Левченко Н.Б. Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных работ. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ

О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ЧАСТЬ 1

Санкт-Петербург

2001

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет

Кафедра сопротивления материалов

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО

Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ

О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие по выполнению расчетно-проектировочных

работ для студентов всех специальностей и форм обучения

ЧАСТЬ 1

Задачи № 1–11

Под редакцией д-ра техн. наук, проф. В. Д. Харлаба

Санкт-Петербург

2001

УДК 539.3/8(07)

Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению

расчетно-проектировочных работ для студентов всех

специальностей и форм обучения. Ч. 1 / Н.FБ.FЛевченко (гл. 1, кроме

разд. 1.2.3), Л.FМ.FКаган-Розенцвейг (гл. 2), И.FА.FКуприянов (гл. 1,

разд. 1.2.3; гл.F3), О.FБ.FХалецкая (гл. 2); СПбГАСУ. СПб., 2001. с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для

решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в

расчетно-проектировочные работы, по трем темам: "Растяжение-сжа-

тие", "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка

прочности для сложного напряженного состояния" и "Кручение".

Решение задач снабжено подробными объяснениями.

Ил. 54. Библиогр. 4 назв.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский

государственный университет путей сообщения);

д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский

государственный университет низкотемпературных и пищевых

технологий)

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ

в качестве учебного пособия

И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая, 2001

архитектурно-строительный университет, 2001

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-

ПРОЕКТИРОВОЧНЫХ РАБОТ

В процессе изучения курса "Сопротивление материалов"

студенты выполняют расчетно-проектировочные работы (РПР).

Количество РПР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит

от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане

на изучение курса. Цель РПР – сознательное усвоение

теоретического курса и приобретение навыков решения задач,

имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи

студентам при выполнении расчетно-проектировочных работ.

Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии,

соответствуют номерам задач в издании "Сопротивление материалов

и основы строительной механики" (Методические указания и схемы

заданий к расчетно-проектировочным работам для студентов всех

специальностей / СПбГАСУ. СПб., 1999), по которому студенты

выбирают схемы решаемых задач.

В данном пособии приводятся краткие теоретические сведения

и основные формулы, необходимые для выполнения задач,

объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач

сопровождается численными расчетами, решение других приведено

в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение

задач, не разобравшись со смыслом того, что Вы делаете. Пособие не

заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те

разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по

изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на

единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте

писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые

единицы измерения приведены в перечне используемых

обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с

точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для

инженерных расчетов.

Расчетно-проектировочные работы оформляются на

стандартных листах писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед

решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в

масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи

должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки

желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены

поля для замечаний преподавателя. После выполнения всех задач,

входящих в расчетно-проектировочную работу, листы с решением

следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нагрузки

– сосредоточенная сила, кН;

– сосредоточенная пара сил (момент), кН×м;

– интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

– продольная ось стержня;

y z,

– главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

– площадь поперечного сечения, см

;

SS ,

– статические моменты относительно осей

y z,

, см

;

I I

y z

– осевые моменты инерции относительно осей

y z,

, см

;

– полярный момент инерции, см

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

, Q

, (Q) – поперечные силы, кН;

, M

, (M) – изгибающие моменты кН×м;

– крутящий момент, кН×м.

Напряжения:

,,,

zyx



() – нормальные напряжения, МПа;

,,,

zxyzxy



() – касательные напряжения, МПа;

,,,

321



(

гл

) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

zyx

 ,,

,() – относительные продольные деформации;

,,,

zxyzxy



() – угловые деформации (углы сдвига);

l

– абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (переме-

щения точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси

вдоль осей y, z), см;

j – угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

q – угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:



пц

– предел пропорциональности, МПа;



– предел текучести, МПа;



– временное сопротивление (для хрупких материалов



– предел

прочности при растяжении,



– предел прочности при сжатии), МПа;

[], [] – допускаемые напряжения, МПа;

E – модуль упругости, МПа;

n – коэффициент Пуассона;



– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление

материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.1, 2.2), гл. 3 (§ 3.1, 3.4, 3.6–3.12).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз,

1977. Гл. 2.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк.,

1989. Гл. 1 (§ 1.3), гл. 2.

Основные понятия и формулы

Растяжение-сжатие – простейший вид деформации стержня.

При растяжении-сжатии в стержне из шести видов внутренних

усилий возникает только одно усилие – продольная сила N.

Для определения внутренних усилий в стержнях и стержневых

системах используется метод сечений. Согласно этому методу

продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех

внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня.

Примем следующее правило знаков для продольной силы:

растягивающая продольная сила положительна, сжимающая –

отрицательна (рис.F1.1). Часто внутреннее усилие меняется по длине

стержня, в этом случае принято

рисовать график изменения усилия

вдоль оси стержня, который

называется эпюрой. Эпюра позволяет

определить, в каком сечении действует

максимальное внутреннее усилие

(например, найти

max

при

растяжении-сжатии). Сечение, где

действует максимальное усилие будем

называть опасным.

После определения продольной силы можно найти нормальное

напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии

по формуле





Рис.1.1. Правило знаков для

продольной силы



. (1.1)

Абсолютная деформация стержня (его удлинение или

укорочение) в том случае, если материал стержня работает упруго, т.

е. подчиняется закону Гука, определяется так:

dxl

ll l





 





00 0

)(

(1.2)

На рис.F1.2 показано удлинение стержня l, загруженного силой

F. Если не учитывать собственный вес, то продольная сила не

меняется по длине стержня (для стержня, показанного на рис.F1.2,

constFN

) и

constEA

, то

l 

. (1.3)

Если задача решается с учетом собственного веса, т. е. усилие

N линейно зависит от х, то из (1.2) при

constEA

можно получить

формулу

lGF

)2/( 



, (1.4)

где

AlG 

– собственный вес стержня;  – объемный вес

материала.



Рис. 1.2. Деформация

растянутого стержня

1.1. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ

Основные определения

Статически определимая стержневая система – это

конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних

усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе

рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на

растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает только одно

внутреннее усилие – продольная сила N.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение

ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием,

обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является

условие прочности. Существуют различные методы обеспечения

прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1,

§ 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов –

расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для

конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности

можно записать в таком виде:

][

max



, (1.5)

где

max



– максимальное напряжение в конструкции, определяемое

по формуле (1.1);

][

– характеристика материала, называемая

допускаемым напряжением. Допускаемое напряжение находится

по формуле

n/][

пред



. (1.6)

В формуле (1.6)

пред



– предельное напряжение, при

достижении которого в стержне наступает предельное состояние

материала: появляются пластические деформации, если материал

стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень

выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент

запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант условия

прочности

nn 

действ

, (1.7)

где

maxдейств

/ 

пред

(1.8)

называется действительным коэффициентом запаса прочности,

показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное

напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном

(предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности

статически определимых стержневых систем при расчете по

допускаемым напряжениям сводится к следующим этапам:

1) находим внутренние усилия (продольную силу при

растяжении-сжатии) и выявляем опасные сечения;

2) определяем напряжения;

3) после выявления максимальных напряжений используем

условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-

сжатии).

Из условия прочности:

· либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. ищем

допускаемую нагрузку – максимальную нагрузку, обеспечивающую

безопасную эксплуатацию конструкции;

· либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие

минимальные размеры поперечного сечения, которые

обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры

поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по

формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о

возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением

площадей

AA

подвержен действию нагрузок, показанных на

рис.F1.3,Fа. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения

стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие