Літнарович Р.М. Основи вищої геодезії
Подождите немного. Документ загружается.
11
Сфероїдальна геодезія
Розділ 1.
Лекція 2. Основні формули та співвідношення на поверхні земного
еліпсоїда
2.1. Параметри земного еліпсоїда, зв'язки між ними.
Поверхня еліпсоїда утворюється від обертання еліпса навколо його малої
(полярної) осі.
Еліпс визначається розмірами його великої а і малої b півосей. За
розмірами півосей можна знайти положення фокусів F
1
i F
2
.
22
2
1
baOFOF (2.1)
Першим ексцентриситетом еліпса е буде величина:
a
c
a
ba
a
OF
a
OF
e
22
21
, (2.2)
тобто, ексцентриситет є відношення фокусної відстані до великої півосі;
другий ексцентриситет е
b
ba
e
22
, (2.3)
стиснення
a
b
a
, (2.4)
12
Всі лінійні і відносні величини еліпса називаються елементами еліпса.
Вони також відносятьсь і до еліпсоїда обертання. Параметри є а – велика
(екваторіальна) піввісь еліпсоїда або а і
. Вони визначають еліпсоїд
обертання. Величини е
2
і е’
2
є похідними.
Між даними величинами існують залежності.
1. Співвідношення між е і е’.
Із формули (2.2), запишемо
2
2
2
1
a
b
e , (2.5)
Із формули (2.3) одержемо
1
2
2
2
b
a
e , (2.6)
або
2
2
2
1 e
b
a
. (2.7)
Тоді
2
2
1
1
e
a
b
. (2.8)
Підставляючи (2.8) в (2.5) одержимо:
2
2
1
1
1
e
e
,
і
2
2
2
1
e
e
e
, (2.9)
Із (2.5) запишемо
2
2
2
1 e
a
b
і
22
2
1
1
e
b
a
(2.10)
Підставляючи (2.10) в (2.6) одержим
1
1
1
2
2
e
e ,
13
2
2
2
1
e
e
e
(2.11)
Формули (2.9) і (2.11) дають співвідношення між е і е'.
2. Залежність між е і
a
3. З формули (2.4) запишемо
a
b
1
, (2.12)
З формули (2.2)
2
1 e
a
b
Підставляючи даний вираз в попередній, одержим
1
1
2
e
і
22
2
1
1
e
,
тоді
22
2
e
(2.13)
Формула (2.13) дає залежність між е і
. Нехтуючи помилкою квадрату
нення, одержимо:
2
2
e
(2.14)
Для наближених розрахунків приймають
а = 6400 км; а-b = 21 км; а = 1:300; е
2
= 1:150; е'
2
= 1:600.
Відомо ряд еліпсоїдів, параметри яких визначались в різних регіонах
Землі названих в честь видатних вчених: Бесселя, Кларка, Хейфорда,
Красовського.
Для еліпсоїда Красовського, що має ще застосування в геодезичних
висотах в Україні прийняті параметри:
а = 6378245 м,
=1:298,3.
Тоді b = 6356863,01877;
= 0,003352329869;
е
2
= 0,006693421623;
2
e
= 0,006738525415.
14
2.2. Системи координат, які застосовуються у вищій геодезії.
1. Система геодезичних координат B, L, H.
Універсальна система координат, єдина для всієї Землі, не вимагає
додаткових побудов, визначає положення нормалей.
Рис.2.2. Система геодезичних координат В,Ь,Н.
Точки на поверхні еліпсоїда можна визначити геодезичною довготою L -
двогранним кутом між площиною початкового меридіана (Грінвічського) і
меридіана, який проходить через задану точку М'. Геодезична довгота
вимірюється від 0° до 180° і буває східна і західна.
Меридіан - це січення поверхні еліпсоїда площиною, яка проходить через
полярну вісь обертання Землі. Всі точки на ньому мають одинакову довготу.
Паралель - це лінія перетину поверхні еліпсоїда площиною, що
перпендикулярна до осі обертання його. Паралель є лінією рівних широт.
Площина екватора проходить через центр еліпсоїда О, перпендикулярно до осі
його обертання.
Геодезичною широтою називають кут, утворений нормаллю до поверхні
земного еліпсоїда в даній точці і площиною його екватора. Широти
відраховуються на північ і південь від екватора від 0° до 90°.
Геодезичною висотою Н точки М, розташованої на фізичній поверхні
Землі, називається віддаль по нормалі від цієї точки до її проекції на поверхню
земного еліпсоїда.
Астрономічні координати складаються із астрономічної широти
- кута,
15
твореного прямовисною лінією в даній точці і площиною,
перпендикулярною до осі обертання Землі. Вона визначається із астрономічних
спостережень.
Астрономічна довгота
- двогранний кут між площинами початкового
астрономічного меридіана Грінвіча до меридіана даної точки.
Ортометрична висота - висота точки над поверхнею геоїда. Вона може
бути вирахувана тільки при знанні будови земної кори.
Географічні координати – це узагальнене поняття про астрономічні і
геодезичні координати, коли відхилення прямовисних ліній не враховують.
2. Система прямокутних просторових координат X, Y, Z.
Її початок знаходиться в центрі земного еліпсоїда, а осі Х і У - в площині
кватора, при цьму Х - в площині початкового меридіана, а У -перпендикулярна
до неї. Вісь Z проходить вздовж полярної осі.
Р
1
Y
Рис. 2.3. Система прямокутних просторових координат XYZ.
X = M
1
M
2
Y = OM
2
Z = M
1
M
Система X, Y, Z. застосовується в теоретичній геодезії і для розв'язання
задач космічної геодезії.
3. Система геоцентричних координат
Площина меридіанного еліпса
16
Рис. 2.4. Система геоцентричних координат.
В даній системі координат повинна бути відома геодезична довгота b
меридіанного еліпса, який проходить через точку М, яка визначається на еліпсі
геоцентричною широтою Ф - кутом між радіусом - вектором р точки М і
площиною екватора (великою віссю обертання). Застосовується в астрономії,
Теорії фігури Землі, математичній картографії.
4. Система прямокутних координат х, у, які віднесені до площини
меридіанного еліпса даної точки.
y
Рис. 2.5. Система координат х, у.
Центр системи координат співпадає з центром меридіанного еліпса, вісь
ох - в площині екватора, вісь у вздовж осі обертання. Довгота меридіанного
еліпса відома. Положення точки М визначають двома координатами: х = ом
1
;
у=мм
1
. Використовується тільки для теоретичних викладок.
5. Система координат з приведеною широтою U.
17
Рис. 2.6. Система координат з приведеною широтою.
Геодезична довгота відома. Із центра О радіусом а проведемо коло і
проведем ординату у точки М до перетину з колом. Одержимо точку m.
Приведена широта U - кут між лінією, яка сполучає з центром еліпсоїда точку
перетину ординати У з колом радіуса а і площиною екватора.
Має застосування при передачі координат на великі відстані.
6. Система прямокутних сфероїдальних координат P i q
AN
1
= p, N
1
N = q
Рис. 2.7. Система прямокутних сфероїдальних координат
Координатні осі будуються на поверхні еліпсоїда. Нехай, початок системи
координат находиться в точці А. Одну з осей направимо вздовж меридіана.
18
Визначим координати точки N.
7. Плоскі прямокутні координати.
Практично необхідно мати координати пунктів геодезичної мережі в
плоскій прямокутній системі прямолінійних координат для того, щоб можна
було легко використовувати геодезичні дані при виконанні проектних робіт, при
землеустрої і т.п.
Виникає необхідність введення проекції поверхні еліпсоїда на площину,
тобто зображення частини земної поверхні на площині за деякими законами. В
нас застосовується проекція Гауса-Крюгера.
2.3. Зв'язок між деякими системами координат.
1. Зв'язок між геодезичною широтою В і координатами х і у, які віднесені
до площини меридіану точки, яку визначаємо.
Рис. 2.8.
Зв'язок
координат
В і Х,У.
Напи
шемо
рівняння
еліпса
1
2
2
2
2
b
y
a
x
,
(2.15)
Проведемо через точку М дотичну. Тангенс кута дотичної в даній точці є перша
похідна
dx
dy
. ctgBBtg
dx
dy
)90( . (2.16)
Виразимо
dx
dy
через координати х, у. Продиференцюємо і скоротимо на 2,
0
2
2
22
b
ydy
a
xdx
одержимо: і
19
22
a
xdx
b
ydy
Тоді
y
x
a
b
dx
dy
2
2
(2.17)
Підставивши (2.16) у (2.17), одержимо:
y
x
a
b
ctgB
2
2
,
звідки
x
y
b
a
tgB
2
2
. (2.18)Приймаючи до уваги, що
B =
2
1
e
a
,
а y = x (1-e
2
) tgB. (2.19)
Підставим (2.19) в (2.15)
1
)1(
)1(
22
2222
2
2
ea
Btgex
a
x
,
1)1(1
22
2
2
Btge
a
x
,
2
2
2
222
cos
sin
)1( a
B
B
eBtgx
ліву і праву частину помножимо на cos
2
B
BaBeBBx
2222222
cossin)sin(cos ,
B
e
B
a
x
22
sin
1
cos
. (2.20)
Підставляючи (2.20) в (2.19), одержимо
B
B
e
B
e
B
a
y
cos
sin
)1(
sin
1
cos
2
22
;
20
B
e
Bea
y
22
2
sin
1
sin)1(
. (2.21)
Радіус паралелі точки М
r = мс = х =
B
e
B
a
22
sin
1
cos
(2.22)
Зв'язок між просторовою системою координат X, Y, Z і координат х, у,
які віднесені до площини меридіанного еліпса даної точки.
Візьмемо точку М. В меридіані точки М розташуєм систему координат х,
у. РЕР
1
Е
1
- меридіанний еліпс, в площині якого знаходиться точка О (Грінвіч)
початок рахунку довгот і в цій площині знаходиться вісь ОХ.
З рисунку 2.9. видно, що
x
Y
L )90cos(
o
;
x
X
L )90sin( ,
звідки Х = x cosL (2.23)
Y=x sinL
Z = y
З врахуванням формул (2.20) і (2.21), одержимо