Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении
Подождите немного. Документ загружается.
40.113 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 153Гл
усвоить. Для этих учащихся элементы знаний,
предъявляемых в "подсказке", составляют
дополнительное неизвестное в задаче.
Использование их в процессе решения, по
существу, совпадает с процессом усвоения этих
знаний.
5. Контроль процесса и результатов
правильности усвоения, составляющий обратную
связь, осуществляется учеником путем
сопоставления полученного самостоятельного
решения с рядом возможных решений (в том
числе ошибочных).
В прeдлaгaeмых решениях оценивается
каждый ответ (правильно – неправильно),
объясняется причина ошибки и правильный
способ решения задач. Ученик не может изменить
своего решения, так как оно у него записано в
тетради. В случае ошибки ученик должен
выполнить дополнительное задание (задачу с
новыми данными), после чего он может решать
следующую новую задачу основной линии
программы. По мере продвижения учебника в
усвоении учебного матepиaлa способ контроля
изменяется – от первоначального сопоставления
развернутых решений до простого сопоставления
лишь с правильным ответом.
6. Индивидуализация осуществляется путем
40.114 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 153Гл
использования:
а) различных видов помощи, к которым могут
обращаться слабоуспевающие учащиеся;
б) дополнительных заданий, которые должны
выполнить учащиеся, допустившие ошибку.
В тексте программы понятие "помощь"
использовано условно. Прeдлaгaeмыe в этих
случаях дополнительные сведения необходимы
всем учащимся.
40.115 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 154Гл
Обучающая программа
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 1 –
Решение многих задач в строительстве, навигации и
т. д. основано на знаниях о треугольниках. B этих
задачах необходимо по одним, известным, элементам
треугольника (углы, стороны) найти величины других,
неизвестных, элементов треугольника (угол, сторона).
Типичной задачей может быть следующая:
В треугольнике ABC сторона а = 5 м, сторона в =
10 м, а угол между ними составляет 110є. Найти длину
стороны AB, противоположной данному углу.
Эту задачу нельзя решить лишь с помощью тех
сведений, которые Вы усвоили в курсе геометрии. Для ее
решения необходимы знания о тригонометрических
функциях.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 2 –
Задача 1. Предположим, что мы прислонили к
стене линейку длиной в 100 см. Угол, образованный
между линейкой и полом, равен 30є. Найти высоту
стены от пола до точки соприкосновения с линейкой.
40.116 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 155Гл
Можете ли Вы найти это расстояние на основании
данных, предложенных в условии задачи? Какие
дополнительные данные необходимы для решения этой
задачи?
Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к стр.
3.
Проверьте ответ на стр. 4.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 3 –
Дополнительные данные для задачи 1.
Эта задача только кажется простой. Ее нельзя решить
с помощью известных Вам геометрических методов.
Ведь мы знаем длину только одной стороны и величину
только одного угла.
Вероятно, мы могли бы решить эту задачу, если бы
знали, в каком отношении находятся неизвестная
сторона а (противолежащая углу А = 30є), и известная
сторона с (гипотенуза) = 100 см. Допустим, что это
отношение равно 1/2, т. е.
Используйте это отношение для решения задачи.
40.117 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 155Гл
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 4 –
Проверка решения задачи 1.
1. Ответ: Сторона а = 30 см. Неправильно.
Вы нашли длину катета, противолежащего углу
А=30º, прямо по величине этого угла. Вы поступили
неправильно. Нельзя прямо переносить величину угла,
выраженную в угловых единицах (градусах), на длину
противолежащей стороны, выраженную в других
единицах (сантиметрах).
В решении Вы должны были использовать новые
дополнительные сведения (стр. 3) об отношении между
катетом, противолежащим углу А = 30є, и гипотенузой.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против
угла в 30є, равен половине гипотенузы. Длина
гипотенузы нам известна, она равна 100 см.
Вычислите длину катета.
Решите задачу 2 (стр. 5).
2. Ответ: Сторона а = 200 см. Неправильно.
Вы неправильно использовали отношение катета,
противолежащего углу А = 30є, к гипотенузе. Это
отношение равно 1/2.
a/c = 1/2
Значит, а = c/2. Длина гипотенузы в два раза
больше длины катета, а катет в два раза меньше
гипотенузы. Найдите величину катета.
Решите задачу 2 (стр. 5).
3. Ответ: Сторона а = 50 см. Правильно.
Если отношение катета, противолежащего углу в 30є,
к гипотенузе равно 1/2, т. е. a/c = 1/2, то
40.118 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 156Гл
Катет, противолежащий углу 30є, равен половине
(1/2) гипотенузы. Гипотенуза в два раза больше катета,
противолежащего углу 30є.
Решите задачу 4.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 5 –
Задача 2. В прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза с = 200 см, угол А = 30є. Найдите
величину стороны а.
с = 200 см.
Проверьте ответ на стр. 6.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 6 –
Проверка решения задачи 2.
1. Ваш ответ: Сторона а = 100 см. Правильно.
Решите задачу 4.
40.119 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 157Гл
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 7 –
Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза с = 50 см, угол А = 30є. Найти величину
стороны а.
с = 50 см
Проверьте ответ на стр. 8.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 8 –
Проверка решения задачи 3.
1. Ответ: Сторона а = 100 см. Неправильно.
Вы опять не поняли смысла отношения катета к
гипотенузе, равного 1/2 (или 0,5), и поэтому снова
решили задачу неправильно.
Предположим, даны два отрезка а и с. Длина отрезка
с = 50 см. Отрезок а относится к отрезку с как 1 : 2.
Такое же отношение между катетам я гипотенузой в
нашей задаче. Решите задачу 2.
2. Ответ: Сторона а = 25 см. Правильно.
Переходите :к решению задачи 4.
40.120 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 157Гл
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 9 –
Задача 4. В решении предыдущих задач мы имели
прямоугольные треугольники, один из углов которых
был равен 30є. Длины гипотенуз каждого треугольника
были различны (100 см, 50 см и т. д.). Несмотря на
это, мы во всех случаях для нахождения катета,
противолежащего углу 30є, использовали одно и то же
отношение катета к гипотенузе, равное 1/2. Однако
справедливо ли это отношение для всех
прямоугольных треугольников, имеющих угол, равный
30є, независимо от длины гипотенузы или катета?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, построим
следующий чертеж:
На гипотенузе прямоугольного треугольника ABC
произвольно отложим точки В
I
, В
II
, В и опустим из
них перпендикуляры на сторону АС. Мы получили три
треугольника AB
I
C
I
, АВ
II
С
II
и ABC. Докажите, что
Проверьте Ваше доказательство на стр. 11.
Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к стр.
40.121 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 158Гл
10.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 10 –
Дополнительное разъяснение к задаче 4.
По построению углы АС'В', АС"В", АСВ равны 90є,
так как ни образованы при пеpeсeчeнии стороны АС
пеpпeндикуляpaми, опущенными из точек В
I
, В
II
и В.
Таким образом, мы получили три прямоугольных
треугольника. Прямоугольные треугольники, имеющие
по одному равному острому углу, являются подобными
треугольниками.
Докажите, что
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 11 –
Решение задачи 4.
Рaссмaтpивaeмыe треугольники являются
прямоугольными, так как С' = С" = C = 90є А = 30є –
общий угол. Прямоугольные треугольники, имеющие по
равному острому углу, подобны. В подобных
треугольниках стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным сторонам другого и
сходственные стороны лежат против равных углов
треугольников.
Значит,
40.122 Матюшкин: Проблемные ситуации в мышлении и обучении, 158Гл
Отношение между катетом и гипотенузой в
прямоугольном треугольнике при одном и том же
противолежащем угле является постоянным. В
прямоугольных треугольниках с острым углом, равным
30є, противолежащий катет всегда равен половине
гипотенузы. Вы можете убедиться в этом, измерив
соответствующие катеты и гипотенузы в прямоугольных
треугольниках.
Решите задачу 5.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
– 12 –
Задача 5. В предыдущих задачах мы находили
величину катета прямоугольного треугольника,
противолежащего углу, равному 30є. При этом мы
использовали длину гипотенузы и отношение между
катетом и гипотенузой, равное 0,5.
В треугольнике ABC острый угол А = 37є.
Гипотенуза АВ = 100 см. Найдите длину стороны а = ?
с = 100 см
Проверьте решение на стр. 14.
Если Вы не можете решить задачу, обратитесь к стр.
13.