv:=evalf(geometry[VerticalCoord](pv)):

xc||i:=evalf(geometry[HorizontalCoord](c||i)):

yc||i:=evalf(geometry[VerticalCoord](c||i)):

xd||i:=geometry[HorizontalCoord](d||i):

yd||i:=geometry[VerticalCoord](d||i):

xb||i:=geometry[HorizontalCoord](b||i)

:yb||i:=geometry[VerticalCoord](b||i):

xa1||i:=geometry[HorizontalCoord](a1||i):

ya1||i:=geometry[VerticalCoord](a1||i):

xa2||i:=geometry[HorizontalCoord](a2||i):

ya2||i:=geometry[VerticalCoord](a2||i):

pvc[i]:= plottools[line]([xpv,ypv],[xc||i,yc||i],color =blue,thickness=2):

bd[i]:=plottools[line]([xb||i,yb||i],[xd||i,yd||i],color =blue,thickness=2):

pvd[i]:= plottools[line]([xpv,ypv],[xd||i,yd||i],color =blue,thickness=2):

pvb[i]:=plottools[line]([xpv,ypv],[xb||i,yb||i],color =blue,thickness=2):

pva1[i]:= plottools[line]([xpv,ypv],[xa1||i,ya1||i],color =blue,thickness=2):

pva2[i]:= plottools[line]([xpv,ypv],[xa2||i,ya2||i],color =blue,thickness=2):

ba1[i]:=plottools[line]([xb||i,yb||i],[xa1||i,ya1||i],color =blue,thickness=2):

ba2[i]:=plottools[line]([xb||i,yb||i],[xa2||i,ya2||i],color =blue,thickness=2):

picture[i]:=display({pvc[i],bd[i],pvd[i],pvb[i],pva1[i],pva2[i],ba1[i],ba2[i]});

В результате выполнения такой процедуры получим анимацию из-

менения планов скоростей механизма (рис. 3).

ÌÅÕÀÍÈÊÀ ÌÀØÈÍ

225

Рис. 3. Кадры анимации изменения плана скоростей механизма

Аналогичным образом можно построить и планы ускорений механиз-

ма, не составит также большого труда реализовать метод графического диф-

ференцирования и интегрирования для метода кинематических диаграмм.

Приведенные выше процедуры направлены на графическую визуализа-

цию решения задачи, но это далеко не единственное направление. Гораздо

важнее для решения практических задач получить в качестве результата вы-

полнения процедуры численное значение какой-либо величины, например мо-

дуль и направление скорости точки А, используя тот же алгоритм, и, что самое

главное, использовать эту процедуру для дальнейших расчетов, например, ки-

нетостатического анализа этого же механизма, в качестве численной функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Оладьев В. З., Шишаков М. Л. Автоматизированное рабочее место математи-

ка. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. – 351 с.

Получено 17.01.06

USING PACKET ‘MAPLE’

FOR KINEMATICAL ANALYSIS OF MECHANISMS

R. K. Asadulin

Methods of plans for kinematical investigating of mechanisms us-

ing applied libraries of mathematical packet ‘Maple’ have been presented

taking analysis of lever mechanism of II class as an example. Algorithm

of making plans of configuration and velocity is given in details. Variants

of given methods have been used to solve practical problems.