Макаров Е.Г. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
Макаров Е.Г.
Сопротивление материалов
Предисловие
При проектировании любой машины или конструкции необходимо обеспечить ее
работоспособность и надежность в течении всего срока эксплуатации. Безотказная
работа конструкции в первую очередь обеспечивается ее прочностью и жесткостью.
Прочностная подготовка инженера обеспечивается целым рядом дисциплин, таких
как механика деформированного твердого тела, теория упругости, теория
пластичности, реология, динамика и устойчивость машин и сооружений.
строительная механика. Поскольку ни один серьезный расчет в настоящее время не
ведется без использования компьютера, численные методы решения задач динамики
и прочности рассматриваются в курсе вычислительной механики.
Данный курс сопротивления материалов ориентирован на использование
компьютерных технологий в прочностных расчетах конструкций.
Сейчас в конструкторских бюро и на заводах почти никто не чертит вручную на
кульмане, только на компьютерах, используя современные графические комплексы.
Соответственно и прочностные расчеты выполняются на компьютерах. Для
сравнительно простых расчетов и решения всевозможных уравнений, как правило,
используется Mathcad. Для сложных комплексных расчетов конструкций
используются современные вычислительные комплексы, использующие метод
конечных элементов.
Особенности курса сопротивления материалов
Сопротивление материалов — своего рода азбука прочности. Здесь рассматриваются
основные понятия, такие как напряжения, деформации, перемещения и другие,
которые необходимы для изучения последующих дисциплин прочностного цикла.
В сопротивлении материалов вводится большое количество упрощающих расчет
гипотез и допущений, что позволяет получить и использовать в расчетах простые
инженерные формулы. При этом неизбежно уменьшается точность расчетов и
уменьшается круг решаемых задач.
Формулы сопротивления материалов, как правило, используются на стадии
эскизного проектирования для подбора основных размеров конструкции. При
подготовке серийного производства на стадии изготовления чертежей конструкции
необходимы уточненные расчеты с использованием метода конечных элементов и
экспериментальная доводка изделия на испытательных стендах.
Содержание курса сопротивление материалов на этом диске соответствует
программе министерства образования России.
В большинстве разделов учтены современные взгляды на решение прочностных
задач.
В углубленной постановке рассмотрены вопросы учета пластических деформаций,
благо Mathcad позволяет получать простые решения сложных (при решении
вручную) задач теории пластичности.
Особое внимание обращается в книге на характер разрушения материалов (хрупкий
или вязкий). Внезапный переход материала из пластического состояния в хрупкое
ведет к аварии, часто с катастрофическими последствиями. Задача инженера-
проектировщика гарантировать, что хрупкого разрушения конструкции не
произойдет ни при каких обстоятельствах.
С точки зрения практических расчетов рассмотрены вопросы усталости материалов и
механики разрушения тел с трещинами.
Определенное внимание уделено вопросам рационального и оптимального
проектирования конструкций. Если рациональному выбору конструкции учит весь
курс сопротивления материалов, то оптимальное проектирование основано на
использовании математических методов поиска экстремума функции.
С позиций теории колебаний решаются вопросы динамического воздействия сил на
конструкцию.
Освоение "азбуки прочности" требует решения большого количества простых
примеров, чтобы понять и запомнить основные принципы решения прочностных
задач. Решив определенное количество задач вручную, можно приступать к решению
сложных задач с использованием компьютерных методов расчета.
В данном курсе почти не рассматриваются простые примеры. Для решения таких
задач можно использовать другие учебники и пособия [1], [2], [4], [17], [19], [21],
[22],[23].
С помощью формул и методов традиционного сопротивления материалов можно
решать только сравнительно простые задачи. Как правило, это расчеты длинных и
тонких стержней на растяжение, изгиб, кручение. С помощью Mathcad можно решать
1
значительно более сложные задачи, анализировать результаты расчета. Но все равно
круг решаемых задач остается ограниченным многочисленными допущениями,
рассмотренными в разделе 1.9. Практические задачи расчета прочности и жесткости
конструкций, с которыми встречается инженер в своей работе, решаются методом
конечных элементов (МКЭ) с использованием современных вычислительных
комплексов. Для подготовки к работе с такими комплексами студент должен изучить
основы метода конечных элементов, чтобы правильно сформулировать задачу,
выбрать условия ее решения и проанализировать результаты расчета. Из сотен
вариантов, предлагаемых многочисленными меню вычислительных комплексов,
выбрать нужные, ведущие к правильному решению задачи.
Особенности решения задач в Mathcad
Все примеры решения задач, расчетно-графических и курсовых работ по
сопротивлению материалов выполнены в Mathcad и помещены в электронную книгу
на компакт-диске.
Каждый пример электронной книги представляет собой программу для решения
определенного класса задач и позволяет, задавая диапазоны изменения различных
параметров, анализировать результаты расчета, способствуя выбору рациональной и
даже оптимальной конструкции.
Кроме того, программы, приведенные в электронной книге можно использовать, как
"электронные кубики" для сборки других программ. Такой метод позволяет
многократно сократить время подготовки программ пользователя.
Приведенные в электронной книге примеры показывают, что при использовании
Mathcad в сопротивлении материалов практически нет нерешаемых задач.
Выбор Mathcad в качестве средства решения задач объясняется его простотой и
наглядностью. Ведь все математические выражения в Mathcad выглядят так же, как в
книге или тетради.
Большое количество встроенных функций, наличие численного и символьного
процессоров позволяет решать задачи как численно, так и аналитически. Наличие
графического и текстового редакторов позволяют готовить технические документы
непосредственно в оболочке Mathcad.
В некоторых разделах при выводе формул сопротивления материалов используется
символьный процессор Mathcad для оценки выражений, вычисления интегралов и
производных, решения уравнений в символьном виде. Однако проделать весь вывод
какой-либо формулы в Mathcad, как правило, не удается.
Главное достоинство Mathcad — простота и удобство вычислений.
Этому принципу должны быть подчинены все вычисления в Mathcad.
Если вручную
выполнить вычисления быстрее и проще, чем в Mathcad, значит нечего и
связываться с Mathcad
.
Именно так и обстоит дело с символьными вычислениями. Составить программу
символьного вывода формулы конечно можно, но зачастую очень сложно. Вручную
это делается гораздо быстрее. А вот для оценки выражений, вычисления интегралов,
производных, пределов функций, решения уравнений в символьном виде очень даже
удобно использовать Mathcad.
Что касается численных вычислений, то здесь Mathcad успешно справляется с
поставленной задачей. Однако, на мой взгляд, в системе Mathcad имеется ряд
недоработок, ограничивающих использование системы в инженерной практике. Это
ограничения при использовании размерностей в расчетах, при решении
дифференциальных уравнений, при анализе экспериментальных данных.
Совершенно недооценен создателями системы Mathcad раздел программирование,
находящийся в зачаточном состоянии. Но даже в таком виде с использованием
Mathcad можно запрограммировать задачу любой сложности.
Практически все студенты (а я ежегодно обучаю сопротивлению материалов и работе
в Mathcad около сотни студентов) в Mathcad считают так же, как вручную на
микрокалькуляторах. Каждое слагаемое, каждый интеграл вычисляют отдельно.
Во всех 60 примерах, находящихся на компакт-диске, как и в своих книгах по
использованию Mathcad [9], [10], я демонстрирую возможности записи в Mathcad
универсальных выражений, каждое из которых многократно производит вычисление
либо с использованием матричной записи выражений, либо с применением
дискретной переменной, либо с записью операторов условия.
Используйте в работе векторные, матричные обозначения, знаки суммирования и
произведения. Посмотрите как компактно и зачастую элегантно выглядят расчеты в
электронной книге.
Усвойте основные принципы работы с Mathcad и совершенствуйте их дальше сами.
2
СОВЕТ
Для успешного освоения Mathcad рекомендую приобрести мою книгу "Инженерные
расчеты в Mathcad 14", выпущенную издательством "Питер" или мои компакт-
диски “Mathcad 14 — конструктор программ” и "Самоучитель Mathcad 14",
выпущенные фирмой “Новый диск”. Эти диски содержат раздел “Быстрый старт в
Mathcad”, и электронную книгу с описанием всех возможностей Mathcad и около 60
примеров сложных инженерных расчетов.
Чтобы решать задачи в Mathcad не надо быть большим специалистом. Достаточно
изучить основы и иметь под рукой большой набор шаблонов для различных
вычислений. Такими шаблонами являются программы, содержащиеся в электронных
книгах на моих компакт-дисках.
3
Глава 1. Основные понятия
В этой главе рассматриваются понятия, являющиеся общими для всех
(или большинства) разделов сопротивления материалов.
1.1 Реальный объект и расчетная схема
Сопротивление материалов не рассматривает реальные объекты со
всеми их индивидуальными особенностями. Оно изучает расчетные
схемы и типовые методы расчета. Задача расчетчика выбрать
расчетную схему, наиболее близко подходящую к реальному объекту.
Удачно выбранная расчетная схема даст результаты расчета, близкие к
реальным. При неудачном выборе — результат далек от истины.
В качестве примера возьмем мостовой кран, установленный в пролете
цеха (рис. 1.1, а). Различные элементы конструкции испытывают
разные нагрузки и рассчитывать на прочность их надо отдельно.
балка
пластина
Стержень
a)
б)
в)
г)
Рис. 1.1 Реальная объект и расчетная схема
Груз весом Q висит на тросе и растягивает его, поэтому первой
расчетной схемой логично взять стержень (трос), нагруженный
растягивающей силой Q (рис. 1.1, б). Через трос нагрузка передается
на барабан лебедки, далее на ось, подшипниковые опоры, зубчатые
колеса и т.д.
Фактически каждую деталь лебедки надо рассматривать как отдельную
расчетную схему. Лебедка установлена на раме, покрытой листом
металла. Это лист можно рассчитать как пластину, нагруженную в 4-х
точках крепления болтов (рис. 1.1, в). Колеса тележки мостового крана
передают нагрузку на рельсы, которые можно рассматривать как балки
на двух опорах. (рис. 1.1, г).
Точность расчета зависит от выбора расчетной схемы. Например,
рельсы можно рассматривать как балку просто положенную на опоры,
либо как балку, заделанную в кирпичную стену, либо приваренную к
другой металлической конструкции. Результаты расчета будут
различными.
1.2 Тела, рассматриваемые в сопротивлении
материалов
В процессе схематизации конструкции элементы реального тела
заменяются их упрощенными моделями. Перечислим основные
объекты, рассматриваемые в сопротивлении материалов (рис. 1.2)
брус стержень
балка
пластина
оболочка
массивное тело
4
Рис. 1.2. Объекты в сопротивлении материалов
1. Брус — тело, у которого один из размеров много больше двух других (длинное,
тонкое, в общем случае криволинейное тело).
2. Стержень — прямолинейный брус.
3. Балка — стержень, работающий на изгиб.
4. Оболочка — тело, у которого один из размеров много меньше двух других.
5. Пластина — частный случай оболочки, у которой срединная поверхность —
плоскость.
6. Массивное тело.
1.3 Силы внешние и внутренние
Внешняя сила — это мера взаимодействия между телами. В задачах
сопротивления материалов внешние силы считаются заданными. К
внешним силам относятся также опорные реакции.
Внутренние силы — это мера взаимодействия между частицами одного
тела. Внутренние силы самоуравновешенные. Поэтому они не видны
на схеме и не влияют на условия равновесия тела.
Внешние силы делятся на объемные и поверхностные. Объемные силы
приложены к каждой частице тела по всему его объему. Примером
объемных сил являются силы веса и силы инерции.
Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распределенные.
Сосредоточенными считаются силы, приложенные к малой
поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела,
например, на схеме мостового крана (рис. 1.1) вес поднимаемого груза
передается на рельсы через колеса тележки. При расчете балки на
прочность размер зоны контакта колес с балкой мал по сравнению с
длиной балки и нагрузку можно считать сосредоточенной. Однако при
расчете напряжений вблизи зоны контакта нагрузку следует считать
распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только
сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно
считать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании
гайки.
Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по
площади. В результате действия внешних сил в теле возникают
внутренние силы. Внутренняя сила — мера взаимодействия между
частицами одного тела.
Все внешние нагрузки можно разделить на статические и
динамические.
Статическими считаются нагрузки, в процессе приложения которых
силы инерции малы и ими можно пренебречь. В противном случае
нагрузки считаются динамическими.
1.4 Определение внутренних усилий методом
сечений.
Внутренние силы определяются методом сечений.
а)
б)
в)
x
Y
Z
x
Y
Z
N
x
Q
y
Q
z
M
x
M
y
M
z
R
G
M
G
)
г
Рис. 1.3. Определение внутренних усилий методом сечений
5
Мысленно рассекаем тело произвольным сечением (рис. 1.3, а),
отбрасываем одну часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся
части. Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная
часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил.
Поскольку сечение мысленное и тело находится в равновесии,
действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами
(рис. 1.3, б), приложенными к каждой частице тела. Из теоретической
механики известно, что любая система сил может быть приведена в
любую точку пространства в виде главного вектора сил и главного
момента сил
R
M
(рис. 1.3, в). Модуль и направление этих векторов
неизвестны. Удобнее всего определять проекции этих векторов на оси
x, y, z, где ось х — нормаль к сечению, y и z —оси, лежащие в
плоскости сечения. Начало координат в центре тяжести сечения (рис.
1.3, г)
x
y
z
N
RQ
Q
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
G
x
y
z
M
MM
M
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
G
.
Проекции векторов R и носят следующие названия: M
—
x
N продольное усилие,
y
Q
и
z
Q
— поперечные силы соответственно вдоль осей
y
и
z
,
—
кx
MM= крутящий момент,
y
M
и
z
M
— изгибающие моменты соответственно вокруг осей
y
и
z
В общем случае определения внутренних усилий имеем шесть
неизвестных, которые можно определить из шести уравнений
равновесия
0
0
0
() 0
() 0
() 0
xx
yy
zz
xx
yy
z
z
FN
FQ
FQ
MF M
MF M
MF M
⎡
=→
⎢
=→
⎢
⎢
=→
⎢
=→
⎢
⎢
=→
⎢
⎢
=→
⎣
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Решая систему из шести уравнений с шестью неизвестными,
определяем все внутренние усилия.
Пример
Для заданного стержня (рис. 1.4, а) найти внутренние усилия и
построить их эпюры.
N
Q
M
x
L
F
q
x
F
q
N
Q
M
q L
F
F L
б )
а )
в )
С
x
y
Рис. 1.4. Определение внутренних усилий в стержне
Отсекаем нижнюю часть стержня (рис. 1.4, б). Действие отброшенной
части заменяем внутренними усилиями. В плоской задаче из шести
внутренних усилий остается только три (продольное усилие ,
N
6
поперечная сила
Q
и изгибающий момент
M
. Для их определения
составляем три уравнения равновесия
0
0
()
0M=
x
y
c
FNqx
FQF
MF Fx
⎡
=+ =
⎢
=+=
⎢
⎢
=−
⎢
⎣
∑
∑
∑
откуда находим
N
qx
QF
M
Fx
=
−⋅
⎡
⎢
=−
⎢
⎢
=
⋅
⎣
Сумма моментов вычислена относительно центра тяжести сечения C .
Знак плюс свидетельствует о том, что направление внутреннего усилия
на схеме показано верно. Знак минус говорит о том, истинное
направление усилия противоположно выбранному.
Далее строим эпюры внутренних усилий (графики их изменения вдоль
оси стержня) (рис.1.4, в).
Обычно эпюры внутренних усилий строятся с целью выбора опасного
сечения и определения усилий в нем для последующего расчета на
прочность.
На практике чаще всего поступают иначе. Отсеченную часть тела не
рисуют. Поскольку метод называется ″метод мысленных сечений″,
отсеченную часть тела отбрасывают мысленно и рассматривают сумму
сил или моментов всех сил, расположенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения. На схеме же нужно показать положение
рассматриваемого сечения и его текущую координату. От выбора
начала координат зависит вид выражения, но не зависит результат
выражения.
ВАЖНОЕ ПРАВИЛО
Общее правило определения любого внутреннего усилия:
x
N ,
y
Q
,
z
Q
равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных
по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси ,
x
y
или
z
.
x
M ,
y
M
,
z
M равняются алгебраической сумме моментов всех сил,
расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно
относительно осей ,
x
y
или
z
, проходящих через центр тяжести выбранного
сечения.
При использовании приведенного правила необходимо принять
правило знаков для внутренних усилий, так как в данном случае вектор
на схеме не показан и его направление пока не известно.
Правило знаков для внутренних усилий будет введено позднее при
рассмотрении деформаций растяжения, изгиба, кручения.
1.5 Напряжения
Напряжением называется интенсивность действия внутренних сил в
точке тела или, проще говоря, внутреннее усилие, приходящееся на
единицу площади.
Рассечем тело произвольным сечением (рис. 1.5). Выделим малую
площадку AΔ . Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим
. Полнее среднее напряжение, на этой площадке RΔ
p
FA
=
ΔΔ
J
G JJJG
. Найдем
предел этого отношения при 0A
Δ
→ . Это и будет напряжение в точке
тела
R
plim
A
Δ
=
Δ
JJJG
G
.
7
x
y
z
AΔ
A
Δ
y
Q
Δ
RΔ
G
R
Δ
G
x
NΔ
z
Q
Δ
Рис. 1.5 . Определение напряжений в точке тела
Чтобы задать вектор полного напряжения в точке надо задать его
модуль и направление в пространстве, или задать его проекции на оси
координат. Спроектируем вектор R
Δ
на оси , x
y
,
z
, из которых ось
направлена вдоль нормали к сечению, а оси
x
y
и
z
лежат в плоскости
сечения.
x
y
z
N
RQ
Q
⎡⎤
Δ
⎢⎥
Δ=Δ
⎢⎥
⎢⎥
Δ
⎣⎦
JJJG
. Найдем проекции полного напряжения на оси , x
y
, и
z
.
0
lim
x
x
x
NdN
AdA
→
Δ
σ= =
Δ
x
— нормальное напряжение;
0
lim
yy
xy
x
Q
d
Q
AdA
→
Δ
τ= =
Δ
— касательное напряжение вдоль оси
y
;
(1.1)
0
lim
z
z
xz
x
Q
d
Q
AdA
→
Δ
τ= =
Δ
— касательное напряжение вдоль оси
z
.
В названии касательного напряжения первый индекс указывает
нормаль к площадке, второй индекс — направление касательного
напряжения.
1.6 Условия эквивалентности напряжений и
внутренних усилий
В произвольном сечении тела вблизи произвольной точки выделим
элементарную площадку
dA (рис. 1.6) и покажем напряжения,
действующие в выбранной точке.
Пусть закон изменения напряжений по сечению известен. Найдем
внутренние усилия в выбранном сечении.
Продольное усилие на площадке
dA
x
dN dA
=
σ ;
Поперечная сила вдоль оси
y
yxy
d
Q
dA=τ
;
Поперечная сила вдоль оси
z
xz xz
d
Q
dA
=
τ .
Полные продольное усилие и поперечные силы для всего поперечного
сечения есть интеграл от приведенных выражений по площади сечения
А.
xx
A
yxy
A
zxz
NdA
Q
dA
Q
dA
=σ
=τ
=τ
∫
∫
∫
(1.2)
Обратите внимание, что к такому же результату приводит
интегрирование выражений (1.1).
8
x
y
z
xy
τ
xz
τ
dA
M
y
M
x
M
x
N
z
Q
y
Q
τ
x
σ
z
Рис. 1.6. Внутренние усилия и напряжения в точке тела
Найдем выражения для изгибающих и крутящего моментов.
Элементарные моменты вокруг осей , x
y
,
z
zx
yx
xxz xy
dM dA y
dM dA z
dM dA
y
dA z
=σ ⋅
=σ ⋅
=τ ⋅ −τ ⋅
Выражение для крутящего момента становится проще, если
предварительно найти суммарное касательное напряжение
2
x
2
y
xz
τ= τ +τ . Тогда
к x
dM dM dA==τ⋅ρ.
Интегрируя элементарные моменты, получаем
к
zx
A
yx
A
x
MydA
MzdA
MM dA
=σ ⋅
=σ ⋅
==τρ⋅
∫
∫
∫
(1.3).
Выражения (1.2) и (1.3) представляют собой условия эквивалентности
напряжений и внутренних усилий. Каждое внутреннее усилие есть
суммарный результат действия напряжений по всему поперечному
сечению тела.
1.7 Деформации
Следует различать деформации и перемещения.
Перемещение — изменение положения точки в пространстве.
Деформация — изменение формы и размеров тела
В отдельных случаях их величины могут совпадать, например, при
растяжении стержня, но в общем случае — это разные вещи.
Деформации линейные и угловые
Деформации могут быть
угловые и линейные (рис. 1.7).
Линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Она
бывает абсолютная и относительная LΔ
L
L
ε
=Δ . Использование
9
относительной деформации предпочтительно, так как она не зависит от
размеров тела.
Угловая деформация характеризует изменение формы тела и чаще
всего называется углом сдвига.
+
L
LΔ
β
γ
α
β=
+
L
L
ε
Δ
=
полная
деформация
линейная
деформация
угловая
деформация
Рис. 1.7. Линейная и угловая деформация
Угол сдвига — это изменение первоначально прямого угла.
γ
=α+β.
Полная деформация — это сумма линейной и угловой деформации.
Деформации упругие и пластические
Деформации делятся на
упругие и пластические (остаточные).
Упругими называются деформации, исчезающие после снятия
вызвавших их сил. В противном случае деформации называются
пластическими или остаточными.
Типы деформаций
В зависимости от приложенных к телу нагрузок существуют несколько
типов деформации, различающихся законом распределения
напряжений по сечению тела.
1. Растяжение-сжатие — в поперечном сечении действует только одно
внутреннее усилие, не равное нулю, — продольное усилие.
2.
Сдвиг — в поперечном сечении действует только поперечная сила.
3. Кручение — в поперечном сечении действует только крутящий момент.
4. Изгиб — в поперечном сечении действуют изгибающий момент и поперечная
сила.
5.
Сложное сопротивление — одновременное действие нескольких типов простых
деформаций — растяжения-сжатия, кручения, изгиба.
Для каждого из указанных типов деформации в последующих главах
будут выведены свои формулы для расчета на прочность.
1.8. Потенциальная энергия упругой
деформации
Целью прочностных расчетов обычно является определение
перемещений, деформаций и напряжений в конструкции.
Сопротивление материалов рассматривает сравнительно простые
расчетные схемы, для которых указанные величины определяются по
простым инженерным формулам. Для сложных реальных конструкций
в общем случае расчет сводится к решению системы из 15
дифференциальных уравнений и, как правило, не имеет
аналитического решения. Приближенное численное решение такой
системы также сопряжено с большими трудностями.
Для решения сложных задач успешно применяется энергетический
подход, в основе которого лежит определение работы внешних и
внутренних сил, определение потенциальной энергии упругой
деформации. Для успешного овладения энергетическими методами
расчета в курсе сопротивления материалов для каждого вида
10