Лысенко В.И. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
КАФЕДРА ФИЗИКИ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ФИЗ.МАТ-16.03.0604.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.0605.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.0606.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.0608.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.0611.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.3510.ЗЧН.ПЛН
ФИЗ.МАТ-16.03.3513.ЗЧН.ПЛН
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания
для контрольных работ студентам
экономических специальностей
заочной формы обучения
Часть 1
Москва 2000
1
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
1. Предисловие……………………………………………………
2. Рабочая программа курса «Математика» для студентов
экономических специальностей
высших учебных заведений………………………………...……
3. Учебная литература ………………………………………..….
4. Методические указания к решению задач ……………….…..
5. Задачи для контрольных работ …………………………….…
5.1. Раздел I. Линейная алгебра.
Аналитическая геометрия ……………………………….
5.2. Раздел II. Дифференциальное и
интегральное исчисление.
Дифференциальные уравнения. Ряды …………………..
6. Таблица распределения задач по вариантам
и контрольным работам …………………………………….…
7. Правила выполнения и оформления контрольных работ …..
2
1.ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика – это наука о пространственных формах и количественных
отношениях в самом общем виде, - прошла большой путь развития
одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью
культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества.
Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает
потребности многих других наук – естественных, технических, экономических,
гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования
математики расширяется. В наше время трудно представить себе хорошего
специалиста в области экономики, не знающего основных математических
методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные
планы всех экономических специальностей и ее изучению отводится немало
времени.
Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и
учебные пособия, справочная литература, таблицы, инженерный
микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все
очные занятия в период сессий и стремиться самостоятельно, выполнять
контрольные работы, пользуясь руководствами к решению задач,
методическими указаниями и конспектами практических занятий.
Предлагаемые «Методические указания» должны помочь студенту-
заочнику рационально организовать свой труд по изучению математики и
выполнению контрольных работ. Они выйдут в двух частях. Часть 1
предназначена для выполнения контрольной работы № 1, часть 2 – для
контрольной работы № 2.
Обратите пристальное внимание, на таблицу распределения задач по
вариантам и в соответствии с ней выполняйте работы.
Желаем Вам успеха.
Авторы
3
2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ
СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
І. Элементы линейной алгебры.
1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами, свойства
матриц. Обратная матрица. Определители, их свойства.
Вычисление определителей.
2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера.
Ранг матрицы, теорема Кронекера - Капелли. Квадратичные
формы.
3. Понятие о задаче линейного программирования и симплекс –
методе.
ІІ. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия
плоскости.
1. Системы координат на плоскости. Векторы. Линейные операции
над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис,
координаты вектора в данном базисе. Скалярное произведение
векторов. Уравнения прямых на плоскости. Кривые второго
порядка.
ІІІ. Математический анализ.
1. Функции, пределы, бесконечно малые и бесконечно большие.
2. Производная и дифференциал. Приложение к исследованию
функций. Правило Лопиталя.
3. Функции нескольких переменных. Частные производные, полный
дифференциал. Экстремумы функции нескольких переменных.
4. Неопределенный интеграл. Интегрирование методом подстановки,
интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических
функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
Несобственный с бесконечными пределами.
ІV. Ряды.
1. Числовые ряды. Необходимый и достаточные признаки
сходимости. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная
сходимость. Признак Лейбница.
2. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Понятие о
тригонометрических рядах.
4
V. Дифференциальные уравнения.
1. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
2. Однородные и линейные уравнения первого порядка.
VI. Элементы комбинаторного анализа.
1. Перестановки, размещение и сочетания.
2. Методы подсчета числа объектов и конфигураций.
VII. Теория вероятностей.
1. Классическое определение вероятности.
2. Алгебра событий.
3. Формула полной вероятности и Байеса.
4. Повторение испытаний. Схема Бернулли, теоремы Муавра-Лапласа
и Пуассона.
5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Законы
распределения: равномерное, нормальное. Числовые
характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение.
6. Центральная предельная теорема.
VIII. Математическая статистика.
1. Выборочный метод. Репрезентативность выборки. Эмпирическая
функция распределения. Полигон и гистограмма.
2. Выборочное среднее и дисперсия.
3. Интервальные оценки. Правило трех сигм.
4. Проверка статистических гипотез. Сравнение математических
ожиданий двух распределений. Однофакторный дисперсионный
анализ.
5. Проверка репрезентативности выборки. Критерий согласия Х
2
(«хи-квадрат»).
6. Элементы теории корреляции. Коэффициент линейной
корреляции. Криволинейная множественная корреляция.
7. Дискретная математика. Элементы теории графов (транспортная
задача). Элементы комбинаторного анализа и блок–схемы (план
эксперимента).
5
3. УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) Основная.
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. – М., Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. ФПК. – М., Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М., Наука, 1988.
4. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
изд. 2-ое. – М., Банки и биржи, 1998.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.- М.,
1985.
6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М., Наука,
1982.
7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
Ч.1, - М., Финансы и статистика, 1998.
б) Дополнительная
1. Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебник. – М., Просвещение, 1992.
2. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., Наука, 1987.
3. Бутузов В.Ф. др. Математический анализ в вопросах и задачах. – М.,
Высшая школа, 1993.
4. Краснов М.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Высшая
школа, 1983.
5. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. - М., Высшая школа,
1991 (уч. пособие).
6. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.,
Наука, 1984.
7. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений, 2-ое изд., - М., Наука
1994.
8. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М., Наука,1993.
в) Устанавливаемая кафедрой ( приводится литература, имеющаяся в
библиотеке МГТА)
1. Карасев А.И., Аксютина З.И., Савельева Т.И. Курс высшей математики для
экономических вузов. - М., Высшая школа (ВШ) 1982, ч.1; 1983, ч.2.
6
2. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей
и математической статистики. - М., ВШ, 1972.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.,
ВШ, 1975, 1985.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. т.
1-3, - М., Наука, 1985.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М., Наука,1972.
6. Кузнецов Ю.Н., Кутузов В.И., Волошенко А.В. Математическое
программирование. - М., ВШ, 1980.
7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 и 2, - М.,
ВШ, 1986.
8. Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по высшей математике ( с решениями).
Изд. 3-е. - М., Наука 1973.
9. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.
- М., ВШ, 1962, 1964 и др. г.
10.Бараненков Г.С. Задачи и упражнения по математическому анализу для
вузов. - М., 1971, 1974.
11.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей
математике, теории вероятностей и математической статистике. - М., ВШ,
1969.
12.Лысенко В.И. Высшая математика. Лекции для студентов высших учебных
заведений, обучающихся заочно по экономических специальностям. - М.,
МГТА, 1999.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Для того, чтобы облегчить студенту-заочнику самостоятельное
выполнение контрольных работ, приведем примеры решений задач,
аналогичных тем, какие предлагаются в контрольных работах. Подобные
задачи включаются и в экзаменационные билеты.
Задача из раздела I заданий (см. оглавление, п. 5.1.)
Задача 1. Дана система линейных уравнений
1564
4243
15322
321
321
321
xxx
xxx
xxx
7
Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение
тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в)
методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.
Решение.
Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет
единственное решение, так как определитель системы, составленный из
коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель
системы методом разложения его по элементом строки. Разложим по первой
строке:
0180
)1618(3)815(2)1220(2
64
43
3
54
23
2
56
24
2
564
243
322
D
Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и
имеет единственное решение.
а) Найдем решение системы по формулам Крамера
D
D
x
1
1
,
D
D
x
2
2
,
D
D
x
3
,
где D
1
D
2
D
3
- определители, которые получаются из определителя D системы
путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов
при неизвестных x
1
x
2
x
3
столбцом свободных членов уравнений, стоящих в
правой части данной системы. Получим следующие три определителя:
360)424(3)220(2)1220(15
61
44
3
51
24
2
56
24
15
561
244
3215
1
D
180)163(3)815(15)1220(2
14
43
3
54
23
15
51
24
2
514
243
3152
2
D
540)1618(15)163(2)244(2
64
43
15
14
43
2
16
44
2
164
443
1522
3
D
Вычислить неизвестные
2
180
360
1
х
,
1
180
180
2
х
,
3
180
540
3
х
.
8
Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения
системы. Получим
11568)3(51624
4646)3(21423
15924)3(31222
Решение верное.
б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем
расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к
треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется
меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то
есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут
нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано
на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих
эквивалентным преобразованиям система:
1. Перестановка строк матрицы;
2. Перестановка столбцов;
3. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;
4. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой
другой строки;
5. Вычеркивание получившихся нулевых строк.
Вот решение одной системы методом последовательных исключений
неизвестных:
Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг
7/2707/9000
14/5314/1310
2/152/311
~
311120
14/5314/1310
2/152/311
~
~
311120
2/532/1370
2/152/311
~
1564
4243
2/152/311
~
1564
4243
15322
Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из
последней строки матрицы следует уравнение
7
270
7
90
3
х
, откуда х
3
= -3
Подставляя х
3
= -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной
матрицы) получим
14
53
14
)3(13
2
х
или
1
14
14
14
3953
2
х
. Наконец, из первого
уравнения системы (первая строка матрицы) найдем
2
2
4
2
33
1
2
15
1
х
Решение
3;1;2
такое же , как в случае (а). Оно уже проверено.
Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод
полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица
9
системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали
которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули.
Таким образом сразу получается решение.
В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный
порядок действий)
1. Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно
это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно
целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую
строку, в которой первый элемент не равен нулю.
2. Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий
элемент.
3. Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках
матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.
4. Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих
шагах исключения, переписываем без изменения.
5. Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу
«прямоугольника»:
И
P
DDPП
21
Р D
2
D
1
П
Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D
1
и D
2
–
“диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть
вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными
строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте
пересчитываемого.
Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним
эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного
исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты
коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.
Данная расширенная матрица 1-й шаг 2-й шаг
~
7/2707/9000
14/5314/1310
7/267/401
~
311120
2/532/1370
2/152/311
~
1564
4243
15322
3 - й шаг 4 – й шаг
10