Лекции - Распространение возмущений в жидкости и газе
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 6
Распространение возмущений в жидкости и газе
6.1 Скорость распространения малых возмущений
Рассмотрим жидкость (газ) в трубе, в левой части которой находится
поршень, рисунок 6.1.
Рисунок 6.1- Распространение волны сжатия при движении поршня в трубе: f -
площадь сечения трубы (поршня); - плотность жидкости; E - модуль объемной упругости
жидкости; w - скорость движения поршня; a -скорость распространения возмущения сжатия.
Если поршень за время t переместился со скоростью w на расстояние
x = wt, то за то же время фронт волны сжатия, который разделяет
возмущенную (сжатую) жидкость от невозмущенной, переместился с некоторой
скоростью a на расстояние l = at.
При этом объем сжатой жидкости
V = fl = fat (6.1)
уменьшился на величину
– V = fx = fwt, (6.2)
46
где знак " – " означает уменьшение объема. Жидкость, через которую проходит
возмущение, уменьшает свой объем при неизменной массе m. Поэтому можно
считать, что
m = V = const.
Если прологарифмировать, а затем продифференцировать это равенство,
получается связь между относительными изменениями объема и плотности:
–
V
V
=
. (6.3)
С учетом (6.3) можно записать закон Гука (1.1) в виде:
p = E
, (6.4)
или:
p
=
E
; [м
2
/c
2
] .
(6.4
1
)
Полученная величина
p
dp
d
имеет размерность квадрата скорости.
Покажем, что
dp
d
является скоростью распространения малых возмущений –
скоростью звука в жидкости (газе).
Для этого, во - первых, подставив (6.1) и (6.2) в (6.3), получим
=
w
a
. (6.5)
Во - вторых, импульс силы pft, действующей со стороны поршня на
жидкость, равен изменению ее количества движения (в соответствии со вторым
законом Ньютона):
pft = m(w – 0) = flw, (6.6)
47
где: m = fl – масса сжатой жидкости в объеме V;
(w – 0) = w –изменение скорости ранее покоящейся жидкости.
Учитывая, что l = аt, из (6.6) следует, что
p = wa. (6.7)
Эта формула (полученная Н. Е. Жуковским в 1899 г.) определяет увеличение
давления в жидкости при прохождении через нее волны сжатия. Исключая из
(6.5) и (6.7) произведение w, получаем
p
= a
2
. (6.8)
или (с учетом (6.4
1
)):
а =
p
=
E
. (6.9)
Для воды, например, а = 1420 м/c; для нефти – около 1200 м/c. Скорость
звука в капельной жидкости резко снижается при паровыделении (кавитации).
Если стенки трубы нельзя считать абсолютно твердыми, скорость волны
сжатия С несколько уменьшится.
С =
a
1 +
ED
E
CT
, (6.10)
где: E
ст
– модуль объемной упругости (модуль Юнга) материала трубы;
D – диаметр трубы; – толщина стенки.
В газе процесс распространения малых возмущений можно считать
адиабатическим (так как он является весьма быстротечным; теплообмен просто
не успевает проявить себя).
В этом случае, как известно
p
K
= const, или обозначая const = C, p = C
k
; dp = kC
k-1
d
;
dp
d
= kC
k-1
= k
p
.
48
Подставляя последнее равенство в формулу для скорости звука (6.9),
получим для термодинамически идеального (совершенного) газа:
а =
k
p
, (6.11)
или, используя уравнение состояния идеального газа
p
= RT:
a =
kRT
. (6.11
1
)
В частности, для воздуха, подставляя величины k = 1,4 и R, имеем
а = 20,1
T
[м/c].
При температуре 15
0
С последняя формула дает значение а = 340 м/c.
Отношение скорости потока w к скорости звука а
M =
w
a
называется числом Маха. Его значения определяет различные типы течений
газа:
М < 1 – дозвуковые;
М > 1 – сверхзвуковые;
М 1 – околозвуковые.
Эти течения качественно отличаются друг от друга.
49
6.2 Гидравлический удар
Если длинный трубопровод, по которому течет жидкость, резко
перекрыть на выходе (например, быстро закрыть заслонку), инерция жидкого
столба создает у заслонок область высокого давления, которое будет
распространяться затем со скоростью звука вверх по течению жидкости,
рисунок 6.2, подобно тому, как волна сжатия распространялась от движущегося
поршня (рисунок 6.1). Подобное явление резкого повышения давления в
трубопроводе с капельной жидкостью называется гидравлическим ударом.
Теория гидроудара была предложена Н. Е. Жуковским (1899).
Рисунок 6.2 - а) схема трубопровода с задвижкой; б) изменения скорости w и
давления p в трубопроводе после резкого закрытия трубы
При резком закрытии задвижки ближайшие к ней частицы жидкости
тормозятся; их кинетическая энергия переходит в работу сжатия жидкости и
деформации трубопровода. Граница между заторможенной (сжатой) жидкостью
50
и невозмущенной ее частью – ударная волна, перемещается вправо со
скоростью звука a навстречу втекающей невозмущенной жидкости достигает
входа в трубу через промежуток времени 1/a (l – длина трубы от входа до
задвижки).
Фазы гидроудара иллюстрируются на рисунке 6.3.
51
Рисунок 6.3 - а) Фазы гидроудара в напорном трубопроводе после резкого закрытия
задвижки; б) Соответствующие фазы пружинного маятника
52
1. Первая фаза – непосредственно после закрытия задвижки: перемещаясь
со скоростью звука а навстречу втекающей жидкости, волна сжатия через
время l/a достигает входа в трубу. На этом первая фаза завершается: по всей
трубе жидкость неподвижна и сжата. В баке повышение давления p
o
невозможно.
2. Вторая фаза начинается с отражения ударной волны: сжатая жидкость
выдавливается из трубы в бак. Волна сжатия отступает к задвижке. Через время
T = 2l/a после закрытия задвижки ударная волна возвращается к ней. Но
жидкость по инерции продолжает вытекать в бак.
3. Третья фаза начинается с резкого падения давления у задвижки
(теоретически p
o
– p). Волна разрежения распространяется к баку. Наступает
кавитация – вскипание жидкости из - за понижения давления. Это ведет к
рассеиванию (диссипации) энергии гидроудара. Колебания быстро затухают
(см. рисунок 6.4).
4. Четвертая фаза (рисунок 6.3) начинается с отступления волны
разрежения от бака в сторону задвижки, так как из бака в трубопровод вновь
начинает поступать вода. Далее все повторяется.
Рисунок 6.4 - Колебания давления в последующие фазы гидроудара
53
Движущаяся жидкость аккумулирует кинетическую энергию К благодаря
инерции "жидкого столба"; деформация жидкости и стенок трубопровода
аккумулирует потенциальную энергию П.
Волновые явления в капельной жидкости при гидроударе фактически
делают неверным термин "несжимаемая жидкость", в которой теоретическая
скорость распространения малых возмущений бесконечно велика (а
несж
).
Сжимаемостью жидкости можно пренебрегать только при скоростях w малых
по сравнению со скоростью звука а (когда w a).
54