Лукоянычев В.Г. Электротехника и электроника
Подождите немного. Документ загружается.
51
На рис.4.2 показаны кривые
принужденного, свободного и переходного
токов; на том же рисунке изображена кривая
напряжения на индуктивности
.
τ
t
L
Ee
dt
di
Lu
−
==
Из курса математического анализа известно,
что если
y=f(t), то подкасательная равна
.
y
y
′
В данном случае при любом значении t
τ
=
′
=
′
св
св
L
L
i
i
u
u
.
Рис.4.2
Величина
r
L
=
τ
носит название постоянной времени. Она измеряется в
секундах. Таким образом, графически постоянная времени определяется длиной
подкасательной к кривой
св
i
или
L
u
при любом значении
t
.
Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени и
соответственно чем быстрее убывает э.д.с. самоиндукции. Для различных моментов
времени ток в цепи, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения
составляет:
t τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ
∞
%100
I
i
63,2 86,5 95,0 98,2 99,3 100
Следовательно, постоянная времени цепи
r, L
равна промежутку времени, в
течение которого свободная составляющая тока убывает в
e=2,718
раза и соответственно
ток в этой цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63,2% своего
установившегося значения. Практически можно считать, что переходной процесс
заканчивается спустя
t=(4-5)τ.
4.3.2 Короткое замыкание цепи r, L
Положим, что цепь
r, L
, присоединенная к источнику постоянного или
переменного напряжения, замыкается при
t=0
накоротко (рис.4.3а). В образовавшемся при
этом контуре
r ,L
благодаря наличию магнитного поля ток исчезнет не мгновенно: э.д.с.
самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремится поддержать ток в
конуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. По мере того как энергия
магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении r в тепло, ток в
контуре приближается к нулю. Процесс, происходящий в
короткозамкнутом контуре
r, L
,
является свободным; принужденный ток равен нулю. Тогда в уравнении (**)
0
=
пр
i , и
ток равен
.
t
L
r
Aei
−
=
Постоянная интегрирования находится из
начальных условий
),0()0(
−
= ii
откуда
τ
t
t
L
r
eieiti
−
−
== )0()0()( ; здесь
)0(
−
i — значение тока в индуктивности в момент,
непосредственно предшествующий короткому
замыканию; оно может быть положительным или
отрицательным.
На рис.4.3б изображены кривые спада тока в
короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на
Рис.4.3а
Рис.4.3б
i
I
I
−
0
E
τ
пр
i
)1(
τ
t
eIi
−
−=
τ
t
св
Iei
−
=
τ
t
L
Eeu
−
=
(
)
te
0=t
(
)
ti
L
0
r
r
τ
t
св
eiii
−
== )0(
τ
t
L
eriU
−
−= )0(
L
Ui,
)0(i
)0(ri
−
0
τ
52
индуктивности
τ
t
L
eri
dt
di
Lu
−
−== )0( в предположении, что i(0)>0.
4.3.3 Включение в цепи r, L синусоидальной э.д.с.
При включении в цепь r, L синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+
=
tEe
m
принужденный
ток будет:
),sin(
ϕ
ψ
ω
−+= tIi
mпр
где
()
.,
2
2
r
L
arctg
Lr
E
I
m
m
ω
ϕ
ω
=
+
=
На основании уравнения (**)
,Ae)tsin(Ii
t
m
τ
ϕψω
−
+−−= где
r
L
=
τ
.
Постоянная интегрирования определяется по начальному условию .0)0()0(
=
=
−
ii
Следовательно ,)sin(0 AI
m
+
−
=
ϕ
ψ
откуда ).sin(
ϕ
ψ
−−=
m
IA
Поэтому искомый ток будет:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+=
−
τ
ϕψϕψω
t
m
etIi )sin()sin(
.
На рис 4.4а изображены кривые .,, iii
свпр
Начальные ординаты
)0(),0(
свпр
ii
одинаковы по
абсолютной величине и противоположны по
знаку, поэтому ток в начальный момент равен
нулю. Свободный ток убывает по показатель-
ному закону. Постоянная времени τ прямо про-
порциональна добротности контура Q и обратно
пропорциональна частоте ω.
Если в момент коммутации (t=0) ток
св
i
проходит через нуль, то свободный ток не возни-
кает и в цепи сразу наступает принужденный, ус-
тановившийся режим без переходного процесса.
Если же коммутация происходит при
,
2
π
ϕψ
±= то начальный свободный ток мак-
симален (рис.4.4б), а именно
mсв
Ii
m
=
)0(, и ток
переходного режима достигает экстремального
значения (положительного или отрицательного) в
конце первого полупериода. Однако даже в пре-
дельном случае, когда r=0, ток не может превы-
шать амплитуды установившегося режима более
чем вдвое.
Рис.4.4а
Рис.4.4б
4.4 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, C
Положим, что в момент t=0 цепь, состоящая из сопротивления r и емкости C,
включенных последовательно, присоединяется к источнику э.д.с. e(t) (рис.4.5).
На основании второго закона Кирхгофа
уравнение для времени t ≥ 0 имеет вид:
,
C
urie += где
C
u — напряжение на емкости.
С учетом того, что
,
dt
du
Ci
C
= получим
;
C
C
u
dt
du
uCe +=
Рис.4.5
)0(
св
i
)0(
пр
i
с
в
i
п
р
i
i
t
i
0
mсв
Ii
=
)0(
mпр
Ii
=
)0(
св
i
пр
i
i
t
i
0
C
(
)
te
0=t
r
()
ti
U
−
+
53
Здесь искомой величиной является напряжение на емкости.
Характеристическое уравнение
1+rCp=0 и соответственно корень уравнения
rC
p
1
1
−= . Следовательно, свободная составляющая напряжения на емкости
,
τ
t
rC
t
C
AeAeu
св
−−
== где
rC
=
τ
— постоянная времени контура r, C.
Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного
напряжения:
.
τ
t
CC
Aeuu
пр
−
+= (*)
Ток в контуре равен:
τ
t
C
C
e
r
A
dt
du
C
dt
du
Ci
пр
−
−== . (**)
Рассмотрим три случая:
1.
Включение в цепь r, C постоянной э.д.с. E;
2.
Короткое замыкание цепи r, C;
3.
Включение в цепь r, C синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+tE
m
.
4.4.1 Включение в цепь r, C постоянной э.д.с.
Включим постоянную э.д.с. E в цепь с сопротивлением r и предварительно
заряженной емкостью
C (полярности заряженной емкости показаны на рис.4.5) начальное
напряжение на емкости )0(
C
u обозначим для упрощения через U.
Принужденное напряжение на емкости равно э.д.с. источника. Поэтому согласно
уравнению (*)
.
τ
t
C
AeEu
−
+=
Постоянная интегрирования
A, входящая в
уравнение, находится по начальному условию:
при
t=0 имеем U=E+A, откуда A=U-E.
Следовательно,
.)(
τ
t
C
eUEEu
−
−+=
Согласно уравнению (**) ток в контуре
равен:
.
τ
t
e
r
UE
i
−
−
=
Если E>U, то с течением времени
напряжение на емкости возрастает, стремясь к
установившемуся значению
E, а ток убывает,
стремясь в пределе к нулю (рис.4.6а). Чем больше
постоянная времени, тем медленнее происходит
нарастание
C
u и спад i.
Если
E<U, то кривые
C
u и i имеют вид,
показанный на рис.4.6б. Постоянная времени
τ=rC
может быть найдена, так же как раньше,
графически как подкасательная к кривой
i в любой
точке. Закон изменения напряжения на емкости и
тока в данной цепи аналогичен закону изменения
тока и напряжения в контуре
r, L, рассмотренному
ранее. Поэтому все сказанное о постоянной
времени в предыдущем случае сохраняет силу и
для данного примера.
Рис.4.6а
Рис.4.6б
τ
0
U
r
U
E
−
E
iU
C
,
i
C
U
t
r
EU
−
−
C
U
i
iU
C
,
U
E
0
t
54
4.4.2 Короткое замыкание цепи r, C
Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных r и C,
равносильно принятию в предыдущем случае э.д.с., равной нулю. Предполагается, что
емкость
C заряжена, то есть в момент включения на ее зажимах имеется напряжение U.
Положив в уравнениях раздела 4.4.1 э.д.с.
E равное нулю, получим:
;
τ
t
C
Ueu
−
=
r
u
IIei
t
=−=
−
где ,
τ
.
При коротком замыкании цепи r, C электрический
ток идет от зажима + к зажиму -. Следовательно, при
выборе на рис.4.5 полярности емкости ток проходит
через сопротивление
r в направлении, противоположном
тому, которое принято на рис.4.5 за положительное.
Поэтому в выражении для тока стоит знак минус. На
рис.4.7 изображены кривые спада
C
u и i. В отличие от
напряжения на емкости, которое изменяется непрерывно,
ток в контуре
r, C, пропорциональный скорости
изменения
C
u , совершает при t=0 скачок.
Рис.4.7
Так же как и в случае цепи
r, L. Переходной процесс может считаться законченным
спустя
t=(4-5)τ, так как к этому времени емкость разрядится на 98,2-99,3% и напряжение
на емкости снизится до 1,8-0,7% первоначального.
4.4.3 Включение в цепи r, C синусоидальной э.д.с.
При включении в цепи r, C синусоидальной э.д.с. )sin(
ψ
ω
+tE
m
принужденное
напряжение на емкости
),
2
sin(
π
ϕψω
ω
−−+= t
C
I
u
m
C
пр
где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
Cr
arctg
C
r
E
I
m
m
ω
ϕ
ω
1
;
1
2
2
;
на основании уравнения (*)
()
.cos
τ
ϕϕω
ω
t
m
C
Aet
C
I
u
−
+−+−=
Если предполагать, что конденсатор не был заряжен, то постоянная
интегрирования определится по начальному условию
(
)
:00
=
C
u
),cos(0
ϕψ
ω
−−=
C
I
m
откуда ).cos(
ϕψ
ω
−=
C
I
A
m
Тогда искомое напряжение на емкости будет:
,)cos()cos(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+−=
−
τ
ϕψϕψω
ω
t
m
C
et
C
I
u
а ток в цепи
.)cos(
1
)sin(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−+==
−
τ
ϕψ
ω
ϕψω
t
m
C
e
rC
tI
dt
du
Ci
Из написанных выражений видно, что если включение цепи r, C происходит в
момент, когда принужденный ток должен достигать максимума – положительного или
отрицательного (то есть
),
2
π
ϕψ
±=−
а принужденное напряжение на емкости должно
τ
t
C
Ueu
−
=
τ
t
Iei
−
−=
C
Ui,
U
I
−
0
τ
t
55
быть равно нулю, то свободной слагающей напряжения на емкости не возникает и в цепи
сразу без переходного процесса наступает принужденный установившийся режим.
4.5 ПЕРЕХОДНОЙ ПРОЦЕСС В ЦЕПИ r, L,C
При включении в цепь r, L, C э.д.с. e(t) (рис.4.8) переходной процесс исследуется с
помощью дифференциального уравнения вида:
.
2
2
dt
de
C
i
dt
di
r
dt
id
L =++
Соответствующее ему характеристическое
уравнение
0
1
2
=++
C
rpLp
имеет корни
Рис.4.8
частота. ярезонансна
1
;
2
где ,
1
22
0
2
0
2
2
2,1
−==−±−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±−=
LC
L
r
LCL
r
L
r
p
ωδωδδ
Свободный ток равен:
.
21
21
tptp
св
eAeAi +=
Ток в цепи определяется суммой принужденного и свободного токов:
.
21
21
tptp
пр
eAeAii ++= (*)
Принужденный ток находится в соответствии с заданной э.д.с. t(t). Характер
свободного тока зависит от знака подкоренного выражения.
4.5.1 Включение в цепь r, L, C постоянной э.д.с.
Рассмотрим случай, когда э.д.с. источника постоянна, например, e=E, и емкость
имеет начальное напряжение .)0( Uu
C
=
Ввиду наличия индуктивности начальное значение тока i(0)=0.
Исходное уравнение
C
u
dt
di
LriE ++=
для начального момента записывается в
виде:
),0()0(
C
u
dt
di
LriE ++=
откуда находится начальное значение
производной
)0(
dt
di
, которое является зависимым начальным условием, необходимым для
вычисления
21
, AA :
.)0(
L
UE
dt
di
−
=
(**)
При установившемся режиме ток будет равен нулю. Продифференцируем
уравнение (*) с учетом того, что 0
=
пр
i получим:
.
21
2211
tptp
epAepA
dt
di
+=
Подставляя в (*) и последнее уравнение t=0 и используя (**), получим:
.;0
221121
pApA
L
UE
AA +=
−
+=
Из этих уравнений следует:
()
.
2
2
0
2
21
21
ωδ
−
−
=
−
−
=−=
L
UE
ppL
UE
AA
Поэтому
(
)
.
2
21
2
0
2
tptp
ee
L
UE
i −
−
−
=
ωδ
Рассмотрим возможные три случая.
Случай 1.
0
ω
δ
>
,
то есть 2
C
L
r >
( апериодический процесс).
−+
C
(
)
te
0
=
t
r
()
ti
U
L
56
Корни
21
, pp
характеристического уравнения
(раздел 4.5) – отрицательные действительные числа.
Если индекс 1 соответствует верхнему знаку перед
корнем, то
21
pp < , и поэтому кривая
tp
e
1
спадает
медленнее, чем
tp
e
2
(рис.4.9).
При больших значениях C влияние емкости мало и
кривая тока приближается к кривой тока в цепи r, L
(смотри рис.4.2); при малых значениях L влияние
индуктивности значительно и кривая тока близка к
кривой тока в цепи r, C (рис.4.6). Следует заметить,
что при коротком замыкании цепи r, L, C, то есть при
E=0,
ток в цепи обуславливается разрядом емкости.
Рис.4.9
Случай 2.
0
ω
δ
=
,
то есть 2
C
L
r =
( критический случай).
Корни
21
, pp характеристического уравнения (раздел 4.5) одинаковы:
δ
−=−==
L
r
pp
2
21
. Если воспользоваться общим решением однородного
дифференциального уравнения с кратными корнями:
()
t
св
etBBi
δ
−
+=
21
, то в
рассматриваемом случае 0
1
=
=
Bi
св
и
tt
etBeB
dt
di
δδ
δ
−−
−=
22
. Следовательно,
()
L
UE
B
dt
di
−
==
2
0
. Кривая тока аналогична кривой на рис.4.9.
Случай 3.
0
ω
δ
<
,
то есть 2
C
L
r <
( колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:
св
jp
ω
δ
±−=
2,1
, где
22
0
δωω
−=
св
.Величина
св
ω
называется угловой частотой
свободных или собственных колебаний в цепи r, L, C, а
св
св
T
ω
π
2
=
- периодом этих
колебаний. Если исходить из общего решения однородного дифференциального
уравнения с комплексно-сопряженными корнями:
()
t
свсвсв
etNtMi
δ
ωω
−
+=
sincos
, то
te
Lj
UE
i
св
t
св
ω
ω
δ
sin
−
−
=
. Полученное выражение показывает, что при включении цепи r,
L, C на постоянное напряжение, когда
св
ω
δ
<
, в цепи возникают затухающие
синусоидальные колебания, причем огибающими кривой тока служат кривые
t
св
e
L
UE
i
δ
ω
−
−
±=
(рис.4.10).
Колебания возникают вследствие
периодического преобразования
энергии электрического поля в энергию
магнитного поля и обратно, причем эти
колебания сопровождаются потерей
энергии в сопротивлении. На рис.4.10
показана также кривая напряжения
C
u на емкости, которая в другом
масштабе выражает также зависимость
электрического заряда q от времени.
Функции
C
u и i имеют одинаковый
множитель затухания.
Рис.4.10
C
ui,
E
C
q
u
C
=
tp
св
eAi
1
11
=
tp
св
eAi
2
22
=
i
0
t
1
A
12
AA
−
=
t
св
e
L
UE
δ
ω
−
−
t
св
e
L
UE
δ
ω
−
−
−
св
T
0
E
U
св
ii
=
C
q
U
C
=
C
Ui,
t
57
При нулевых начальных условиях (U=0) кривая
C
u начинается с нуля. Чем
меньше δ по сравнению с
0
ω
, тем медленнее затухает колебательный процесс и тем
больше частота собственных колебаний цепи r, L, C приближается к резонансной. В
пределе, при δ=0
0
ω
ω
=
св
, колебания не затухают и корни характеристического
уравнения располагаются на мнимой оси. На рис 4.11 в виде примера последовательно
показано изменение характера переходного процесса с уменьшением величины δ.
Рис.4.11
4.5.2 Включение в цепь r, L, C синусоидальной э.д.с.
Если цепь r, L, C присоединяется к источнику синусоидальной э.д.с.
()
ψ
ω
+tE
m
sin , то принужденный ток равен
(
)
ϕ
ψ
ω
−
+
=
tii
mпр
sin и переходной ток
согласно уравнению (*) раздела 4.5 равен:
()
tptp
m
eAeAtIi
21
21
sin
++−+=
ϕψω
.
Частота принужденного тока равна частоте источника синусоидального
напряжения, свободный же ток при
0
ω
δ
<
изменяется с собственной частотой цепи
св
ω
.
Частота
св
ω
может быть в зависимости от параметров r, L, C меньше, больше или равна
частоте
ω
. Свободное колебание тока накладывается на принужденный ток и затухает
пропорционально множителю
t
e
δ
−
. По мере затухания свободного тока кривая
переходного тока приближается к кривой принужденного тока. Та из двух слагающих
тока i, частота которой меньше, служит как бы криволинейной осью для другой
слагающей относительно нее.
4.6 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
4.6.1 Первичные параметры однородной линии
До сих пор рассматривались электрические цепи с сосредоточенными
параметрами, то есть предполагалось, что электрическая цепь представляет собой
совокупность некоторых самостоятельно существующих элементов r, L, C,
сосредоточенных в различных точках ее. Напряжение и ток в этих элементах связываются
соотношениями:
,;;
dt
du
Ci
dt
di
Luriu
C
Lr
===
основанными на предположении, что
ток, входящий в каждый из этих элементов цепи, равен току, выходящему из него.
Решение этих уравнений дает закон изменения исследуемой электрической величины от
времени, но не от координаты длины, которая в эти уравнения не входит.
Однако представление электротехнических устройств в виде цепей с
сосредоточенными параметрами
не всегда возможно. Например, рассматривая
электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи
которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо
иметь в виду, что магнитное и электрическое поля распределены по всей длине линии и
превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине линии.
Таким образом, линия
является цепью с распределенными параметрами.
Если мысленно выделить какой-либо участок этой линии, то токи на концах этого
участка окажутся неодинаковыми вследствие наличия токов смещения, обусловленных
емкостью между токоведущими проводниками, и токов утечки через изоляцию. Только
0
ω
δ
=
t
i
0
св
T
t
i
0
ω
δ
<
0
t
i
0
ω
δ
>
00
i
t
0
ω
δ
<<
св
T
58
при бесконечном уменьшении участков линии токи на концах их можно считать равными
друг другу.
Следовательно, приведенные выше уравнения непосредственно не применимы ко
всей линии в целом или конечным участкам ее; строго говоря, они могут быть применены
только к участкам бесконечно малой длины.
Величина магнитного потока, который сцепляется с контуром тока,
образуемым
токоведущими проводниками, определяет индуктивность цепи. Емкость между
проводами, а также емкости этих проводов по отношению к земле (или соответственно к
корпусу прибора, машины и т.д.) и другим соседним проводам определяют емкость цепи.
Тепловые потери в проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости
обуславливают продольное активное сопротивление цепи. Наконец
, несовершенство
изоляции (проводимость изоляции и диэлектрические потери, возникающие в ней)
определяет поперечную активную проводимость цепи.
В качестве цепи с распределенными параметрами рассмотрим однородную
двухпроводную линию, то есть это такая линия, индуктивность, емкость, активное
сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей длины
линии. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины
линии, называются
первичными параметрами линии; они обозначаются через L, C, r и g. Однородная
двухпроводная линия является распространенным типом линии; она используется в
электропроводной связи и радиотехнике и выполняется в виде параллельных проводников
или коаксиального кабеля. Первичные параметры линии зависят от ее конструкции и
частоты. Активная проводимость g между параллельными проводами, зависит от
метеорологических условий, состояния изоляторов и других факторов, определяемых
экспериментально. Практически во многих случаях можно считать, что
0≈g
. На высоких
частотах ввиду значительного преобладания индуктивного сопротивления токоведущего
проводника над его активным сопротивлением последним можно во многих случаях
пренебречь.
Следует заметить, что на низких частотах при малой длине линии, когда емкостная
и активная проводимости незначительны, токи в начале и конце линии практически
одинаковы; в этом случае линия с достаточной
точностью может рассматриваться как
цепь с сосредоточенными параметрами. Разграничение понятий «короткая» и «длинная»
линии связано с частотой, на которой работает рассматриваемая линия.
4.6.2 Дифференциальные уравнения однородной линии
Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных:
пространственной координаты x, определяющей место наблюдения, и времени t,
определяющего момент наблюдения. Предполагаем, что направление координатной оси x
совпадает с направлением оси линии.
Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис.4.12) и
условимся называть «началом» линии левый конец, а «
концом» линии – правый конец.
Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим через x.
Выделим элементарный участок линии
длиной
x∆
, находящийся на расстоянии x от
начала. Пользуясь первичными параметрами
r, g,
L, C,
отнесенными к единице длины линии,
приближенно представим рассматриваемый
элементарный участок линии в виде
последовательно включенных сопротивления
xr
∆
и индуктивности
xL∆
и параллельно включенных
активной проводимости
xg∆
и емкости
xC
∆
.
Рис.4.12
Обозначим:
u
— напряжение между верхним и нижним проводами в точке
x
;
u∆
— приращение напряжения на участке
x
∆
;
i
— ток в точке
x
;
i∆
— приращение тока
xr
∆
i
ii ∆+
xg∆
xC∆
uu ∆+
u
xL∆
x
∆
x
59
на участке
x∆
.Уравнения для приращений напряжения и тока на элементе длины
x
∆
запишутся следующим образом:
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∆+∂
+∆+=∆−
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=∆−
.
;
x
t
uu
Cuugi
x
t
i
Lriu
Ввиду наличия двух независимых переменных
(x и t)
уравнения записываются в
частных производных.
По мере стремления
x∆
к нулю степень точности этих уравнений повышается,
причем величина второго порядка малости
(
)
x
t
u
Cug ∆
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∆∂
+∆
в правой части нижнего
уравнения может быть опущена.
Итак, линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом
звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.
Разделив обе части уравнений на
x
∆
и перейдя к пределу
x∆
=0
, получаем
дифференциальные уравнения линии:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
+=
∂
∂
−
∂
∂
+=
∂
∂
−
.
;
t
u
Cgu
x
i
t
i
Lri
x
u
Эти уравнения известны под названием телеграфных уравнений.
Уравнения могут быть решены однозначно при использовании начальных и
граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале
линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями
между напряжением и током в начале линии, зависящими от заданного режима работы
линии.
4.6.3 Переходные процессы в однородных цепях
Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при
коммутациях, передаче непериодических сигналов или под влиянием внешнего
электромагнитного поля. Для исследования переходных процессов в однородных цепях с
распределенными параметрами пользуются дифференциальными уравнениями в частных
производных, выведенными ранее (раздел 4.6.2). В общем виде решение этих
дифференциальных уравнений достаточно сложно. Решение упрощается, если пренебречь
потерями, то есть считать, что
r
и
g
равны нулю. В этом случае
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
.
;
t
u
C
x
i
t
i
L
x
u
Дифференцируя первое уравнение по
x:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
x
i
t
L
t
i
x
L
x
u
2
2
и используя второе уравнение, получим: .
2
2
2
2
t
u
LC
x
u
∂
∂
=
∂
∂
Последнее дифференциальное уравнение известно в математической физике под назва-
нием уравнения колебаний струны. Его решение дано Даламбером и имеет вид:
()
(
)
.
1
где ,
21
LC
vvtxfvtxfu
=++−=
Первая слагающая представляет собой одиночную прямую волну напряжения,
которая без изменения перемещается в сторону возрастающих
x
, то есть от начала к концу
цепи. Для всех значений
x
, при которых
x-vt=const
, эта слагающая имеет одно и то же
значение, то есть волна движется со скоростью
.
dt
dx
v
=
Вторая слагающая представляет собой одиночную обратную волну
напряжения, которая без изменения перемещается в противоположном направлении.
60
Для нахождения тока произведем замену переменных, обозначив
,
vtx
−
=
ξ
и
.vt
x
+=
η
На основании «телеграфных уравнений» при нулевых
r и g имеем:
()
.
2121
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−=+
∂
∂
−=
∂
∂
ηξ
η
η
ξ
ξ
ff
Cv
t
f
t
f
Cff
t
C
x
i
Но
и
111
ξ
ξ
ξ
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ f
x
f
x
f
.
222
η
η
η
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ f
x
f
x
f
Следовательно,
.
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
x
f
x
f
Cv
t
i
Интегрирование этого уравнения дает:
()()
[]
.
21
vtxfvtxf
L
C
i +−−=
Выражения для u и i записываются сокращенно в виде:
()
опопоп
в
оп
iiiiuu
z
iuuu , где,
1
; −=−=+= — прямая и обратная волны тока;
C
L
z
в
= — волновое сопротивление.
Следовательно, напряжение и ток прямой и соответственно обратной волн связаны
законом Ома:
.
в
о
о
п
п
z
i
u
i
u
==
Итак, при отсутствии потерь в однородной цепи с распределенными параметрами
напряжение и ток могут быть представлены как сумма и разность двух волн, движущихся
с одинаковой скоростью в противоположных направлениях, без изменения формы. При
этом в любой точке однородной цепи отношение напряжения и тока для прямой и
обратной волн равно
волновому сопротивлению.
Если на пути распространения волны встречается неоднородность или волна
достигает конца линии (разомкнутого или замкнутого через сопротивление), происходит
отражение волны. В зависимости от характера неоднородности отражение может быть
частичным или полным. В первом случае наряду с отраженной волной возникает
преломленная волна, распространяющаяся за место нарушения однородности; во втором
случае
преломленная волна отсутствует.
Обозначим
1
u
и
1
i
- напряжение и ток в месте отражения;
п
u
1
и
п
i
1
- напряжение и
ток падающей (прямой) отраженной волны;
о
u
1
и
о
i
1
- напряжение и ток отраженной
(обратной) волны;
2
u
и
2
i
- напряжение и ток преломленной (прямой) волны;
1
z
и
2
z
-
волновое сопротивления для прямой и обратной волн (
1
z ) и преломленной волны (
2
z ).
В месте неоднородности выполняется условие равенства напряжений и токов:
1
u =
2
u ,
1
i =
2
i .
Следовательно,
п
u
1
+
о
u
1
=
2
u
;
п
i
1
-
о
i
1
=
2
i
.
Подстановка в последнее уравнение значений
п
i
1
=
п
u
1
/
1
z
,
о
i
1
=
о
u
1
/
1
z
и
1
z
=
2
u
/
2
z
дает:
.
2
2
1
11
z
u
z
uu
оп
=
−
В результате совместного решения уравнений для напряжений находятся отраженная
(
о
u
1
) и преломленная (
2
u ) волны:
12
12
12
11
где;
)1(
zz
zz
n
unu
nuu
n
пo
+
−
=
⎩
⎨
⎧
+=
=
— коэффициент отражения.
Соответственно ток отраженной волны
,
1
1
1
1
1
z
u
n
z
u
i
no
o
==
а ток преломленной волны
.
2)1(
21
1
2
1
2
2
2
zz
u
z
un
z
u
i
nn
+
=
+
==