Лекции по Специальной теории относительности (СТО)

Подождите немного. Документ загружается.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Преобразования Лоренца.

В 1905 году Эйнштейном была опубликована работа «Электродинамика движущихся

сред», в которой была изложена новая физическая теория о пространстве и времени. В конце

третьего семестра вы познакомитесь с уравнениями Максвелла. Оказалось, что эти

уравнения не инвариантны относительно преобразований Галилея. Иными словами при

переходе в другую движущуюся инерциальную систему вид уравнений менялся. Физики

стояли перед выбором: или уравнения, описывающие не механические явления, не

подчиняются принципу относительности, или в общем случае неверны преобразования

Галилея. Следует сказать, что математик Пуанкаре вывел раньше Эйнштейна

преобразования, полученные эмпирически Лоренцем, чтобы согласовать результаты опыта.

Но, как говорят теперь, раскрутили Эйнштейна, а не Пуанкаре. Я не берусь объяснить,

почему так произошло, почему работа последнего оказалась невостребованной.

Все опыты, которое не находили объяснения до создания специальной теории

относительности не из механики, поэтому ваших знаний пока нехватает для их обсуждения,

и их придется опустить. Но основные постулаты, на которых «держится» новая теория надо

знать. Их всего два: 1. Эйнштейн постулировал принцип относительности на все

физические явления, 2. Он же ввел принцип постоянства скорости света во всех

инерциальных системах. Принятие этих постулатов автоматически означало, что надо искать

новые преобразования в замену галилеевским. Второй принцип приводит, в частности, к

тому, что скорость светового импульса будет одинакова, как испущенная неподвижным

источником, так и движущимся по направлению (или против) испускаемого импульса.

Давайте рассмотрим мысленный опыт (мысленными опытами называют опыты результаты,

которых ясны, а провести в натуре такой опыт иногда технически невозможно),

показывающий к чему приводит последний постулат. Предположим, что один наблюдатель

стоит на платформе, а второй находится на середине длинного вагона, который движется со

скоростью, сравнимой со скоростью света. Одновременно в оба конца вагона ударяют две

молнии. Что видят наблюдатели. Стоящий в вагоне будет считать, что обе вспышки он

увидел одновременно, так как свет и с начала вагона, с конца придет к нему одновременно

(согласно второго постулата). Стоящий на платформе будет считать, что свет от начала

вагона придет к наблюдателю в вагоне раньше, чем с конца вагона, так как он двигается

навстречу одному сигналу и удаляется от другого. Оба будут правы. Но это приводит к тому,

что само понятие одновременности становиться относительным, то есть зависящим от

системы отсчета. Если как следует подумать об этом, то мы должны придти к выводу об

относительности течении времени, или, по-другому, отказаться от единого мирового

времени, которое неявно постулировалось в механике Ньютона.

Приступим к выводу новых преобразований (названных в честь Лоренца, первым их

написавшим) опираясь, постулат Эйнштейна и на выводы, вытекающие из мысленного

опыта. Заметим, что преобразования, связывающие координаты и время, должны быть

линейными из-за однородности пространства. Условимся, что в дальнейшем все величины

писать без штриха, а величины в движущейся системы помечать штрихами, в том числе и

обозначения самих систем К и К

’

При выводе будем считать, что оси координат X и

’

совпадают и сонаправлены, начала координат при t=0 совпадают. Вторые две оси также

имеют одно направление. И последнее, система К

’

двигается с постоянной скоростью

направлении оси X . Обязательным условием является переход преобразований Лоренца в

преобразования Галилея при

(1),

скорость света везде будет обозначаться

, относительная скорость систем

. Начнем с

преобразований Галилея:

xxvt

xxct

′′

(2)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пока мы просто ввели для упрощения записи новые обозначения, и отказались на основании

мысленного опыта от единого времени, которое при выполнении условия (1) должно

совпадать со временем в неподвижной системе отсчета.

Все построение СТО удобней вести в абстрактном четырех мерном пространстве:

ctx

(3)

В этих обозначениях последнее равенство в (2) будет иметь вид:

114

xxx

′′

=+ .

Напишем искомые преобразования Лоренца (учитывая, что они должны быть линейными):

114

41421

()

xxx

αα

′′

′

′′

(4)

Естественно, сделать допущение, координаты в перпендикулярных направлениях

относительного движения систем отсчета остаются равными друг другу. Величины констант

и требуется определить, опираясь на постулаты, чтобы получить явный вид

преобразований Лоренца.

Пусть в начальный момент времени, когда начала координат совпадали, в нем произошла

точечная вспышка света. Напишем уравнения распространения световой волны в обеих

системах отсчета в обозначениях (3):

2222

1234

2222

1234

xxxx

++=

′′′′

++=

(5)

Вид уравнений должен быть одинаковым согласно первого постулата. Выразив координаты

неподвижной системы через координаты движущейся системы, используя искомые

преобразования (4):

22222

14231421

2222222222

212312414

)

()()

()2()(

xxxxxx

β−β

γαα

γαγαααγ

′′′′′′

+++=+⇒

′′′′′′

⇒−+++=−

(6)

Вторые строчки (5) и (6) должны совпадать, так как эти оба уравнения описывают

распространение волны в движущейся системе отсчета. Из этого следует:

222

β−

γα

γαα

αγ =

−=

−

(7)

Разрешив их относительно неизвестных констант, получим:

αγ

−

Подставив найденные константы в (4) получим преобразования Лоренца:

′′

−

′

′′

−

(8)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

В таком виде преобразования легче всего запоминаются. Их можно записать через

координаты трехмерного пространства и время:

xvt

′′

−

′

′′

−

(9)

Из последнего хорошо видно, что при условии (1), преобразования Лоренца переходят в

преобразования Галилея. Выпишем для полноты рассматриваемого вопроса обратные

преобразования Лоренца в виде (8):

−

′

−

′

−

′

−

(10)

2. Измерение длины движущегося стержня.

Собственная длина.

Предположим, наблюдатель хочет измерить стержень, параллельный оси X и летящий со

скоростью

. Он может это сделать двумя способами. Можно в одно и то же время отметить

на своей оси X точки концов летящего стержня, а затем своей линейкой измерить расстояние

между этими точками, которое с его точки зрения и будет длиной стержня. Можно

поступить иначе. Надо, находясь в одной точке, засечь интервал времени по своим часам, за

который пролетает стержень. Затем этот интервал времени умножить на скорость стержня,

которая должна быть известна, и полученное произведение считать длиной стержня.

Посмотрим к чему приведут эти опыты и последующие вычисления, если считать

справедливыми преобразования Лоренца (10) или обратные им. Если отвлечься от рассказа о

стержне, то мы хотим найти, как связана собственная длина отрезка

xxx

′′′

∆=−

, измеренная

наблюдателем, находящимся в

′

, и который может измерить ее непосредственно, с

результатом косвенных измерений наблюдателем, мимо которого система

′

движется со

скоростью

В первом случае отметили положении точек

начала и конца летящего стержня в

один и тот же момент времени. Воспользуемся обратными преобразованиями Лоренца и

напишем длину стержня в движущейся системе отсчета:

2010

222

111

xvtxvt

βββ

−−

−

′′

−=−=

−−−

(11)

Левая часть равенства представляет собой длину стержня в

′

, которою может

непосредственно измерить наблюдатель, находящийся наблюдатель в этой системе. Назовем

ее собственной длиной стержня

. В числителе стоит длина стержня, измеренная косвенным

способом наблюдателем, мимо которого пролетал стержень. Обозначим ее

. Из

полученного выражения следует соотношение между ними:

21210

()11xxxxll

ββ

′′

−−=−⇒=−

Рассмотрим второй вариант косвенного измерения. В этом случае в формуле (11) координата

будет одной и той же, а моменты времени будут разные, моменты пролета летящего

стержня над одним неподвижным наблюдателем. В результате получим:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

210

()

xxl

ββ

∆

′′

−=⇒=

−−

Естественно, мы получили тот же результат:

1ll

=−

(12)

Все продольные размеры (по направлению относительного движения) для неподвижного

наблюдателя сокращаются. Поперечные размеры не изменяются. Поэтому формула

уменьшение объема тела будет иметь такой же вид:

1VV

=−

(13).

3. Длительность событий в различных системах отсчета.

Собственное время.

Предположим, что каким либо образом мы синхронизовали часы обеих систем, когда они

находились в пространстве друг над другом. Пусть эти координаты были равна

′

соответствующих системах отсчет. На некаторе время

′

∆

летящий наблюдатель задремал.

А когда проснулся, то под ним была точка с координатой

. С точки зрения неподвижного

наблюдателя добраться до этой точки, двигаясь со скоростью

можно за время

−

∆= .

Выразив разность в числителе, воспользовавшись прямыми преобразованиями Лоренца (9),

получим:

10210121

222

()

111

xvtxvtxx

βββ

′′′′

′

++− ∆

∆==−=

−−−

(14)

При выводе учтено, что координата движущихся часов в движущейся системе отсчета все

время была одна и та же (часы в

′

покоились). Если время измеряется в «своей» системе

отсчета по «своим» часам непосредственно, то его называют собственным временем

Именно это время и измерил движущийся наблюдатель, когда, проснувшись, посмотрел на

свои часы. Время, определенное в другой системе косвенным образом будем обозначать

Это время вычислил покоящийся наблюдатель по скорости движения системы и разности

координат. Из (14) следует, что собственное время всегда течет медленнее, чем вычисленное

косвенным образом в других системах отсчета:

ττ

=−

(15).

Полученное соотношение некоторое время вызывало возражение физиков, и очень долгое

время философами (несколько десятилетий). Что с первого взгляда кажется

противоречивым? Представим, что один из братьев близнецов улетел на ракете, которая

долгое время двигалась со скоростью, сравнимой со световой. При возвращении братья не

узнали друг друга, так как они оказались совсем разными по возрасту. Оставшийся близнец

по своим собственным часам прожил 30 лет. А его брат летал с около световой скоростью

согласно (15) прожил и значит, прожил много меньше. Но ведь движение относительно. И

летающий близнец мог считать, что летал не он, а его брат и он должен быть моложе его.

Этот мысленный опыт привел к противоречивым результатам. Но, если из теории следуют

противоречивые следствия, то теория неверна. Это обвинение и было предъявлено

Эйнштейну. На этом я закончу про парадокс близнецов. Если интересен ответ, то ходите на

лекции по физике. А вот реальный опыт, подтверждающий следствия из СТО, полученные в

двух последних параграфах, приведу.

Существуют элементарные частицы, называемыми мезонами. Эти частицы нестабильны, то

есть через короткое время порядка микросекунды они распадаются на другие частицы.

Время жизни приведено практически для покоящихся частиц, то есть мезон, физик,

измеряющий время и часы находились в одной системе отсчета. То есть это собственное

время мезона. Опыт показывает, что мезоны (кроме получении их на ускорителях) рождается

на высоте около 30 километров при взаимодействии космических лучей с атмосферой.

Казалось бы, что пройти эти десятки километров (а их регистрируют и на поверхности

Земли) за свое время жизни не успеть, если двигаться даже со скоростью света. Почему

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

происходит так можно объяснить с двух точек зрения. С точки зрения наблюдателя на земле

время в системе отсчета, связанной с мезоном течет медленнее и поэтому он живет дольше и

успевает долететь. С точки зрения мезона, летящего с около световой скоростью, расстояние

в 30 км сокращается на столько, что за свое собственное время он успевает долететь до

поверхности.

4. Преобразование скорости. Сложение скоростей.

Преобразования Лоренца (9) можно записать, как для конечных разностей координат (мы

уже этим пользовались при выводах в предыдущих двух параграфах), так и для бесконечно

малых приращений:

dxvdt

dydy

dzdz

dtdx

′′

−

′

′′

−

(16)

Для того чтобы найти, как связаны проекции скорости в различных системах, достаточно

первые три равенства (16) поделить на четвертое и сделать простые алгебраические

преобразования:

dxvdtvv

vvv

dtdx

dydy

vvv

dtdx

vdzdz

vvv

dtdx

ββ

′′′

===

′

′′

′

−

′

−

===

′

′′

−−

===

′

′′

(17)

Чтобы получить обратные преобразования, надо поменять местами штрихованные величины

с нештрихованными и везде перед

поставить минус, так как, если считать систему

′

неподвижной, то система К будет двигаться в отрицательном направлении оси

′

. Выпишем

их для удобства дальнейшего изложения:

dxvdtvv

vvv

dtdx

dydy

vvv

dtdx

vdzdz

vvv

dtdx

ββ

′

−−

′

===

′

−−

−

′

−

′

===

′

−−

′

−−

′

===

′

−−

(18)

Вспомним преобразования Галилея для скорости:

′

vvv

Если все скорости направлены в одном направлении, то можно выбрать направление оси X в

этом же направлении. Тогда последнее равенство можно записать в проекциях на эту ось:

vvv

′

(19)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Сравнивая (19) с первой формулой преобразований (17), видно, что по Эйнштейну скорость

в неподвижной системе оказывается всегда меньше, чем по Галилею. Если частица двигалась

относительно

′

уже со скоростью света, то ее скорость в неподвижной системе не станет

больше:

cvcv

vcc

===

(20).

Таким образом, скорость света является предельной (максимальной) скоростью любого

сигнала или передачи взаимодействия.

Рассмотрим одну задачку. Она интересна тем, что на нее следует всегда неправильный

ответ. Предположим, что мимо неподвижного наблюдателя пролетает светящийся куб с

ребром а. Что увидит неподвижный наблюдатель, когда кубик будет пролетать над ним?

Пока все студенты отвечали примерно, по сути, так (с небольшими вариациями в

изложении): продольный размер уменьшится и станет равным

=−

два других ребра, перпендикулярных оси X, не изменяться. Следовательно, наблюдатель

увидит параллепипед. И такой радостный вид, какой простой вопрос достался! Ответ

неправилен. Я скажу здесь только одно. Вычислить размеры тела, используя преобразования

Лоренца это одно, а увидеть совсем другое. А что надо делать, чтобы узнать правильный

ответ?… Догадались?... Молодцы.

5. Четырехвекторы.

В первом параграфе мы три пространственных координаты и произведение времени на

скорость света пронумеровали как четыре координаты абстрактного четырех мерного

пространства (3). Там же было сказано, что построение релятивисткой механики (механик

движения частиц, движущихся с около световыми скоростями) гораздо проще именно в

таком абстрактном пространстве. Преобразования Лоренца являются формулами,

связывающими координаты двух систем отсчета движущихся относительно друг друга.

Пришло время расширить понятие о свойствах такого четырех мерного пространства. Как и

в трех мерном пространстве, в нем можно ввести понятие радиус-вектора. В декартовом

евклидовом пространстве модуль радиус-вектора равна:

222

у z

=++

причем длина радиус-вектора не будет зависеть от системы отсчета. Если мы по аналогии

введем модуль радиус-вектора в четырех мерном пространстве, как квадратный корень из

суммы квадратов четырех координат, то его длина не окажется постоянной. Но если его

ввести в виде:

(4)2222

1234

rxxxx

=++−

(21),

то во всех системах отсчета его длина будет одинакова. Убедитесь сами, что,

воспользовавшись преобразованиями Лоренца (8) получается равенство:

(4)22222222(4)

12341234

rxxxxxxxxr

′′′′′

=++−=++−= (22).

Пространства, в котором вместо суммы квадратов всех координат, стоит один член с

минусом называются псевдоевклидовыми.

Введем понятие вектора в четырех мерном пространстве. Будем наыватть четырехветорами

объекты, которые преобразуются так же, как координаты четырех мерного пространства.

Выпишем прямые и обратные преобразования компонент (проекций) произвольного

четырехвектора:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

′′

−

′

′′

−

′

−

′

−

′

−

(23)

Как видите, по форме это те же преобразования Лоренца (8), в которых вместо координат

стоят соответствующие проекции векторов, так как

имеет тот же смысл, то

релятивистские корни в (23).такие же, как и в (8). Из-за совпадений преобразований (8) и (23)

вытекает:

22222222

12341234

AAAAAAAA

′′′′

++−=++− (24).

Последнее равенство можете проверить и непосредственными вычислениями.

6. Интервал.

В четырех мерном пространстве частица не может покоиться, так как одна ось этого

пространства ct, а время нельзя остановить. Точку в этом пространстве, задаваемую

четырьмя координатами будем называть мировой точкой, а траекторию движения мировой

линией.

Расстояние между двумя мировыми точками естественно определить как

222222222

21212121

()()()()()()()()

rxyxctxxyyzzctt

∆=∆+∆+∆−∆=−+−+−−−

Однако не эту величину выбрали за меру расстояния, а величину

∆

, умноженную на

мнимую единицу, что эквивалентно вычитанию не из конечных координат начальных, а

наоборот. Практически от этого ничего не меняется, так как все разности возводятся в

квадрат. Но такой выбор удобней, так как в этом случае модули физических векторов

положительные действительные величины, не мнимые. Расстояние между двумя мировыми

линиями с учетом изменения знака называется интервалом:

2222

()[()()()]

Sctxyx

∆=∆−∆+∆+∆ (25)

Преобразуем это выражение для бесконечно малого перемещения в пространстве:

222

2222

()()() 1

11()1

()

dxdydx

dlv

dScdtcdtcdt

cdtcdtc

=−=−=−

(26)

Два последних сомножителя есть не что иное, как собственное время, определенное в

третьем параграфе. Поясню это. Поставьте себя на место частицы. За время по своим часам

вы переместились на бесконечно малое расстояние

. А время, отсчитываемое по своим

часам, мы и назвали собственным временем. Все величины (и в дальнейшем тоже) не

изменяющиеся при переходе из одной системы в другую мы будем называть инвариантами.

К таким величинам, уже известных нам, относится скорость света и радиус-вектор в четырех

мерном пространстве. Но из последнего следует, что интервал является также инвариантом.

Очень полезно убедиться в этом непосредственными вычислениями, используя

преобразования Лоренца. Понятно, что алгебраическая комбинация инвариантных величин

есть также инвариант. Следовательно, собственное время является инвариантом:

= или

∆

=∆

(27)

Мне кажется, что по-другому и быть не могло. Что такое собственно

время? Это время, отсчитываемое наблюдателем по своим часам. Но

если вся цивилизация приняла и использует единый эталон времени,

как может быть собственное время разным, пока все наблюдатели

находятся в инерциальных системах?

Мы не можем нарисовать четыре ортогональных оси четырех

мерного пространства и должны довольствоваться рисунками для

двух, каких либо выбранных, осей, то есть рассматривать движение

частицы в какой либо плоскости. Выберем оси

xct

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

По прямой А частица двигается со скоростью света. Она может двигаться по прямой В. В

этом случае она двигается с меньшей скоростью. Но траекторий с наклоном к оси Х быть не

может, так как скорость света является максимальной. Если вернутся к четырех мерному

пространству, то его можно разбить на три области: конус, вершина которого находится в

начале координат, а поверхность образуется линией А (см. рис. выше), если ее вращать

вокруг вертикальной оси. Второй конус получается, если вращать вокруг той же оси

продолжение линии А ниже начала координат, То есть два конуса, поставленных друг на

друга с вершинами в начале координат. Внутри этих конусов и лежат допустимые

траектории частиц.

Вернемся к введенному выше интервалу, причем первую точку будем считать началом

координат, а вторую произвольной. Тогда интервал примет вид:

22222

()

Sctxyx

=−++

Подкоренное значение может положительным, отрицательным и равным нулю. Если оно

положительное, то интервал вещественен (или действительное число больше нуля), то такой

интервал называется времениподобным. Если подкоренное выражение отрицательно, то

интервал есть мнимое число. И, главное, при переходе в другие инерциальные системы

нельзя изменить свойства интервала. Если интервал равен нулю, то он описывает движение

частицы со скоростью света. И мы непосредственными вычислениями получили, что при

сложение скоростей, одна из которых скорость света, получается снова скорость света.

Сделали лишнею, но полезную работу.

Что из выше сказанного вытекает? Чтобы было понятней, отвлечемся от физики и

рассмотрим чисто бытовую ситуацию. Два соседа поздно вечером крупно повздорили. Один

из них пригрозил другому всяческими бедами. На том и разошлись. У соседа, которому

пригрозили, в эту же ночь сгорела дача. Естественно, он обвинил в поджоге соседа, который

ему угрожал бедами. Но, если они расстались в 23-00, а дача загорелась в полночь, причем

она находилась в 150 км от города, то его обвинения никто не будет слушать, так как за один

час, угрожающий сосед никакими способами не смог бы добраться до дачи и поджечь ее. Это

означает, что ссора не могла быть причиной поджога. Или выражаясь математическим

языком, два события: ссора и поджог являются причинно связанными событиями, а являются

событиями независимыми. Но, если бы дача загорелась в три часа ночи, то теоретически

поджечь дачу мог угрожающий сосед. И ему пришлось бы искать алиби.

Поэтому, если интервал, связывающий две мировые точки в какой нибудь системе

времениподобный, то два события в этих точках могут быть причинно связанными (но,

конечно, необязательно). Кроме этого, всегда может быть найдена такая система отсчета, что

эти два события будут иметь одинаковые пространственные координаты. Но в вех системах

отсчета события будут происходить в разное время. Если первое событие произошло при

t=0, а второе, происходит при t больше нуля, то вторая точка попадет внутрь объема

верхнего конуса. Если второе событие произошло при времени меньше нуля, то эта точка

будет находиться внутри нижнего конуса. Поэтому мировые точки, находящиеся внутри

верхнего конуса называют абсолютно будущими, а точки, находящиеся внутри нижнего

конуса абсолютно прошедшими. Соответственно эти области пространства называют

абсолютно будущими или абсолютно прошедшими.

Во всей остальной области пространства (вне рассмотренных внутренних областях

световых конусов) интервалы пространственноподобные (мнимые). События, произошедшие

в дух разных мировых точках всегда независимы, так как для того, чтобы попасть из одной

точки в другую, надо двигаться быстрее скорости света, что невозможно. Однако всегда

можно найти две системы отсчета, в которых события произошли в одно и то же время, но

эти точки всегда имеют разные пространственные координаты. Вся эта область пространства

получила название абсолютно удаленной (из-за того, что нельзя совместить точки).

На этом мы закончим изучение свойств четырех мерного пространства, которое называют

пространством Минковского. В следующей главе мы перейдем к изучению релятивистской

динамики.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com