Лекции - Уравнения движения вязкой жидкости; основы теории пограничного слоя
Подождите немного. Документ загружается.
турбулентной зоны 3. В зоне 4 течение можно считать безвихревым,
потенциальным.
Рисунок 13.5 - Структура пограничного слоя при его турбулизации
Непосредственно вблизи обтекаемой стенки влияние вязкости особенно
сильно, что способствует затуханию турбулентных пульсаций даже вниз по
течению от точек Т
в
и Т
н
. Эта часть пограничного слоя называется
ламинарным подслоем; его толщина столь мала, что на рисунке 13.5 он не
показан. При наличии крупной шероховатости, выступов, на отсекаемых
стенках ламинарный подслой разрушается.
Положение точек перехода (Т
в
,Т
н
) зависит от величины числа Рейнольдса
Re
x
= wx/,
где х - расстояние от передней критической точки 0 (рисунок 13.3). Для
плоской пластины. расположенной по линиям тока набегающего потока
критическое значение числа Рейнольдса, при котором происходит турбулизация
пограничного слоя, близко к значению
Re
x кр
= (w
x
кр
)/ 5 10
5
.
Это значение уменьшается при диффузорном и увеличивается при
конфузорном течениях.
Приведеные выше дифференциальные уравнения пограничного слоя
(13.5
1
) Л. Прандтля получены для ламинарного пограничного слоя. При
турбулентном течении обмен количеством движения между слоями жидкости
резко возрастает (вместо молекулярного. он становится молярным), и уравнения
11
Прандтля становятся непригодными. Напряжения турбулентного трения
зависят от величины числа Рейнольдса, шероховатости поверхности (как в
длинных трубах), а также от характера изменения давления вдоль стенки. Для
расчета турбулентного (а. иногда. и ламинарного) пограничного слоя обычно
используют универсальный интегральный метод Кармана. Этот метод не
позволяет определить поле скоростей в пограничном слое, но дает возможность
вычислить его толщину и распределение сил трения по поверхности
обтекаемого тела значительно проще, чем при использовании
дифференциальных уравнений.
13.5 Расчет пограничного слоя по методу Кармана
Выберем два сечения пограничного слоя, нормальные к обтекаемой
стенке на расстоянии x (см. рисунок 13.6) и применим к объему жидкости,
ограниченному контуром АВСD теорему об изменении количества движения
(второй закон Ньютона) (ширину данного объема в направлении оси z выберем
единичную z = 1):
[(mw)]/ t = F,
или в проекции на ось х:
[(mw
x
)]/ t = F
x
. (13,10)
Рисунок 13.6 - К расчету пограничного слоя интегральным методом Кармана
12
Здесь F равнодействующая сил, приложенных к объему жидкости,
втекающей через АВ и ВС, а вытекающей через СD.
Вычислим сначала левую часть этого уравнения. Масса жидкости,
поступающая через АB на участке у за время t равна w
x
dyt, и несет
количество движения w
х
2
dyt, а через все сечение АВ соответственно
m
ав
= t
0
w
х
dy и (mw
x
)АВ = t
0
w
х
2
dy.
Тогда приращение количества движения от сечения АВ до СД составит
(mw
x
)
CВ
- (mw
x
)
АВ
=
= (t
0
w
х
2
dy)
СD
- (t
0
w
х
dy)
АВ
= (t
0
w
2
х
dy).
Поскольку на границе пограничного слоя скорость потока равна U, а
масса m жидкости, поступающей с этой скоростью в пограничный слой извне
через сечение ВС равна разности масс, поступающей через АВ и вытекающей
через СD, т. е.
m = (t
0
w
х
dy)
CD
- (t
0
w
х
dy)
АВ
= (t
0
w
х
dy).
то количество движения, вносимое через ВС, равно
(mw
x
)
ВС
= Um = U(t
0
w
х
dy).
Тогда полное изменение количества движения в направлении х - левая
часть уравнения (13.10):
[(mw
x
)]/t = [(mw
x
)
CD
- (mw
x
)
АВ
- (mw
x
)
ВС
]/t =
= (
0
w
2
х
dy) - U
0
w
х
dy.
Рассмотрим силы, действующие на выделенный объем - правую часть
уравнения (13.10). В направлении х действует сила давления p на грань АВ, а
навстречу ей, на грань СD действует сила давления
13
(p +p)( + ), где p и - приращение давления и толщины
пограничного слоя на участке х. Кроме того, на ВС действует сила давления
р, а со стороны стенки АD - сила трения - х, где - напряжение
трения. Суммируя эти силы, получим:
F
x
= p - (p +p)( + ) + p - x = - p - x.
После подстановки в уравнение импульсов (13.10), деления на х и
перехода к пределу х 0, получим интегральное соотношение Кармана
(1921) для плоского пограничного слоя:
(d/dx)
0
w
2
х
dy - U (d/dx)
0
w
х
dy = - dp/dx - .
(13.11)
Если продольный градиент давления dp/dx выразить через скорость
внешнего потока U (по уравнению Бернулли)
- dp/dx = U dU/dx,
то уравнение Кармана (13.11) можно переписать в виде:
d
dx
0
2
x
w
dy - U
d
dx
0
x
w
dy = U (dU/dx) - /. (13.11
/
)
Вывод уравнения Кармана (13.11) и (13.11
1
) не содержит каких - либо
предположений о природе касательного напряжения . Поэтому уравнение
(13.11) и (13.11
1
) применимы как для ламинарного, так и для турбулентного
пограничных слоев. Здесь предполагается известным распределение скоростей
во внешнем потоке. т. е. величины U и dU/dx (они могут быть определены
методами гидродинамики идеальной жидкости или из опыта). Неизвестными
величинами здесь являются w
x
, и (а в случае сжимаеой жидкости - и
плотность ). Для определения толщины пограничного слоя и касательного
напряжения у стенки приходится задаваться распределением скоростей в
14
слое. Поскольку скорость w
x
внутри слоя входит в уравнение Кармана только
под интегралом, можно пользоваться приближенным значением распределения
w
x
без заметной погрешности вычислений.
Преобразуем (13.11
1
) следующим образом.
Имея в ввиду тождество
d
dx
(U
0
x
w
dy) =
dU
dx
0
x
w
dy + U
d
dx
0
x
w
dy,
уравнение (13.11
1
) преобразуем к виду
d
dx
0
2
x
w
dy -
d
dx
(U
0
x
w
dy) +
dU
dx
0
x
w
dy - U
dU
dx
=
= -
d
dx
0
(Uw
x
- w
x
2
)dy -
dU
dx
0
(U - w
x
)dy = - /,
или, введя *, ** и меняя знаки:
d
dx
(U
2
**) + U
dU
dx
* = /,
или, выполнив дифференцирование и деля на U
2
):
d**/dx +
1
U
dU
dx
(2** + *) = /( U
2
). (13.11
11
)
В этой форме записи уравнения неизвестными являются *, ** и .
13.6 Ламинарный пограничный слой на плоской пластине
Рисунок 13.7
15
При продольном обтекании тонкой плоской пластины скорость внешнего
потока не меняется вдоль оси х, т. е. dy/dx = 0. Уравнения (13.11
1
) и (13.11
11
)
в данном случае примут вид
d
dx
0
x
w
dy - w
d
dx
0
2
x
w
dy = - /
(13.12)
и
d **/dx = /( w
2
). (13.12
1
)
Зададим скорость в ламинарном пограничном слое w
x
в виде степенного
ряда по степеням у:
w
x
= a
0
(x) + a
1
(x) y + a
2
(x) y
2
+ ...
Координаты а
о
(х), а
1
(х) ... определяются из граничных условий (13.8), (13.9).
Эти условия таковы:
w
x
y =
0 = 0; w
x
y =
= w
;
d
w
d y
x
y =
= 0
2
x
d
w
d
y
2
y =
= 0 (13.13)
Для простоты ограничимся первыми двумя членами т. е. w
x
= a
o
+ a
1
y.
Такое линейное распределение скоростей - очень грубое. но (как будет видно
ниже) даже в этом случае получаются предварительные результаты. Используя
первые два условия (13.13), получим
а
о
= 0; а
1
= w
/,
т.е. w
x
= (w
/)у.
Касательное напряжение на поверхности пластины определяется
законом Ньютона (1.5), т. е.
=
d
w
d y
x
y =
0
16
В данном случае = ( w
/).
Для определения толщины пограничного слоя подставим полученные
величины в (13.12). Для этого вычислим входящие в него интегралы:
0
2
x
w
dy = (w
/)
2
0
2
y
dy =
1
3
w
2
;
0
x
w
dy = (w
/)
0
y
dy =
1
2
w
.
Подставим эти значения в (13.12), получим
1
3
w
2
d
dx
-
1
2
w
2
d
dx
= -
( w
/),
или
1
6
w
d
dx
= /.
Разделяя переменные, запишем последнее уравнение в виде:
d = (6/w
)dx.
Интегрируя, получим:
2
= (12x)/w
+ C.
Из условия на передней кромке пластины при х = 0, следует
x =0
=0 откуда С = 0.
Тогда получаем:
=
wvx /12
= 3,46x/
x
Re
, (13.14)
где Re
x
= (w
x)/ - местное число Рейнольдса. Касательное напряжение
получается равным:
= (w
/) = (0,289/
x
Re
) w
2
. (13.15)
Точное решение уравнений Прандтля имеют вид:
= 4,90x/
x
Re
; (13.14
1
)
17
= (0,332/
x
Re
) w
2
. (13.15
1
)
Различие между этими результатами можно значительно уменьшить, если
взять три или четыре слагаемых разложения w
x
(y). Однако, решения
уравнений Кармана и Прандтля для ламинарного слоя (как это следует из
(13.14), (13.15) и (13.14
1
), (13.15
1
) дают (рисунок 13.8)
x
; 1/
x
, (13.16)
что приводит для к бесконечному значению при х 0. В действительности
для пластинки конечной толщины происходит торможение потока у передней
кромки (критической точки). Поэтому действительные значения будут
такими, как это показано на рисунке 13.4 пунктиром (конкретно - в зависимости
от стенки заострения передней кромки).
Рисунок 13.8 - Изменения и ламинарного слоя на плоской пластинке
Полная сила трения R
тр
на поверхности пластинки данной L и шириной
b при ламинарном обтекании получается интегрированием:
R
тр
= b
L
0
dx = 0,332b
3
w
L
dx
0
x
= 0,664
Lw
3
или
R
тр
= C
тр
(лам)
f(w
2
/2), где C
тр
(лам)
= 1,328/
L
Re
;
18
Re
L
= w
L/; f = Lb.
13.7 Турбулентный пограничный слой на пластинке
В данном случае используем уравнение (13.12), а распределение
скоростей поперек слоя и зависимость касательного напряжения трения
соответственно примем в виде степенных зависимостей, характерных для
течения в трубах
w
x
= w
(y/)
1/7
(13.17)
и = 0,0450(w
2
/2) (/w
)
1/4
. (13.18)
Подставляя (13.17) в (13.12) и вычисляя интегралы. получим:
0
2
x
w
dy = w
2
0
(y/)
2/7
dy = 7/9 w
2
;
0
x
w
dy = w
0
(y/)
1/7
dy = 7/8 w
.
Используя полученные выражения и (13.18), приведем (13.12) к виду:
(7/9) w
2
d/dx - (7/8) w
2
d/dx = - 0,0450w
2
/2 (/w
)
1/4
или
d/dx = 0,2315/ Re
1/4
, где Re (w
)/.
После интегрирования:
4
5
5/4
= 0,2315 ( /w
)
1/4
х+ C,
где константу С можно определить из условия равенства толщин ламинарного
и турбулентного слоев в момент перехода (турбулизации) т.е.
x = x
кр
=
кр
с использованием (13.14
1
).
19
Если же Re
l
= w
l)/ достаточно велико (порядка 10 и более),
ламинарный участок у входной кромки пластины весьма мал. так что его
влиянием можно пренебречь и считать
x =
0
0,
откуда С = 0. Тогда получим расчетную формулу в виде:
= (0,37x)/
R
e
x
5
. (13.19)
Таким образом, толщина турбулентного слоя пропорциональна
x
4/5
, т.е. нарастает значительно быстрее ламинарного
лам
x
1/2
. Это
обусловлено макропереносом импульса в турбулентном слое, торможение
потока происходит интенсивнее.
Соответственно выражение для касательных напряжений в турбулентном
слое (получается подстановкой (13.19) в (13.18):
тур
= (0,1156/
R
e
x
5
) w
2
. (13.20)
Откуда следует . что в турбулентном слое убывание
тур
x
-1/5
менее интенсивно, чем в ламинарном
лам
x
-1/2
.
Распределение по длине пластинки, на которой ламинарный слой
переходит в турбулентный (при x = x
кр)
)
показано на рисунке 13.9.
20