Лекции - Статистические методы прогнозирования в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

-6 I

55,2 -331,2 36 56,18 -0,98 0,96

-5 I

2 год

-4 I 57,2 -228,8 16 56,76 0,44 0,19

-3 I

55,6 -166,8 9 57,05 -1,45 2,1

-2 I

56,2 -112,4 4 57,34 -1,14 1,3

-1 I

60,4 -60,4 1 57,63 2,77 7,67

3 год

1 I 58,4 58,4 1 58,21 0,19 0,04

2 I

56,9 113,8 4 58,5 -1,6 2,56

3 I

57,1 171,3 9 58,79 -1,66 2,76

4 I

61,5 246 16 59,08 2,42 5,86

4 год

5 I 59,3 296,5 25 59,37 -0,07 0,0049

6 I

58,2 349,2 36 59,66 -1,36 1,85

7 I

58,3 408,1 49 59,95 -1,65 2,72

8 I

62,6 500,8 64 60,24 1,96 3,84

0 И

того

926,7 118,5 408 926,72 22,31 41,95

1) У теор=а0+а1t У теор=57,92+0,29t

2) а0=

yt

а1=

tyt



0 t

3) а0=

92.57

7.926



а1=

29.0

408

5.118



4) мах

83,2 yттеоyt

- -

Min

07,0 yттеоyt

Амплитуда колебаний 2,76

5) а(t)=

39.1



yттеоyt

62.2

)(

)( 





yттеоyt



=1.62

7) V(t)=

y)(



028.0

92.57

62.1



При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических

явлений часто обнаруживается определенные постоянно повторяющиеся колебания. Они

являются результатом влияния природно-климатических условий, а так же общих

экономических факторов.

Периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный

годовому промежутку времени называются сезонными колебаниями. Они характеризуются

специальными показателями, которые называются индексами сезонности.

Для вычисления индексов сезонности применяют различные методы. Выбор метода

зависит от характера общей тенденции ряда динамики.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается стабильность

годовых уровней, или имеет место незначительная тенденция развития, изучение сезонности

основано на методах постоянной средней.

Is=

%100*

Yi- средние месячные уровни ряда по одноименным месяцам за несколько лет;

Yо – общий средний уровень ряда.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которой наблюдается тенденция роста,

изучение сезонности основано на методе переменной средней. Для расчета индекса сезонности

в таких ситуациях применяют формулу:

Is=

yттео















 100*

К – число лет.

Уmmео – выровненные уровни ряда (по уравнению прямой).

Пример: Метод переменной средней

У1=

7.57

3.594.582.5756





У2=56,3

У3=56,7

У4=60,95

У0=57,92

Is=

%2.97100*

9.57

3.56



Is=

%9.97100*

9.57

7.56



Is=

%3.105100*

92.57

95.60



Is=

%6.99100*

9.57

7.57



Метод постоянной средней

Yt yтеор Yt/ yтеор Is

56 55.6 100.7 100.425

54.5 55.89 97.5 97.475

55.2 56.18 98.3 97.65

59.3 54.47 105 104.45

57.2 56.76 100.8

55.6 57.05 97.5

56.2 57.34 98

60.4 57.63 104.8

58.4 58.21 100.3

59.6 58.5 97.3

57.1 58.79 97.1

61.5 59.08 104.1

59.3 59.37 99.9

58.2 59.66 97.55

58.3 59.95 97.24

62.6 60.24 103.9

Для выполнения и измерения периодичных колебаний во временном ряду можно

использовать гармонический анализ. Французский математик Фурье предложил метод

преобразования периодических функций в ряд тригонометрических уравнений, называемых

гармониками. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно

представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций.

Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций синусов и косинусов

времени называется гармоничным анализом. Иначе говоря, гармонический анализ представляет

собой операцию по выравниванию заданной периодической функции в виде ряда Фурье по

гармоникам разных порядков. При этом каждый уровень ряда представляет собой слагаемое

постоянной величины с функцией синуса и косинуса определенного порядка.

С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой

функции времени:

Yt=a0+

 







tkbktKak

*sin*cos*

К – определяет гармонику ряда Фурье и может быть выражена целым числом (чаще

всего от 1 до 4).

а0, ак, вк – параметры уравнения, которое находят, применяя метод наименьших

квадратов.

а0 =

yt

ак=

ktyt

cos



вк=

ktyt

cos



Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением или приростом,

равным



Для изучения сезонности n=12 время t выражается в радиальной мере или в градусах.

Тогда ряд динамики записываются следующим образом:

Yt Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12

радиальная

мера



градусы 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 320

При К=1 уравнение будет иметь следующий вид:

Yt=а0+а1cost+b1sint

a0=

yt

a1=

cos tyt

b1=

sin tyt

при К=2 имеет ряд Фурье с 2 гармониками

Yt=а0+а1cost+b1sint+ а2+а1cos2t+b2sin2t

а2=

2cos tyt

b2=

2sin tyt

Пример: Рассчитать 1-ю гармонику по следующим исходным данным

t yt cost ytcost sint ytsint yтеор

1 30 1 30 1 30 49,99

2 40 0,866 34,64 0,5 20 43,45

3 43 0,5 21,5 0,866 37,24 49,64

4 54 0 0 1 54 53

5 67 -0,5 -33,5 0,866 58,02 52,64

6 29 -

0,866

22,516

0,5 14,5 48,66

7 35 -1 -35 0 0 42,1

8 34 -

0,866

-29,44 -0,5 -17 34,76

9 45 -0,5 -22,5 -

0,866

38,97

28,57

10 35 0 0 0 -35 17,6

11 29 0,5 14,5 -

0,866

-25,1 17,2

12 28 0,866 24,248 -

0,866

-14 21,55

Итого 469 -18,07 83,69 459,1

а0=

1.39



 yt

а1=

01.3

07.18





в1=

9.13

69.83



yt=39.1-3.01cost+13.9sint

Далее можно аналогично рассчитать вторую гармонику. Таким образом, будем иметь 2

ряда: 1-я гармоника, 2-я гармоника. Рассчитав дисперсии для обоих рядов можно сделать

вывод, какая гармоника ряда Фурье наиболее близка к фактическим уровням:

yттеоyt

)( 





Тема 7: Прогнозирование с помощью моделей кривых роста

Применение моделей кривых роста в прогнозировании.

Удобным средством описания одномерных временных рядов является их

выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста

позволяет получить выравненные или теоретические значения уровней динамического ряда.

Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с

кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя

следующие этапы:

1. Выбор одного или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру

изменения временных рядов.

2. Оценка параметров выбранных кривых.

3. Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и

окончательный выбор кривой роста.

4. Расчет точечного и интервального прогнозов.

5. Оценка прогноза.

Кривые роста могут быть разделены на 3 класса. К первому классу относятся функции,

используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием

пределов роста. Ко 2 классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел

роста в исследуемом периоде. Эти функции называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то они относятся к 3 классу - к S-

образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных процесса, когда

прирост зависит уже от достигнутого уровня. Причем один развивается с ускорением, другой -

с замедлением.

Среди кривых роста 1-го класса выделяют класс полиномов:

Yt=a0+a1t+a2t+…apt

ao…p – параметры (коэффициенты) полинома.

t – время.

Параметры полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в

зависимости от содержания временного ряда. Например, параметр а0 - это начальный уровень

ряда при t=0. Параметр а1 можно трактовать как скорость роста, а2 как ускорение роста.

Полином первой степени - это прямая:

Yt=a0+a1t

Основные свойства тренда в форме прямой:

1) равные изменения за равные промежутки времени (цепные приросты =

изменению);

2) если средний абсолютный прирост – положительная величина, то относительные

приросты (темпы прироста) постепенно уменьшаются;

3) если средние абсолютные изменения – отрицательная величина, то

относительные изменения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к

предыдущему уровню;

4) если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является

по определению положительной, то среднее значение параметра а1 не может быть больше

среднего уровня (т.е. «а0»);

5) при линейном тренде ускорение (т.е. разность абсолютных значений за

последовательные периоды)=0

Полином 2-ой степени:

Yt=a0+a1t+a2t

Парабола применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно.

Параболический тренд обладает следующими свойствами:

1) неравные, но равномерно возрастающие или убывающие абсолютные изменения за

равные промежутки времени;

2) поскольку а0 как правило величина положительная, то характер тренда определяется

знаками параметров а1 и а2.

При а1>0 и а2>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию с ускоренному росту уровней.

При а1<0 и а2<0 имеем нисходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному сокращению

уровней.

При а1>0 и а2<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо

обе ветви параболы, если их по существу можно считать единым процессом.

При а1<0 и а2>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением

уровней, либо обе ветви, если их можно считать единым процессом.

3) В зависимости от соотношения между параметрами, цепные темпы изменений могут

либо уменьшаться, либо некоторое время увеличиваться. Но при достаточно длительном

периоде темпы роста начинают изменяться, а темпы сокращения уровней начинают возрастать.

Полином 3-й степени:

Yt=a0+a1t+a2t

+a3t

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться 1 или 2 раза.

Отличительная черта полиномов – отсутствие в явном виде зависимости приростов от

значений ординат.

Нахождение параметров полиномов определяется методом наименьших квадратов. С

учетом переноса начала координат в середину ряда параметры для уравнения прямой

определяются по следующему алгоритму:

а0=

yt

а1=

tyt



0 t

Для параболы:

а0=

yt



















224

)(

ttn

ytttytn

а1=

tyt



а2=

224

)(

ttn

yttyttn





К первому классу кривых роста относятся также экспоненциальные кривые. Для них

характерным является зависимость приростов от величины самой функции..

Наиболее часто применяется простая экспоненциальная кривая, которая имеет вид yt=ab

Если b>1, то кривая растет вместе с ростом t.

Если b<1, то тренд отражает замедляющиеся неравномерно уменьшение уровней.

Для нахождения параметров экспоненты данное выражение логарифмируют.

Существует другая разновидность экспоненциальных кривых – логарифмическая

парабола:

Yt= ab

Ко второму классу кривых относят модифицированную экспоненту:

yt=к+ab

Она описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор

(асимптота).

При решении экономических задач значение асимптоты можно определить исходя из

свойств прогнозируемого явления. Иногда значение асимптоты задается экспертным путем.

Наиболее часто применяемыми кривыми 3-го класса является кривая Гомперца:

yt=к+a

Логистическая кривая:



к+ab

У=



 *1

Пример.

Определить параметры параболического тренда

t yt t´ t

Yt* t

1 14,9 -5 25 372,5 625

2 12,6 -4 16 201,6 256

3 15,2 -3 9 136,8 81

4 15,9 -2 4 63,9 16

5 14,9 -1 1 14,9 1

6 16,2 1 1 16,2 1

7 18,0 2 4 72 16

8 18,3 3 9 164,7 81

9 17,0 4 16 272 256

10 18,8 5 25 470 625

Итого: 161,8 110 1784,6 1938

а0=

11.16

12100)1938(*10

8.161*1106.1784*10

110

8.161

















а1=

22.16

110

6.1784



а2=

0066.0

12100)1938(10

177986.1784*10





Ответ: а0=16,11; а1=16,22; а2=0,0066

Методы выбора кривых роста

Наиболее простой метод – визуальный, опирающийся на графическое изображение

временных рядов. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому

развитию процесса. Если тенденция на графике просматривается недостаточно четко, то

проводят преобразование исходного ряда. В литературе описан также метод

последовательных разностей (помогает в выборе кривых параболического типа).

Этот метод применяют при выполнении следующих предположений:

1) уровни ряда могут быть представлены в виде суммы трендовой составляющей и

случайной компоненты, подчиненной закону нормального распределения с математическим

ожиданием, равным нулю и постоянной дисперсией; метод последующих разностей

предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда:

ytytt  1

ttt

112

1 

ttt

323

1 

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок

разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Этот прием можно использовать для преобразования временного ряда. При равных или

равных первых разностях можно рассчитать теоретические значения уровней ряда:

Утеор =у+



В отдельных случаях используют метод характеристик прироста. Процедура выбора

кривых роста с использованием этого метода включает:

1) выравнивание ряда по скользящей средней;

2) определение средних приростов;

3) вычисление производных характеристик прироста

Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые

линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов

характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов

развития исходных временных рядов.

Данный метод является более универсальным по сравнению с методом

последовательных разностей.

Однако, чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений

критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических

значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых

предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т.к.

чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений.

Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во-первых, к ряду,

состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m

точек. Кроме того, существует множество многочленов более высоких степеней, также

проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0,

однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и

для целей прогнозирования.

Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить

точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при

прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом

периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На

первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа

задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе

наиболее подходящей кривой роста.

В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов

представлен широкий спектр кривых роста. Можно среди этих кривых выбрать отдельную

функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики

остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько

функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и

значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя

квадратическая ошибка:

Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число

временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного

критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных

подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора.

В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста.

Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании

полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее.

Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной

тенденции в прогнозируемом периоде.

Тема 8. Доверительные интервалы прогноза. Оценка

адекватности и точности моделей

Доверительные интервалы прогноза

Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в

уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный

таким образом прогноз называется точечным прогнозом. На практике в дополнение к

точечному определяют границы возможного значения прогнозированного показателя, то есть

вычисляют интервальный прогноз.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде

доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал прогноза определяется в

следующем виде:

Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода

упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше

степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S

, так

как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий

соответствующих параметров уравнения

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения

экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при

вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки

используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда

кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для

модифицированной экспоненты).

В таблице приведены значения K* в зависимости от длины временного ряда n и

периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов

(n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются.

При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше

длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.