Левин Л.А. Финансовая математика в EXCEL

Подождите немного. Документ загружается.

Фиксированная процентная

ставка

ставка, зафиксированная в виде определенного

числа (сумы) в финансовых контрактах.

Плавающая процентная

ставка

привязанная к определенной величине,

изменяющейся во времени, включая надбавку к

ней (маржу), которая определяется целым рядом

условий (сроком операции и т.п.). Основу

процентной ставки составляет базовая ставка,

которая является начальной величиной.

Постоянная процентная

ставка

неизменная на протяжении всего периода ссуды.

Переменная процентная

ставка

дискретно изменяющаяся во времени, но

имеющая конкретную числовую характеристику.

1.1. ОСНОВНЫЕ КАТЕГОРИИ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

РАСЧЕТОВ

В финансовой математике широко представлены все виды статистических

показателей: абсолютные, относительные и средние величины.

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины:

время (n)

современная величина (PV),

наращенная или будущая величина (FV),

процентная ставка (

)

При изложении материала далее используются следующие термины и обозначения:







n – Срок погашения долга (англ. number of periods) – интервал времени, по

истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом

расчетных периодов – обычно равных по длине подитервалов времени, в конце (или

начале) которых начисляются проценты.

Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка

берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, день, на

которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о

предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую

дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в

разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.

Если начисление процентов будет производиться

раз в год, а срок погашения

долга –

лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции

составит

N = n • m

(1-1)







PV – текущая стоимость (англ. present value) – исходная сумма или оценка

современной величины денежной суммы, поступление которой ожидается в будущем, в

пересчете на более ранний момент времени;







FV – будущая стоимость (англ. future value) – наращенная сумма или будущая

стоимость, т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу

срока ссуды;



I – Процентные деньги (англ. interest

money), называемые часто коротко

"проценты", представляют собой абсолютный доход

от предоставления долга.

I= FV-PV

( 1-2)

Оценка эффективности финансовых операций по величине процентных денег на

практике используется достаточно редко, так сама их величина, не учитывающая фактор

времени, мало что может сказать о реальной доходности операции. Необходимо иметь

возможность сопоставить ее с темпом обесценивания денег (инфляции) или результатами

другой финансовой операции. Поэтому в финансово-экономических расчетах наиболее

широко пользуются относительные

показатели:







r – процентная ставка

(rate of interest ), характеризующая интенсивность

начисления процентов за единицу времени,– отношение суммы процентных денег,

выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель

выражается либо в долях единицы, либо в процентах.

r =I/PV = (FV – PV) / PV

( 1-3)

Этот коэффициент (r) показывает, во сколько раз наращенная сумма больше

первоначальной вложенной суммы, т.е. по существу является базисным темпом роста.

Если соотнести сумму процентов (FV – PV) не с PV, а с будущей стоимостью FV,

наращенной по мере присоединения процентов, то получим другую меру эффективности –

темп снижения

d = (FV – PV) / FV,

( 1-4)

называемый учетной ставкой (англ. discount rate), или дисконтный множитель

(норма банковского дисконтирования)

Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему

моменту времени, а дисконтный множитель ( d) показывает, какую долю составляет

первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы.

В дореволюционной литературе очень часто можно встретить слово «Интерес», которое

предприниматели использовали для характеристики выгодности какой – либо сделки.

В литературе достаточно часто этот показатель называется коэффициентом или множителем

наращения, показывающим во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга и . по

существу может приниматься как базисный темп роста.

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной

величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает

сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому

моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для

начислений процентов





в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

r = (FV - PV) / PV ( 1-5)





в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = (FV - PV) / FV ( 1-6)

При равной величине процентных денег (I=FV-PV) величина процентной ставки

выше величины учетной ставки. А в случае, когда процентная и учетная ставка равны по

своей величине, – приведенная величина (FV) по процентной ставке меньше ее значения

по учетной ставке.

Процентная ставка может быть легко найдена по известной величине учетной

ставки

(FV - PV) = d*FV = r*PV ( 1-7)

r = d*(Fv/PV) (1-8)

d = r*(PV/FV) ( 1-9)

Пример 1-1

Вы заняли сегодня 100 руб., дав обязательство вернуть к указанной дате 120 руб.

Оценим доходность этой сделки для кредитора величинами процентной (

)

учетной (

ставок, приняв весь период между двумя моментами времени за полный срок

договора, приняв его за единицу времени

=1.

Решение

PV = 100 руб., FV = 120 руб., I=(FV – PV) = (120 – 100) = 20 руб., r = 20/100 = 20%,

d= 20/120 = 16.67%.

Пример 1-2

Несколько изменим задание предыдущего примера.

Вы обратились к кредитору с просьбой о займе 100 руб. (PV) на срок 1 год (n=1).

Какую сумму сможет получить кредитор по окончании срока займа, при

процентной и учетной ставке =20%?

Решение.

Из формул 2-5 и 2-6 определим величины FV для процентной и учетной ставок:

проц

= PV* (1+r) ( 1-10)

учетн

= PV/(1-d) ( 1-11)

Отсюда при r =d =0.2:

проц

=100 руб.*(1+0.2) =120руб.

учетн

=100 руб./(1-0.2) = 125 руб.

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке

– декурсивными.

1.1.1. Тесты для проверки усвоения пройденного материала

В заданиях, представленных в форме теста, необходимо выбрать правильный

вариант ответа. Иногда правильных ответов может быть два и более.

Принцип неравноценности денег заключается в том, что:

A – деньги обесцениваются со временем;

B – деньги приносят доход;

C – равные по абсолютной величине денежные суммы, относящиеся к различным

моментам времени, оцениваются по-разному;

D – "сегодняшние деньги ценнее завтрашних денег".

Финансово-экономические расчеты используются для:

A – определения выручки от реализации продукции.

B – расчета кредитных операций.

C – расчета рентабельности производства.

D – расчета доходности ценных бумаг.

Подход, при котором фактор времени играет решающую роль, называется:

A – временной;

B – статический;

C – динамический;

D – статистический.

Проценты в финансовых расчетах:

A – это доходность, выраженная в виде десятичной дроби;

B – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его

форме;

C – показывают, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за

пользование в течение определенного периода времени 100 единиц первоначальной суммы

долга;

D – это %.

Процентные деньги –это:

А – Отношение суммы, полученной в результате финансовой операции, к сумме

затраченной на ее проведение;

В – Разность между суммой полученной в результате выполнения финансовой

операции и суммой, затраченной на ее проведение;

С – Разность между суммой затраченной на проведение финансовой операции и

суммой, полученной в результате ее проведения;

D – относительный показатель, характеризующий доходность финансовой

операции.

Процентная ставка – это:

A – относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления

процентов;

B – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме;

C – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах;

D – отношение суммы процентных денег к величине ссуды.

В качестве единицы времени в финансовых расчетах принят:

A – год;

B – квартал;

C – месяц;

D – день.

Наращение – это:

A – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;

B – базисный темп роста;

C – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга;

D – движение денежного потока от настоящего к будущему.

Коэффициент наращения – это:

A – отношение суммы процентных денег к величине первоначальной суммы;

B – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме;

C – отношение первоначальной суммы к будущей величине денежной суммы;

D – отношение процентов к процентной ставке.

Дисконтирование – это:

А – приведение будущих денег к текущему моменту времени;

В – характеризует долю первоначальной суммы долга в величине наращенной

суммы;

С – отношение суммы, наращенной в результате финансовой операции, к сумме,

затраченной на ее проведение;

D – отношение суммы, затраченной на проведение финансовой операции, к сумме,

полученной в результате ее выполнения.

дисконтный множитель ( d) –

А – показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине

наращенной суммы;

В – отношение наращенной суммы к первоначальной сумме;

С – отношение наращенной суммы к сумме, полученной в результате выполнения

финансовой операции;

D – характеризует зависимость величины процентных денег от длительности

(периода) финансовой операции.

1.2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Представим себе что кредитор и заемщик договариваются о величине кредита PV

(первоначальная денежная сумма), размере годовой процентной ставке (r), сроке кредита

(T) и длительности периода начисления процентов (n)

Математически такая операция может быть представлена в виде модели простых

процентов. По этой модели происходит накопление наращенной суммы FV (общей суммы

долга) за счет периодического (например, ежегодного) начисления процентных денег (I)

. В

соответствии с этим наращенная сумма равна:

к концу первого года –

= PV+I

к концу второго года –

= PV+2*I

к концу n-го года –

= PV+n*I

Таким образом, накопление суммы происходит по схеме простых процентов и

образует возрастающую числовую последовательность:

, FV

,…, FV

Напомним, что «процентные деньги» – это разность между первоначальной денежной суммой (PV) и

наращенной денежной сумой (FV) – I =FV – PV.

которая представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом PV и

разностью прогрессии I = FV-PV

Рис. 1-3 Наращивание первоначальной суммы по схеме простых процентов

При использовании простых ставок процентов проценты (процентные деньги)

определяются исходя из первоначальной суммы долга. Схема простых процентов

предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов.

Таким образом, размер ожидаемой наращенной суммы долга (дохода) зависит от

трех факторов:

величины инвестированной суммы,

уровня процентной ставки,

срока финансовой операции.

В общем случае, модель накопления капитала по схеме простых процентов

принимает вид:

FV = PV + I = PV + n*PV*I = PV*(1 + n*I) ( 1-12)

Учитывая выражение 3-3 (I = PV*r) модель простых процентов можно записать:

FV = PV + I = PV + r* PV * n = PV* (1 + r *n ) = PV * k

, (1-13)

1.2.1. Временная база финансовой операции

В банковской практике разных стран расчетное число дней в году при начислении

процентов определяется по-разному: Срок ссуды n может быть как целым, так и дробным

положительным числом.

В тех случаях, когда срок ссуды менее года, происходит модификация формулы:

а) если срок ссуды выражен в месяцах ( М ), то величина n выражается в виде

дроби:

n = М / 12, ( 1-14)

б) если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде дроби:

n = t / T, ( 1-15)

где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда;

T – расчетное число дней в году (временная база).



Возможны следующие варианты расчета





Временную базу ( T ) можно представить по-разному:

условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinary

interest), или коммерческом проценте;

взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают

точный процент (exact interest).





Число дней ссуды ( t ) также можно по-разному определять:

условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет

30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так

называемое приближенное число дней ссуды;

используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года,

рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное

число дней ссуды.

Таким образом, если время финансовой операции выражено в днях, то расчет

простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов:





Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто

называют, "германская практика расчета

", когда продолжительность года условно

принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней





Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или "французская

практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а

продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю





Точные проценты с точным числом дней ссуды, или "английская практика

расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по

календарю

Вполне естественно, что в зависимости от использования конкретной практики

начисления простых процентов их сумма будет различаться по абсолютной величине.

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней финансовой операции

пользуются специальными таблицами порядковых номеров дней года (Приложение 1), в

которых все дни в году последовательно пронумерованы. Точное количество дней

получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера

последнего дня финансовой операции.

Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции

Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии

Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.

1.2.2. Переменная ставка

Ставка процентов не является застывшей на вечные времена величиной, поэтому в

финансовых операциях, в силу тех или иных причин, предусматриваются дискретно

изменяющиеся во времени процентные ставки. Например, наличие инфляции вынуждает

собственника денег периодически варьировать процентной ставкой.

В том случае, если на последовательных интервалах начисления процентов n1, n2,

n3,…, n

устанавливаются разные процентные ставки r

, r

,…,

m ,

то наращенная

сумма может быть определена как

FV=PV*

(

1 +

∑

k 1

) = PV*k

( 1-16)

где коэффициент наращения (k

)

(

1 +

∑

k 1

) ( 1-17)

Пример 1-3

Сумма в размере 2000 рублей дана в долг на 1 год по схеме простого процента под

10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма:

FV = PV (1 + n *r ) = 2000 (1 + 1 * 0.1) = 2200 руб.

или

FV = PV * k

= 2000 * 1,1 = 2200 руб.

Сумма начисленных процентов:

I = PV * n * r = 2000 * 1 * 0,1 = 200 руб.

или

I = FV - PV = 2200 - 2000 = 200 руб.

Таким образом, через год необходимо вернуть общую сумму в размере 2200 рублей,

из которой 2000 рублей составляет долг, а 200 рублей – "цена долга (процентные деньги).

Пример 1-4

Ссуда выдана под 10% годовых сроком:

а) на 5 месяцев;

б) на 3 месяца.

Определить процентную ставку за срок ссуды.

Решение.

а) n = 5/12 =0.42

5 мес

= 0,1 * 5/12 = 0. 0417;

б) n = 3/12 =0,25; m = 4; r

=0,1/4 = 0,025

Пример 1-5

Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 14% годовых.

Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов

Решение

Наращенная сумма

FV = PV (1 + n *r ) =50000*(1+0,5*0,14) = 53500 руб.

Сумма начисленных процентов

I = FV – PV= 53500-50000=3500 руб.

Пример 1-6

Определить сумму вклада, который надо положить в банк сроком на 2 месяца под

10% годовых, чтобы к концу срока получить 110 000 руб.

Решение

FV=110000/(1 + 0,1 * 2/12) = 108196.7 руб.

Пример 1-7

Клиент внес вклад в банк в сумме 1 тыс. руб. сроком на 1 год. Процентная ставка до

середины второго квартала составляла 30 % годовых, далее до конца третьего квартала - 25

%, а с начала четвертого квартала - снова 30%. Какую сумму клиент получил в конце года?

Решение.

Периоды;

с начала года до середины второго квартала (n

) равен 4,5 месяца, или 0,375 года;

от середины второго квартала до конца третьего (n

) равен 4,5 месяца, или 0,375

года;

с конца третьего квартала до конца четвертого (n

) равен 3 месяца, или 0,25 года

Коэффициент наращения:

за период до середины второго квартала –

= 0, 3 * 0, 375 = 0,113,

от середины второго квартала до начала четвертого квартала –

= 0,25*0,375 =0,094.;

за четвертый квартал – k

=0, 3 * 0, 25 = 0,.075

за год k год = k

+ k

=0,281

В результате в конце года клиент получит сумму:

FV = PV *(1+ k год ) = 1281,25 руб.

1.2.3. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

Мы уже отмечали, что для любой финансовой операции всегда характерны четыре

величины:

современная величина (PV),

наращенная или будущая величина (FV),

процентная ставка (r)

время (n).

Как правило, при проведении финансовых операций обязательно фиксируются

сроки, даты, периоды начисления процентов, так как фактор времени ( как мы уже

отмечали) в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако, достаточно

часто возникают ситуации, когда срок финансовой операции в условиях конкретной

финансовой сделки не может быть оговорен заранее, а когда определяется при достижении

какой-то цели финансовой операции (конечной или промежуточной).

Подобным же образом может обстоять дело и с определением величины процентной

ставки. Так, например, на начальном этапе заключения коммерческой сделки нас могут

интересовать только величины вложенных (PV) и полученных сумм (FV). В тоже время

при анализе эффективности этой сделки возникает вопрос степени ее доходности.

Эти величины могут быть легко определены из приведенных выше формул

определения наращения вложенной суммы по схеме простых процентов.



Срок финансовой операции может быть определен как:

при определении срока в годах

n = (FV - PV) / (PV *r) ( 1-18)

при определении срока в днях

t = [(FV - PV) / (PV * r)] * T.



Процентная ставка может быть определена как

r = (FV - PV) / (PV * n) = [(FV - PV) / (PV * t)] * T. ( 1-19)

Пример 1-8

За какое время может быть накоплена сумма в 2000 долларов, если сегодня мы

можем оформить депозитный вклад 1000 долларов под 10% годовых

Решение

n = (FV - PV) / (PV *r)= (2000-1000)/(1000*.08) = 12.5 года

Пример 1-9

На сколько дней можно дать в долг 1'000 долларов, исходя из 8% годовых, если

возвращенная сумма должна составлять 1100 долларов

Решение

t = [(FV - PV) / (PV *r)] * T.= (1100-1000)/(1000*0.08)*360 =450 дней

Пример 1-10

В контракте предусматривается погашение обязательств через 120 дней в сумме

1200 долларов, при первоначальной сумме долга 1150 долларов. Определить доходность

операции для кредитора в виде процентной ставки.

Решение:

Рассчитываем годовую процентную ставку, используя формулу "обыкновенного

процента", поскольку в условиях сделки нет ссылки на "точный процент":

r = [(FV - PV) / (PV * t)] *T =

= [(1200 - 1150) / (1'150 * 120)] * 360 = 0,13

Пример 1-11

Банк выдал ссуду в размере 100000 рублей сроком:

а) на 5 месяцев;

б) на 3 месяца.

Какими должны быть процентные ставки с тем, чтобы доход банка (не зависимо от

срока ссуды) составил 120000 рублей?

Решение.

Используя формулу 4-8, находим:

а) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =

= [(120000 - 100000) / (100000 * 5)] * 12 =0.48

б) r = [(FV - PV) / (PV * t)] * T =

=[(120000 - 100000) / (100000 * 3)] * 12 =0.8

1.2.4. Тесты для проверки усвоения пройденного материала

1. Наращение – это:

A – процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;

B – базисный темп роста;

C – отношение наращенной суммы к первоначальной .52сумме долга;

D – движение денежного потока от настоящего к будущему.

2. Формула простых процентов:

A – FV = PV * r* n

B – FV = PV*( 1+ r)

C – FV = PV*(1+ n*r)

D – FV = PV*( 1+ r)