Мензель П. Применение метеорологических спутников

Подождите немного. Документ загружается.

излучателем видимого света, она должна быть нагрета до тысяч градусов К, в то

время как инфракрасные лампы функционируют при более низких температурах.

2.5.2 Закон теплового излучения Рэлея-Джинса

В микроволновой области электромагнитного спектра, когда λ > 0.5 см, а

температура соответствует температуре излучения Земли, экспонента в функции

Планка мала, и, следовательно, можно выполнить аппроксимацию:

Tce

+= ,

что дает нам следующую асимптотическую зависимость:

/),(

λν

cTcTB = .

Подобным образом,

/),( cTcTB

νν

для достаточно малых ν. Эти формулы представляют собой закон теплового

излучения Рэлея-Джинса, а спектральный диапазон с λ > 0.5 см в физике атмосферы

называется диапазоном Рэлея-Джинса. Отметим, что в диапазоне Рэлея-Джинса

функция Планка линейна по отношению к Т. Для λТ > 10 см К, аппроксимация

Рэлея-Джинса дает ошибку в 2 % или меньше.

2.5.7 Закон излучения Вина

В ближней инфракрасной области спектра и в еще более коротковолновых

видимом и ультрафиолетовом диапазонах, то есть при см, и когда Т,

соответствует температуре Земли, экспонента в функции Планка представляет собой

большую величину, т.е.

−

0.1

Следовательно, константу 1.0 в знаменателе можно проигнорировать, чтобы

получить другое асимптотическое разложение функции Планка, а именно:

ecTB

λλ

/25

),(

−−

= , или

ecTB

/23

),(

νν

−

= ,

для достаточно больших ν. Это две формы закона излучения Вина.

Спектральный диапазон с см называется диапазоном Вина при определении

атмосферных температур. В диапазоне Вина функция Планка зависит от

температуры в высшей степени нелинейным образом. Для λТ < 0.5 см К

аппроксимация Вина дает ошибку 2 % или менее.

−

2.5.4 Закон Стефана-Больцман

Радиационную светимость абсолютно черного тела можно получить,

интегрируя функцию Планка по всем длинам волн и углам:

[]

∫∫

∞∞

−

dEE

πλ

пусть

Tcx

, тогда

15)1(

dxx

ππ

−

∫

∞

Заметим, что:

∫∫

∞∞

),(),(

ννλλ

dTBdTB ,

что для данной температуры предполагает

),(),(

TBTB

ννλ

= .

Часто полезно знать долю полного излучения абсолютно черного тела с

длинами волн меньше определенной длины волны, выраженной как

// TdBTdE

σλπσλ

∫∫

= .

Рис. 2.5 показывает часть полного излучения абсолютно черного тела,

излученного в интервале длин волн, ограниченном сверху определенной длиной

волны, как функцию от λТ. Отметим, что при

max

эта доля равна 0.23, иными

словами, менее 25 % излучения имеет длины волн более короткие, чем пиковая

длина волны. Рис. 2.5 демонстрирует тот факт, что менее 1 % солнечного излучения

имеет длины волн более 4 микрон, в то время как менее 1 % земного излучения,

соответствующего излучению абсолютно черного тела с температурой 250

К, имеет

длины волн менее 4 микрон.

2.5.5 Яркостная температура

В конечном счете, нас интересует температура, соответствующая

определенному значению функции Планка. Эта температура определяется путем

инвертирования функции Планка,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+= )1ln(/]1ln/[

Выведенная величина называется яркостной температурой из-за ее

исторически сложившейся связи с радиоастрономией; тем не менее, термины

температура излучения и эквивалентная температура абсолютно черного также

часто используются.

В диапазоне Рэлея-Джинса можно записать

/)/()/(

νλ

BccBccT ==

где С другой стороны, в диапазоне Вина

.10208021.1/

×=сс

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= )ln(/ln/

Здесь B(ν, Т) имеет единицу измерения .

)**/(

12 −

смстерадмВт

Как мы уже видели из закона Планка, при повышении температуры

излучательная способность также увеличивается; причем это увеличение в

процентном соотношении изменяется как функция длины волны и температуры.

Изменения процентного соотношения излучательной способности к

соответствующим изменениям температуры, называемое температурной

чувствительностью α, данного спектрального диапазона определяется как dB/B =

α dT/T. Для инфракрасного диапазона мы обнаружим, что

TcTс

=≈

. Таким

образом при больших значениях волнового числа (или при меньших длинах волн)

существует более сильная зависимость от температуры, чем при меньших волновых

числах (или более длинных волнах). Для примера рассмотрим два участка

инфракрасного диапазона в окнах прозрачности атмосферы; при 300

температурная чувствительность для 900 см-1 диапазона (длинноволновое окно с

центральной длиной волны около 11 мкм) равна 4.3, а для 2500 см-1 диапазона

(коротковолновое окно с центральной длиной волны около 4 мкм) она равна 12.

Температурная чувствительность показывает степень, в которой излучательная

способность Планка зависит от температуры, т.к. B, пропорциональное

удовлетворяет уравнению. Таким образом, излучательная способность в

коротковолновом окне изменяется приблизительно так же, как и температура в

двенадцатой степени, а в длинноволновом окне – приблизительно как температура в

четвертой степени. Таблица 2.3 показывает температурную чувствительность в

некоторых других диапазонах спектра.

Таблица 2.1

Диапазоны и размерность электромагнитного спектра

Длина волны Частота Волновое

число

См мкм Å

Гц ГГц

1−

см

−

0.1 1.000

Ближний ультрафиолетовый (УФ)

103×

3000000

104

−

0.4 4.000

Видимый

104 ×

400000

105.7

−

0.75 7.500

Ближний инфракрасный (ИК)

105.7 ×

750000

13.333

102

−

102 ×

Дальний инфракрасный

105.1 ×

15000

500

0.1

Микроволновый (МК)

103×

300

Таблица 2.2

Основные понятия излучения

Величины Символы Единицы измерения

Энергия dQ Джоуль

Лучистый поток dQ/dT Джоуль/сек = Ватт

Энергетическая светимость dQ/dT/dA Ватт/

Спектральная плотность

или монохроматический

поток

dQ/dT/dQ/dλ

или: dQ/dT/dQ/dν

Вт/ /микрон

Вт/ /

1−

см

Энергетическая яркость

dQ/dT/dA/dλ/dΩ

или:

dQ/dT/dA/dν/dΩ

Вт/ /микрон/стерадиан

Вт/ / /стерадиан

1−

см

Таблица 2.3

Температурная чувствительность различных спектральных диапазонов

Волновое число Типичная температура Температурная

чувствительность

700 220 4.58

900 300 4.32

1200 300 5.76

1600 240 9.59

2300 220 15.04

2500 300 11.99

нормаль к поверхности

Направление

излучения

инкремент

площади

Рисунок 2.1. К введению понятия энергетическая яркость.

Рисунок 2.2. Спектр излучения абсолютно черных тел с указанными

температурами.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела на

единичную длину волны

1127

−−−

стерадианмкмВтм

Длина волны (мкм)

)

тысяч

Рис. 2.3. Кривые излучательной способности Планка при 300 К. обозначает B

(λ, Т) в единицах (на единичную длину волны), а +

обозначает B(ν, Т) в единицах (на единичное волновое

число). Значения B (λ, Т) умножены на (напр., B(10мкм, 300

К) равно ,

тогда как значения B(ν, Т) показаны умноженными на (напр., B(1000cм-1, 300

К) равно 99.0). Отметим, что в соответствие с законом Вина для B(ν, Т) ν(max) =

1.95*Т (см-1), в то время как более привычное нам значение – это λ(maх) = 0.2897/T

(см).

сммстерадианМВт ///

/МВт

−

сммстерадиан

−

109.9 ×

Рисунок 2.4. Нормализованные спектры абсолютно черного тела,

соответствующие Солнцу (слева) и Земле (справа), представленные в

логарифмической шкале длин волн. Ординаты умножены на длину волны так, что

площади под кривыми пропорциональны радиационной светимости.

МВт/сте

иан/м**2/

(

см-1 или см

)

(

Волновое число (в сотнях)

(

но

мализованное

)

длина волны (нм)

Микроны, для Т

300 К

Микроны, для Т = 6000 К

единицы по оси y:

/)( TdB

σλλπ

∫

λТ (см*градус)

Рисунок 2.5. Доля полного излучения абсолютно черного тела,

соответствующая длинам волн менее данной длины волны, при данной температуре.