Математический и физический Маятник
Подождите немного. Документ загружается.
Цель работы: изучение колебаний физического и математического
маятников и измерение ускорения свободного падения.
Краткая теория
Маятники – это тела, колеблющиеся под действием сил тяготения.
Если маятник можно представить как материальную точку, подвешенную на
невесомой и нерастяжимой нити, то говорят о математическом маятнике. На
практике математическим маятником можно считать тяжёлое тело,
подвешенное на лёгкой нити, длина которой во много раз больше размеров
тела. Период колебаний такого маятника
g
l
T
2
. (1)
Физическим маятником называется твёрдое тело, способное
совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его
центром масс. В положении равновесия центр масс
маятника С, показанный на рисунке 1, находится под
точкой подвеса маятника О, на одной с ней
вертикальной оси. При отклонения маятника от
положения равновесия на угол
возникает вращающий
момент, стремящийся вернуть маятник в положение
Рисунок 1 равновесия. Этот момент
sinmgaM
, где m – масса
маятника, a- расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника,
sina
- плечо силы тяжести.
При небольших углах отклонения, когда
sin
, возвращающий момент
будет квазиупругим, т. е.
mgaM
. (2)
В этом случае возвращающий момент силы тяжести прямо
пропорционален угловому смещению
маятника от положения равновесия.
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
JM
(3)
где M – момент силы, вызывающий вращение маятника; J- момент инерции
маятника относительно оси вращения;
- угловое ускорение.
Подставив в уравнение (3) значение M из уравнения (2) и
2
2
dt
d
,
получим:
mga
dt
d
J
2
2
, откуда
0
2
2
J
mga
dt
d
. (4)
Уравнение (4) – дифференциальное уравнение гармонических
колебаний физического маятника. Этому уравнению тождественно
удовлетворяет функция
t
00
sin
, (5)
где
J
mga
0
.
В этом можно убедиться подстановкой значений
и
2
2
dt
d
в
уравнение (4).
Используя связь между угловой частотой
0
гармонических
колебаний и периодом, получаем:
mga
J
T
2
. (6)
Формулу (1) можно записать:
l
g
T
2
2
4
. (7)
Полученная линейная зависимость
2
T
от l может быть проверена
экспериментально. Тангенс угла
наклона прямой к оси абсцисс позволяет
определить g:
tg
g
2
4
(8)
Из сопоставления формул (1) и (6) получается, что математический
маятник с длинной
ma
J
l
пр
(9)
будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.
Величину (9) называют предельной длиной физического маятника. Таким
образом, приведённая длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебаний которого совпадает с
периодом колебаний данного физического маятника. Для всякого тела,
рассматриваемого как физический маятник, можно указать две такие точки,
именуемые центрами качания, что период малых колебаний при качании
вокруг осей, проходящих через эти точки, одинаков, а расстояние между
ними равно предельной длине физического маятника. На этом понятии
оборотного маятника основано определение ускорения свободного падения.
Оборотным будет такой маятник, у которого имеются две параллельные друг
другу, закреплённые опорные призмы, за которые он может поочерёдно
переворачиваться и подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и
закрепляться на нём тяжёлые грузы. Перемещением грузов или опорных
призм добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из
призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными
рёбрами призм будет равно
пр
l
. Измерив период колебаний маятника и зная
пр
l
приведённое, можно из формулы
g
l
T
пр
2
(10)
найти ускорение свободного падения g.