Лекции - Возмущения в дозвуковом и сверхзвуковом газовых потоках
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 9
Возмущения в дозвуковом и сверхзвуковом газовых потоках.
Характеристики
Если в каком - нибудь месте движущийся со скоростью w газ
подвергается возмущению (например, при обтекании малого тела в точке А),
то от этого источника волны возмущения распространяются по газу со
скоростью (относительно самого газа), равной скорости звука а. Относительно
неподвижного обтекаемого тела возмущения распространяются вниз по потоку
со скоростью (а + w), а вверх - со скоростью (а - w).
При дозвуковой скорости потока (w < a, рисунок 9.1 а) возмущения от
источника А сносятся потоком, но распространяются во все стороны, в том
числе и вверх по потоку. Волны давления, идущие вверх по течению,
"подготавливают" поток к встрече с препятствием: линии тока в дозвуковом
потоке отклоняются еще до встречи с обтекаемым телом.
В сверхзвуковом потоке (w > a, рисунок 9.1 б) возмущения давления
вверх по течению не распространяются: последовательные возмущения от
источника А сносятся вниз по потоку, образуя конус возмущений Маха. До
встречи с этим конусом поток не получает информации о препятствии и
сохраняет свою однородность, линии тока не искривлены: поток набегает на
препятствие как бы "вслепую". Угол при вершине конуса, называется углом
возмущения или углом Маха. Как видно из чертежа
= arcsin
BC
AC
= arcsin
a
w
= arcsin
1
M
. (9.1)
Поверхность (конуса), ограничивающую область, куда достигают
исходящие из данной точки А возмущения, называют поверхностью
возмущений или характеристической поверхностью. В случае плоского
Рисунок 9.1 - Распространение возмущений от источника А при до - (а) и
сверхзвуковом (б) обтекании
потока говорят соответственно о линиях возмущений, характеристических
линиях или просто о характеристиках. Нормальная к характеристике
компонента скорости потока газа равна скорости звука а. Отсюда ясно, что
характеристики могут появляться только при скоростях, превышающих
скорость звука.
Характеристики можно наблюдать в сверхзвуковом потоке (например,
сверхзвуковой аэродинамической трубы), если внести в него источники малых
возмущений в виде тонких игл или зондов. По углам наклона характеристик к
линиям тока невозмущенного потока можно определить число Маха М потока.
Видимость линий возмущения обеспечивается тем, что вдоль них плотность
газа (воздуха) , а следовательно, и показатель преломления отличны от
соответствующих их значений в невозмущенном потоке.
В однородном потоке характеристики прямолинейны, а угол наклона к
линиям тока в соответствии с формулой (9.1) тем меньше, чем больше скорость
потока w. В неоднородном потоке значения угла изменяются от точки к
точке в соответствии с изменениями w и а. При неравномерном поле скоростей
характеристики искривляются (рисунок 9.2): где выше скорость w, тем больше
угол наклона характеристик.
2
Рисунок 9.2 - Искривление характеристик в зависимости от поля скоростей потока
Общие свойства характеристик можно сформировать следующим
образом:
1. Характеристики образуют с вектором скорости газа в данной точке
угол, равный углу возмущений
= arcsin
1
M
.
2. Вектор скорости газового потока в точке пересечения характеристик
направлен по биссектрисе угла между характеристиками.
3. Проекция скорости газа на нормаль к характеристике в данной точке
равна по величине местной скорости звука а.
Волны разрежения возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании
тупого угла, рисунок 9.3 а
*)
. У вершины угла А поток, расширяясь,
поворачивает на угол . При расширении сверхзвукового потока скорость его
возрастает (w
2
> w
1
), давление, плотность и температура падают. Линия
возмущения (характеристика) АB
1
для набегающего потока расположена под
углом , причем в соответствии с формулой (9.1)
___________________________
*) Дозвуковое обтекание угла не отличаются по характеру от обтекания несжимаемой
жидкостью. Сверхзвуковое обтекание обладает совершенно иным характером: его
особенностью является возникновение отходящих от вершин угла волн разряжения.
3
Рисунок 9.3 - Волны разрежения при сверхзвуковом внешнем обтекании тупого угла
(а) и при истечении газа в среду с пониженным давлением (б)
1
= arcsin
1
M
1
.
Для ускоренного и повернутого на угол потока линия возмущения от
вершины угла А есть характеристика АB
2
, причем
2
= arcsin
1
M
2
.
Внутри угла B
1
АB
2
располагается волна разрежения, в которой линия
тока С
1
С
2
плавно поворачивает на угол , параметры потока непрерывно
изменяются. Однако, вдоль любой характеристики АВ
1
волны разрежения
параметры газа остаются постоянными, независимыми от удаления от
вершины угла А. На каждой характеристике одинаковы также величина и
направление скоростей. Составляющая скорости, нормальная к характеристике,
равна скорости звука, соответствующей состоянию газа на этом месте. При
таком сверхзвуковом обтекании не образуется никаких вихревых зон отрыва
потока, характерных для аналогичных обтеканий несжимаемой жидкости.
Волна разрежения возникает при сверхзвуковом истечении газа в среду с
пониженным давлением p
2
< p
1
, (рисунок 9.3 б). Проходя волну разрежения
4
В
1
АВ
2
поток отклоняется на угол , который возрастает с уменьшением p
2
. В
предельном случае истечения в пустоту поток воздуха нормальных параметров
может отклоняться на максимально возможный угол
max
, теоретически равный
129,3
0
; при этом достигается максимальная скорость w
max
(см. формулу (8.15)
гл. 8). На практике могут реализовываться повороты потока только на угол,
меньшие
max
=
2
k
k
1
1
1 .
.
Расширение газа в волне разрежения является изоэнтропическим,
механическая энергия потока не теряется, поэтому давление торможения p
o2
за
волной равно исходному p
o1
. Изменение параметров потока после волны
разрежения зависит от величин М
1
и ; аналитические зависимости для них
достаточно громоздки. Для практических расчетов используются составленные
по ним графики и таблицы.
Метод годографа и диаграммы характеристик для плоского течения
газа
Для анализа плоских двумерных сверхзвуковых потоков используется
метод годографа скорости (С. А. Чаплыгин, 1904). При этом поток газа
представляется не линиями тока в физической плоскости течения, вектором
скорости w в системе координат w
x
,w
y
, рисунок 9.4 *
)
.
Вектор скорости w откладывается из начала координат, образуя своими
концами годограф - г. м. т. концов вектора скорости частицы, перемещающейся
по некоторой линии тока. Так, петля конца вектора w соответствует линии тока
АВ.
5
Рисунок 9.4 - Иллюстрация применения метода годографа при плоском обтекании
Дозвуковые течения в плоскости w
x
, w
y
изображаются внутри круга
w
кр
, а сверхзвуковая - внутри кольца с внутренним и внешним радиусами w
кр
и w
max
соответственно
w
кр
= a
o
2
K + 1
;
w
max
= a
o
2
K - 1
.
Можно показать, что для изоэнтропического расширения в волне
разрежения годографом скорости (г. м. т. концов вектора w) является
эпициклоида*
)
. Если построить годограф для всех векторов w из общего
центра О, то получим сетку из двух семейств эпициклоид - диаграмму
характеристик, рисунок 9.5.
___________________________
*
)
Переход из физической плоскости течения в плоскость годографа превращает
нелинейные уравнения газодинамики в линейные.
6
Рисунок 9.5 - Диаграмма характеристик (эпициклоиды располагаются внутри
"кольца" рисунка 9.4) в плоскости годографа.
Если задана величина w
1
ОА, то после расширения при повороте
вправо на угол , конец вектора скорости переместится по АА
1
; получится w
2
ОА
1
. Аналогично - влево по АА
11
.
Характеристики в физической плоскости потока x, y направлены по
нормали к соответствующей эпициклоиде в плоскости w
x
,w
y
годографа
скорости. Поэтому диаграмма характеристик позволяет определить не только
величину w
2
, но и угол
2
. Диаграмма характеристик позволяет приближенно
решать задачи об обтекании криволинейной стенки двумерным
________________________
*
)
Имеются в виду семейства эпициклоид, описываемых точками окружности радиуса
1
2
(
k + 1
K - 1
1)-
, катящихся по кругу = 1 (если пользоваться безразмерными скоростями ).
Это характеристики в плоскости годографа; два семейства этих характеристик ортогональны
характеристикам в физической плоскости x,y (предполагается, что оси координат x,y
параллельны осям w
x
,w
y
).
сверхзвуковым потоком. Этот метод, предложенный Л. Прандтлем, называется
методом характеристик.
7
При движении сверхзвукового потока около выпуклой стенки (рисунок
9.6 а) с начальной скоростью w
1
, каждую точку поверхности стенки можно
считать источником возмущения разрежения; линии возмущения
(характеристики) наклонены к поверхности. Параметры газа изменяются вдоль
линии тока С
1
С
2
непрерывно. Для приближенного расчета криволинейную
поверхность можно заменить ломаной (рисунок 9.6 б), сведя задачу к внешнему
обтеканию тупых углов, рассмотренную выше, используя диаграмму.
Рисунок 9.6 Характеристики при обтекании выпуклой стенки (а); замена выпуклой
стенки - ломаной (б)
Метод характеристик позволяет исследовать поток и около вогнутой
стенки (рисунок 9.7); в этом случае характеристиками являются линии (волны)
уплотнения. Величины вектора скорости для линии тока, пересекающей волны
уплотнения, находят по диаграмме характеристик посредством перемещения
по эпициклоиде диаграммы в сторону меньших скоростей (отрезок АВ на
рисунке 9.5).
Мы рассмотрели ( бесконечно) малые возмущения разрежения и сжатия.
Но если несколько линий уплотнения пересекаются, интенсивность возмущения
может значительно возрастать, образуя линию (поверхность) разрыва - скачок
уплотнения, в котором параметры меняются скачкообразно*
)
, а процесс их
изменения оказывается существенно необратимым - механическая энергия
8
потока теряется; энтропия возрастает. Применение диаграммы характеристик в
этом случае будет давать значительные ошибки.
Рисунок 9.7 - Сверхзвуковой поток, обтекающий выпукло - вогнутую стенку
________________________
*
)
Это особые поверхности (линии), нарушающие свойства непрерывности,
распределения параметров в сплошной среде.
9