Лекции по динамике вращательного движения

Филиал 3 курс 5 семестр

Лекция 3: Динамика вращательного движения

План:

1. Момент инерции материальной точки.

2. Момент инерции системы материальных точек.

3. Теорема Штейнера.

4. Таблица моментов инерции некоторых твердых тел.

5. Момент силы.

6. Момент импульса материальной точки.

7. Связь вектора момента силы и момента импульса.

8. Связь момента инерции, момента силы и момента импульса и ЗСМИ.

9. Работа, совершаемая телом при вращении.

10. Мощность при вращении.

11. Кинетическая энергия вращающегося тела.

1. Момент инерции материальной точки,

 

2

мкгI 

Момент инерции м.т. (

0

I

) относительно полюса – скалярная величина,

равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса:

2

0

mrI 

(1)

(2)

2. Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., тогда момент

инерции системы м.т. равен:





n

i

iiтела

rmI

1

2

, (3)

где

i

m

- масса i - ой м.т.

i

r

- ее расстояние до полюса О.

Моментом инерции системы м.т. или тела относительно полюса называют

алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на

квадрат расстояния их до полюса О.

1

 

2

мкгI 

Филиал 3 курс 5 семестр

3. Теорема Штейнера

Для установления связи между моментом инерции тел относительно двух

параллельных осей применяется теорема Штейнера:

2

mdII

c



(4)

где

I

- момент инерции относительно новой оси

c

I

- момент инерции относительно центра масс

d – расстояние между осями

4. Таблица моментов инерции некоторых твердых тел

(ось проходит через геометрический центр тел)

тело рисунок момент инерции

Однородный стержень

2

12

1

mL=I

Относительно края

стержня:

2

3

1

mL=I

Сплошной цилиндр

радиуса R.

2

mR=I

2

1

Однородный диск

2

mR=I

2

1

Тонкое кольцо

радиуса R.

2

mRI 

Полый цилиндр с

внутренним r и

внешним R радиусами

2

)(

22

rRm

I





Тонкое кольцо

радиусом R и

ширенной d

2

)

6

1

(

22

dRm

I





Сплошной шар _

2

5

2

mRI 

Сфера _

2

mR=I

3

2

Филиал 3 курс 5 семестр

5. Момент силы,

   

мНM 

Вектором момента силы относительно полюса называют векторное произведение

радиус-вектора и вектора силы:

 

Fr=M 

(5)

Направление вектора момента силы находится по правилу

правого винта (см. рис): перенесем вектор

F

параллельно самому

себе так, чтобы совпадали начала векторов

r

и

F

. Если вращать

головку винта в направлении от вектора

r

к вектору

F

, то

поступательное движение винта укажет направление вектора

момента силы

M

.

Модуль вектора момента силы равен:

















FrSinFr=М

, (6)

где

















Fr



- угол между радиус-вектором и линией действия силы.

Момент равнодействующей силы относительно полюса О равен геометрической

сумме векторов моментов составляющих сил относительно того же полюса:

   

)...(

21 n

FFFrFr=M 

(7)

или







n

i

in

MMMMM

1

21

...

(8)

6. Момент импульса материальной точки,

 















с

м

кгL

2

Вектором момента импульса м.т. относительно полюса О называют векторное

произведение радиус – вектора

r

и вектора импульса

p

относительно этого же полюса.

Радиус-вектор

r

проводится от полюса О до м. т.

   

υmr=pr=L 

(9)

Направление вектора момента импульса находится по правилу правого винта и

совпадает с вектором угловой скорости.

Если учесть, что

R





, тогда момент импульса равен:



2

mRL 

или



I=L

(10)

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен

произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Модуль вектора момента импульса равен:

















prSinpr=L

, (11)

3

Филиал 3 курс 5 семестр

Вектор момента импульса системы м.т. от-но полюса О равен геометрической

сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую точку в отдельности от-но

того же полюса О:







n

i

in

LLLLL

1

21

...

(12)

или

   







n

i

iii

n

i

ii

n

i

mrprLL

111

)(



(13)

7. Связь вектора момента силы и момента импульса

Продифференцируем (10) по времени:





























dt

pd

rp

dt

rd

=

dt

Ld

(14)

Т.к. полюс неподвижен, то первое слагаемое равно нулю (т.к. первая производная

перемещения по времени равна скорости). Тогда

p

dt

rd



коллинеарны, а произведение

коллинеарных векторов равно нулю.

Поэтому















dt

pd

r

dt

Ld

(15)

Согласно II закону Ньютона

dt

pd

F 

, (16)

значит (15) будет иметь вид:

 

MFr

dt

Ld



или

M

dt

Ld



(17)

Выражение (17) устанавливает связь между

L

и

p

.

связь между

L

и

p

M

dt

Ld



- производная

вектора момента

импульса по времени

относительно

неподвижного

полюса равна вектору

момента силы,

действующей на эту

м.т. относительно

того же полюса

8. Связь момента инерции, момента силы и момента импульса и ЗСМИ

При вращении м.т. вокруг неподвижной оси выполняется условие:



I=L

Если I изменяется со временем, то получим:

4

Филиал 3 курс 5 семестр

M=

dt

Ld

или

 

MI

dt

d





(18)

Если

constI 

, то

M

dt

d

I 





IM 

(19)



I=M

- основное

уравнение

динамики

вращательного

движения

Закон сохранения момента количества движения: в замкнутой системе тел суммарный

вектор момента импульса остается неизменным.

2211

I



I=

(20)

2211

I



I=

constI 



- закон

сохранения

момента

количества

движения

Закон сохранения момента импульса выполняется, например, при движении планет по

эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Пример, иллюстрирующий справедливость ЗСМИ связан с насаживанием дисков на ось:

9. Работа, совершаемая телом при вращении.

Если м.т. вращается по окружности, то на нее действует сила

F

,

то при повороте на некоторый угол совершается элементарная

работа:

FdsA 



, где



rdds 

5

Филиал 3 курс 5 семестр

Тогда



MddrFA  )(

(21)





2

1





MMdA

(22)

Если действующая сила является потенциальной, то

p

dWA 

, (23)

тогда



MddW

p



(24)



d

dW

M

p



(25)

10. Мощность при вращении

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:



MN 

11. Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия материальной точки

2



m

W

к



. Кинетическая энергия sis

материальных точек





n

i

iiк

mW

1

2

1



. Т.к.

ii

r





, получим выражение кинетической

энергии вращения:

22

1

2

1

22



I

rmW

n

i

ii

вр

k







2



I

W

вр

k



(26)

При плоском движении (цилиндр скатывается

по наклонной плоскости) полная скорость

равна:

 

r

c





, (27)

где

c



- скорость центра масс цилиндра.

Полная

к

W

равна сумме кинетической

энергии поступательного движения его центра

масс и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс,

т.е.:

22



cc

вр

k

пост

k

вр

k

Im

WWW 

(28)

6

Филиал 3 курс 5 семестр

Заключение:

А теперь, рассмотрев весь лекционный материал, подведем итог, сопоставим

величины и уравнения вращательного и поступательного движения тела:

Поступательное движение Вращательное движение

Масса

m

Момент инерции

I

Путь

S

Угол поворота



Скорость

dt

ds





Угловая скорость

dt

d







Импульс



mP 

Момент импульса



IL 

Ускорение

dt

d

a





Угловое ускорение

dt

d







Равнодействующая

внешних сил

F

Сумма моментов внешних

сил

M

Основное уравнение

динамики

dt

dp

maF 

Основное уравнение

динамики

dt

dL

IM 



Работа

Fds

Работа вращения



Md

Кинетическая энергия

2



m

Кинетическая энергия

вращения

2



I

7

Филиал 3 курс 5 семестр

Приложение 1:

Пример:

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n

1

=0,5 c

-1

. Момент

инерции J

O

тела человека относи-

Рис. 3.5

тельно оси вращения равен 1,6 кг м

2

. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая.

Расстояние между гирями l

1

=l,6 м. Определить частоту вращения n

2

, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние

l

2

между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

8

Лекции по динамике вращательного движения

Подождите немного. Документ загружается.