Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
приложена в разных плоскостях (рис.S5.4), деформированная ось
является пространственной кривой.
При косом или пространственном изгибе в сечении стержня
возникают четыре усилия:
y
Q
,
z
Q
,
y
M
и
z
M
. Нормальные
напряжения в произвольной точке сечения определяются по
формуле, полученной из (5.1) при
0N
,
z
z
y
y
x
I
yM
I
zM
s
. (5.3)
Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя
воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.
Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях
косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки,
работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого
необходимо:
· построить эпюры внутренних усилий
2
. Для построения эпюр
внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и
горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая
вызывает изгиб относительно горизонтальной оси
y
,
горизонтальная – относительно оси
z
;
· выбрать опасные сечения – это сечения, где имеет место
наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;
· в опасных сечениях найти опасные точки – точки с
максимальными нормальными напряжениями;
· записать условие прочности в этих точках. Из условия
прочности либо подобать размеры поперечного сечения, либо
найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о
возможности безопасной эксплуатации конструкции.
Определение положения опасных точек в стержне
произвольного поперечного сечения производится по схеме,
описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в
уравнении нейтральной линии
0
z
z
y
y
I
yM
I
zM
(5.4)
2
Поскольку касательные напряжения от поперечных сил не учитываем, допустимо
строить только эпюры изгибающих моментов.
11
отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через
центр тяжести сечения (рис. S5.5). Построив нейтральную линию и
эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек.
Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1¢ (это
можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру
напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1,
которая находится в линейном напряженном состоянии,
записывается так:
][
)1()1(
max
ss
z
z
y
y
I
yM
I
zM
(5.5)
Значение
][s
зависит от материала, из которого сделана балка, и для
хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее
или сжимающее)
max
s
.
Для некоторых форм сечений, а именно, прямоугольника,
двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в
углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий
прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений
положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной
линии, и опасные точки – это всегда угловые точки сечения. Условие
прочности в этих точках записывается следующим образом:
][
max
ss
z
z
y
y
W
M
W
M
, (5.6)
где
y
W
и
z
W
– моменты сопротивления поперечного сечения
относительно главных центральных осей.
12
Перемещения балки, работающей в
условиях косого или
пространственного изгиба, можно
находить любым способом. Обычно
это делают методом Максвелла –
Мора, перемножая эпюры с помощью
правила Верещагина. От вертикальной
составляющей нагрузки точки оси
балки перемещаются по вертикали
(вдоль оси
z
). Вертикальная
составляющая полного прогиба
w
находится по формуле
dx
EI
MM
w
y
iy
. (5.7)
Перемещения
v
точек оси балки вдоль оси
y
, вызванные
горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично
dx
EI
MM
v
z
iz
. (5.8)
Эти перемещения для точки
O
оси балки показаны на рис.S5.5.
Полное перемещение (отрезок
OO
¢
на рис.S5.5) является
геометрической суммой составляющих
v
и
w
. Отметим такую
закономерность: при косом изгибе отрезок
OO
¢
должен быть в
точности перпендикулярен нейтральной линии [2], при
пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть
близок к
90
. При косом изгибе плоскость, в которой лежит
изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия
нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором
плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных
плоскостей осей инерции сечения, и изогнутая ось лежит в той же
плоскости.
y
z
1
¢
1
O
O
¢
v
O
w
O
Нейтральная
линия
Эпюра
s
s
max
Рис.S5.5. Эпюра нормальных
напряжений и перемещение
точки О оси балки
13
Пример расчета балки при пространственном изгибе
(задачаS№S28)
Условие задачи
Балка загружена нагрузкой, показанной на рис.S5.6. Сила
60
1
F
S
кН действует в вертикальной плоскости,
10
2
F
SкН – в
горизонтальной, пара сил
20M
SкН×м – в плоскости, расположенной
под углом
10
к оси
z
.
Требуется:
1) из условия прочности подобрать номер двутавра;
1) найти полное
перемещение точки
C
оси
балки (см. рис.S5.6);
2) нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем
нейтральную линию и полное перемещение точки
C
. Определить
угол между нейтральной линией и полным перемещением
3
.
Решение
Разложим нагрузку на вертикальную (рис.S5.7,Sа) и
горизонтальную (рис.S5.7,Sв) составляющие и построим эпюры
y
M
и
z
M
(рис.S5.7,Sб,S г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих
моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей
y
и
z
, так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего
момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от
направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых
волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам
выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два:
сечение
D
, в котором действуют
8,131
y
M
кН×м и
68,7
z
M
кН×м, и
3
Эта часть задачи носит академический характер.
3 м
3 м
3 м
F
1
F
1
F
2
F
2
M
M
10
y
z
B
C
D
A
Рис.S5.6. Схема нагрузки на балку
14
сечение
C
с изгибающими моментами –
9,65
y
M
SкН×м и
8,18
z
M
S
кН×м.
15
Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6).
Поскольку отношение моментов сопротивления
zy
WW /
зависит от
M
cos10
3 м
3 м
3 м
F
1
F
1
= 60
M
cos10
= 17,7
y
y
z
z
B
C
D
A
R
Az
= 38,03
R
By
= 21,97
131,8
17,7
65,9
Эпюра
M
y
б
а
w
C
1
2
Эпюра
М
1
3 м
3 м
3 м
1
y
z
B
C
D
A
2/3
1/3
д
3 м
3 м
3 м
F
2
F
2
=10
M
sin10
M
sin10
= 3,48
y
y
z
z
B
C
D
A
Эпюра
M
z
R
By
=3,72
R
Ay
=3,72
7,68
18,8
3,48
г
в
v
C
e
Рис.S5.7. Эпюры изгибающих моментов от:
а, б – вертикальной составляющей нагрузки;
в, г – горизонтальной составляющей нагрузки;
д, е – единичной силы
16
номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно
4
равным 10. Тогда условие прочности (5.6) в опасных точках сечения
C
примет вид:
16
1018806590
×
yy
WW
,
где допускаемое напряжение для стали принято
][s
= 160 МПа,
величины изгибающих моментов переведены из кН×м в кН×см. Из
написанного условия прочности найдем необходимый момент
сопротивления
1587
16
25390
необх
y
W
см
3
.
По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для
двутавра № 50 с такими характеристиками:
1589
y
W
см
3
и
123
z
W
см
3
условие прочности в опасных точках сечения
C
162,1514,4
123
1880
1589
6590
кН/см
2
не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность
для двутавра № 55, у которого
2035
y
W
см
3
и
151
z
W
см
3
:
167,1545,1224,3
151
1880
2035
6590
max
s
C
кН/см
2
.
Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных
точках опасного сечения
D
:
166,1109,548,6
151
768
2035
13180
max
s
D
кН/см
2
.
Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего
момента
z
M
, действующего в горизонтальной плоскости, которую
показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что
z
M
в рассмотренном примере существенно меньше
y
M
, напряжения от
z
M
больше чем напряжения от
y
M
(или они примерно одинаковы).
Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости,
особенно для двутавров, у которых
yz
WW
.
Найдем перемещение точки
C
. Будем искать по формуле (5.7)
сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную
вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора
(5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры
y
M
и
4
Отметим, что для балки прямоугольного сечения отношение
bhWW
zy
//
является
известной величиной.
17
1
M
(рис.S5.7,Sб,Sе). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму
трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6].
×××××××× 28,13129,65218,1312(
6
3
)17,1718,1312(
6
3
Cy
wEI
8,7002
3
2
2
39,65
)19,65 ××
×
×
кН×м
3
.
Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую
перемещения
5
, перемножая эпюры
z
M
и
1
M
(рис.S5.7,Sг,Sе).
8,1052
3
2
2
38,18
)248,328,182(
6
6
××
×
×××
Cz
vEI
кН×м
3
.
Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что
перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е.
вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси
z
),
горизонтальное – по направлению оси
y
. Сосчитаем найденные
составляющие перемещения в "см", разделив их на соответствующие
жесткости.
64
10111955962102 ×××
y
EI
кН×см
2
,
64
101,271356102 ×××
z
EI
кН×см
2
,
626,0
101119
108,700
6
6
×
×
C
w
см,
90,3
101,27
108,105
6
6
×
×
C
v
см.
Из сравнения величин
C
w
и
C
v
видно, что горизонтальная
составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной
нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной
составляющей.
5
Эпюру М
1
от горизонтальной единичной силы, направленной вдоль оси y, можно не
строить, т.к. она такая же, как от вертикальной единичной нагрузки.
18
Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в
масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное
перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном
сечении С имеет вид
6
:
0
1356
1880
55962
6590
yz
или
0386,1118,0 yz
. Нейтральная линия, построенная по этому
уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении
C
показаны
на рис.S5.8. Знаки напряжений соответствуют положительным
6
При составлении уравнения нейтральной линии не забывайте учитывать знаки
изгибающих моментов в рассматриваемом сечении. В данной задаче оба момента
положительны.
Нейтральная
линия
v
C
w
C
j
s
max
= 157 МПа
Эпюра
s
С
С
¢
y
z
1
¢
1
Рис.S5.8. Эпюра напряжений
в опасном сечении С
и перемещение точки С
19
знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1¢ – это опасные
точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.
Найдем угол
(см. рис.S5.8) между нейтральной линией и осью
z
:
386,1
118,0
arctg)(arctg
z
y
9,40851,0arctg
Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную
C
w
и
горизонтальную
C
v
составляющие перемещения с учетом их
направления. Полное перемещение точки
C
– отрезок
CC
¢
на
рис.S5.8 равен геометрической сумме
C
w
и
C
v
. Угол
j
между
полным перемещением и осью
z
j
626,0
90,3
arctgarctg
C
C
w
v
9,8023,6arctg
.
Таким образом, угол между полным перемещением
CC
¢
и
нейтральной линией
8,859,809,4
, что близко к
90
.
5.2. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ
БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ
Основные определения
Внецентренное растяжение-сжатие – такой вид
деформации, при котором стержень загружен растягивающими и
(или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести
поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии
стержней (рис.S5.9) в стержне возникают три внутренних усилия:
продольная сила
N
и два изгибающих момента
y
M
и
z
M
.
Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его
длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного
сечения. В этом случае определение усилий производим по
недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не
учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя
правило знаков для изгибающих моментов, описанное во
вступительной части разд. 5 "Сложное сопротивление", найдем
внутренние усилия, как сумму усилий от каждой силы. Тогда для
стержня, показанного на рис.S5.9, согласно методу сечений получим
20