Лекции - Надежность информационных систем

Подождите немного. Документ загружается.

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные определения и термины

Возникновение отказов в информационных системах зависит от разных факторов и носит

случайный характер. Поэтому для количественной оценки различных характеристик систем используются

вероятностные методы.

В теории вероятностей случайной называется величина, которая в результате опыта может принять

то или иное значение, предугадать которое заранее и достоверно невозможно.

Событием в теории вероятностей считается всякий факт, который в результате опыта может

произойти, а может и не произойти.

Для количественного сравнения между собой событий по степени их возможности используется

определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется

вероятностью события.

В практике о вероятности события судят по частоте его появления. Если

в n опытах событие А появилось m раз, то его частота или статистическая вероятность может быть

определена соотношением

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет. Вероятность невозможного

события равна нулю.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет. Вероятность достоверного

события равна единице.

Вероятность произвольного случайного события изменяется от нуля до единицы.

Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в

единичном опыте это событие не наступит. Очень малая вероятность – это значения, заключенные между

0,01 и 0,05. Это свойство называется принципом практической невозможности маловероятных событий.

При неограниченном увеличении числа опытов статистическая вероятность сходится по вероятности

к математической, т.0е. частота с вероятностью сколь угодно близкой к единице, приближается к математической

вероятности Р(А).

Если исходы (результаты) испытаний единственно возможны и равновозможны, математическая

вероятность события А может быть вычислена по формуле:

где 0n – общее число равновозможных элементарных исходов испытаний;

m – число благоприятных исходов, в которых появляется событие А.

При вычислении величин m и n используется теория сочетаний.

Число сочетаний из m элементов по n вычисляется по любой из двух формул:

,000000000000000000000000000000000000000000000000 (2.1)

.0000000 000000000000000000000000000000(2.2)

Примеры:

; 0 ; 0 .

Гипергеометрическое распределение

При решении задач контроля качества продукции используется гипергеометрическое распределение

.000 000000000000000000000000000000000000000000(2.3)

Из группы в n элементов, состоящих из m элементов одного типа и (n – m) элементов другого типа,

берется наугад группа из r элементов. Определяется вероятность того, что среди r элементов будет k

элементов первого типа.

Основные теоремы теории вероятностей

Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут

появиться вместе.

Теорема сложения утверждает, что если события A и B несовместны, то вероятность появления

одного из них, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Следствие.

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично

какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Во многих реальных ситуациях событие А может произойти вместе с одним из событий Н

, Н

, …,

, образующих полную группу событий. Эти события называются гипотезами.

Безусловная вероятность P(A) события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой

гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

000000000000000000000000000000000000 (2.4)

Данная формула называется формулой полной или средней вероятности.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н

, Н

, …, Н

. Вероятности этих гипотез до

опыта известны и равны соответственно , …, . Произведен опыт, в

результате которого наблюдается появление некоторого события А. Условные вероятности гипотез после

опыта определяются по формуле Бейеса.

.0000000000000000000000000000000000000 (2.5)

(i = 1, 2, ..., n).

Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известен

результат испытания, в итоге которого появляется событие А. Если в результате испытания прибор вышел

из строя, гипотезы Н

и Н

становятся невозможными. Необходимо выяснить и устранить причины отказа

прибора.

Расчет вероятностей при многократных испытаниях

Несколько опытов называют независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из

опытов не зависит от исходов других опытов.

Пусть вероятность появления события A во всех независимых опытах одна и та же и равна р. В

таком случае, вероятность появления события A в n опытах m раз определяется по формуле Бернулли:

000000000000000000000000000000000000 (2.6)

Если число испытаний велико, а вероятность появления события Р в каждом испытании очень мала,

пользуются формулой Пуассона:

,000000000000000000000000000000000000000000000000 (2.7)

где 0m – число появлений события в n испытаниях;

0– среднее число появлений события в n испытаниях.

Формула Пуассона именуется законом редких явлений.

0Если число независимых опытов n в формуле Бернулли велико, пользуются асимптотической

формулой Лапласа:

,000000000000000000000000000000000 0(2.8)

где



Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то

вероятность 0того, что событие А появится в n испытаниях от К

до К

раз, приближенно

равна определенному интегралу:

(2.9)

где 0

0и 0– интегралы Лапласа, величины интегралов определяются по таблице.

Простейший поток событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные

моменты времени.

Простейшим (Пуассоновским) называют поток событий, обладающий свойствами стационарности,

отсутствия последействия, ординарности.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления событий не зависит от выбора

отсчета времени.

Свойство отсутствия последействия заключается в том, что предыстория потока не сказывается на

вероятности появления события в ближайшем будущем.

Ординарность потока означает, что вероятность появления двух событий одновременно отсутствует

Интенсивностью потока  называется среднее число событий, которые появляются в единицу

времени.

Если интенсивность потока постоянна, то вероятность появления К событий простейшего потока за

время t определяется формулой Пуассона:

0000000000000000000000000000000000000000 (2.10)

Законы распределения случайных величин

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Дискретной называют величину m, принимающую конечное или счетное число значений.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение,

устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их

появления. Закон распределения может быть задан в табличной форме. Например:

X 2 9 7 6

p 0.5 0.2 0.2 0.1

Непрерывной является величина, которая может принимать любое значение из некоторого

конечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины n бесконечно.

Вероятность того, что непрерывная величина примет определенное значение, равна нулю.

, так как n  .

Поэтому интегральной функцией распределения называется функция вида

Функция распределения существует как для дискретных, так и для непрерывных величин и

характеризует вероятность события Х < x, где х – текущая переменная.

Свойства функции распределения.

1. F(x) – возрастающая функция.

2. .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a, b], то F(x) = 0 при

x  a, F(x) = 1 при x  b.

Производная интегральной функции называется дифференциальной функцией распределения,

плотностью распределения или плотностью вероятностей. Плотность распределения существует только для

непрерывных случайных величин.

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, которая полностью описывает

случайную величину с вероятностной точки зрения.

Однако на практике достаточно указать параметры, характеризующие в сжатой форме случайную

величину. Это математическое ожидание и дисперсия. Для дискретной величины математическое ожидание

– это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений.

,000000000000000000000000000000000000000000000 (2.11)

для непрерывной величины

,00000000000000000000000000000000000000000 (2.12)

где 0– плотность распределения величины х.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание

квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

.000000000000000000000000000000000000000 0(2.13)

Пусть случайная величина задана законом распределения

Х x

…. x

p p

…. p

По определению дисперсии

(2.14)

Для непрерывной случайной величины

.00000000000000000000000000000 (2.15)

Среднеквадратичное отклонение случайной величины

.0000000000000000000000000000000000000000000000 (2.16)

На практике приходится определять численные характеристики случайной величины по

ограниченному объему статистических данных.

Статистическое математическое ожидание (среднее значение):

,0000000000000000000000000000000000000000000000 (2.17)

где n – количество экспериментальных данных.

Статистическая дисперсия:

.0000000000000000000000000000000000000 (2.18)

Возможно получить еще одну формулу для вычисления дисперсии:



Еще знаменитый астроном-наблюдатель Тихо Браге (1546 – 1601) обратил внимание на то, что

точность измерений значительно повышается, если произвести несколько измерений и взять из них среднее

арифметическое. Этот эмпирический факт объясняется теоремой Чебышева. Теорема Чебышева утверждает:

если x

, x

, … , x

– попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое

ожидание М и если дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С),

то, как ни мало 0>00, вероятность неравенства 0будет сколь угодно близка к

единице, если число случайных величин достаточно велико.

Сущность теоремы Чебышева состоит в том, что при достаточно больших количествах измерений

их среднее арифметическое мало отличается от истинного значения измеряемой величины. Истинное

значение равно математическому ожиданию величины.

На теореме Чебышева основан выборочный метод, суть которого состоит

в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых

объектов. Например, о качестве зерна судят по небольшой его пробе. Число наудачу отобранных зерен мало

по сравнению со всей массой зерна, но само по себе велико.

Обработка результатов измерений

Пусть над случайной величиной Х производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом

из этих опытов случайная величина Х принимает определенное значение. Совокупность наблюдаемых

значений величины называется простым статистическим рядом. Оформляется ряд в виде таблицы, в первой

строке которой стоит номер опыта, а во второй – наблюдаемое значение случайной величины.

Например, испытываются 16 приборов, и фиксируется время работы прибора до выхода его из

строя. По результатам опыта строится табл. 2.1, где

в первой строке записывается номер прибора, во второй строке – время работы его Т

в часах.

Таблица 2.1

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

,ч 2 4 1 8 60 50 40 10 15 20 28 30 35 100 80 70

Ряд, записанный в порядке возрастания случайной величины, называется вариационным. В табл. 2.2

приведен вариационный ряд, полученный из табл. 2.1.

Таблица 2.2

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

, ч 1 2 4 8 10 15 20 28 30 35 40 50 60 70 80 100

При большом числе наблюдений простой статистический ряд становится слишком громоздким. Для

большей наглядности и компактности статистический материал подвергается дополнительной обработке.

Строится статистический ряд. Диапазон наблюдаемых значений величин вариационного ряда делят

на интервалы или разряды. Подсчитывают количества значений m

, приходящихся на каждый i-й разряд. Это

число делится на общее число наблюдений n. Находится статистическая вероятность ,

соответствующая данному разряду. Длины разрядов чаще всего берут одинаковыми. В табл. 2.3 представлен

статистический ряд, полученный из табл. 2.2.

В первой строке таблицы записывают интервалы времени t в часах. Во второй строке – число

сломавшихся приборов в данном интервале – m

. В третьей строке – статистическая вероятность в данном

интервале – .

Таблица 2.3

t, ч 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100

7 4 2 2 1

7/16 4/16 2/16 2/16 1/16

Математическое ожидание и дисперсия статистического материала, представленного в виде

статистического ряда, определяются по формулам:

,000000000000000000000000000000000000000000 00000(2.20)

,00000000000000000000000000000000000000000 (2.21)

где 0 0– представитель разряда: среднее значение случайной величины в данном разряде;

0– частота или статистическая вероятность разряда;

К – число разрядов.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Термины и определения в области надежности

Под надежностью понимают свойство сохранять во времени в установленных пределах значения

всех параметров, характеризующих нормальную работоспособность объекта. В понятие надежности входят

такие свойства объекта, как безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость.

Полная или частичная утрата работоспособности прибора называется отказом. Свойство прибора

сохранять работоспособность в течение заданного времени в определенных условиях эксплуатации

называется безотказностью.

Отказы могут быть различного вида и по разным причинам. Внезапный отказ возникает в

результате скачкообразного изменения одного или нескольких основных параметров из-за скрытого

дефекта. Постепенный отказ является результатом постепенного изменения этих параметров, например, за

счет старения. Полный отказ делает невозможным дальнейшее использование элемента. Частичный отказ

позволяет хотя бы частично использовать элемент. Причинами отказов могут быть ошибки или

несовершенство конструкции, нарушения или несовершенства технологического процесса изготовления, а

также нарушения правил эксплуатации и непредусмотренные внешние воздействия. Соответственно,

различают технологические, конструкционные и эксплуатационные отказы.

Долговечность (срок службы) определяется обычно тем, что главный параметр (или несколько

параметров) с течением времени ухудшается, т.0е. значение его становится минимально допустимым. Тогда

элемент подлежит замене.

Ремонтопригодность является свойством элемента, характеризующим его приспособленность к

предупреждению, обнаружению и устранению отказа.

Сохраняемость – это свойство элементов оставаться работоспособными в процессе хранения и

транспортировки.

В зависимости от конкретных систем и условий их эксплуатации, эти свойства могут иметь

различную относительную значимость.

Основные показатели надежности невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем

Для невосстанавливаемых систем, чаще всего, используются четыре показателя надежности:

вероятность безотказной работы P(t), плотность вероятности отказов (частота отказов) f(t), интенсивность

отказов λ(t), среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) T

Вероятность безотказной работы P(t) есть вероятность того, что время работы системы до отказа

окажется больше заданного времени t.

,000000000000000000000000000000000 (3.1)

где 0Т – случайное время работы системы до отказа или наработка на отказ;

0– интегральная функция распределения случайной величины Т (T < t).

Иногда пользуются понятием вероятности отказов Q(t):

.0000000000 0000000000000000000000000000(3.2)

Если P(t) – надежность системы, то Q(t) – ненадежность системы.

Плотность вероятности, или частота отказов, является дифференциальной функцией распределения.

.00000000000000000 000000000000000000(3.3)

Интенсивность отказа λ(t) – это отношение плотности вероятности к вероятности безотказной

работы:

,00000 00000000000000000000000000000000(3.4)

откуда

0если λ = const, 00000000000000000000(3.5)

Среднее время безотказной работы системы – это математическое ожидание времени работы

системы до отказа:

Пределы несобственного интеграла изменяются от 0 до ∞, так как время не может быть

отрицательным.

Интегрируем по частям, получим

000 000000000000000000000000(3.6)

, так как при верхнем пределе P(t) быстрее стремится к нулю, чем t стремится к

бесконечности.

На рис. 3.1 изображена зависимость вероятности безотказной работы от времени. В начальный

момент вероятность Р равна единице. В конце времени работы системы Т вероятность равна нулю.

Показатели надежности функционально связаны между собой: зная одну из функций P(t), Q(t), f(t),

λ(t), можно определить три остальные.

Статистические показатели надежности невосстанавливаемых систем, получаемые из

экспериментальных данных, можно определить по следующим формулам:

/- статистическая вероятность безотказной работы

,000000000000000000000000000000000000000000000000000 (3.7)

где 0N – число объектов в начале испытаний;

– число объектов, отказавших за время t

Под частотой отказов элементов понимают число отказов в единицу времени, отнесенное к

первоначальному количеству поставленных на испытания элементов.

- статистическая частота отказов

,0000000000000000000000000000000000000000000000000000 (3.8)

где 0n

– число отказов в интервале времени ∆t

;

N – число испытуемых элементов;

∆t

– время испытаний.

При этом отказавшие в процессе испытаний элементы не заменяются новыми, и число работающих

элементов постепенно уменьшается.

В отличие от частоты отказов, интенсивность отказов характеризует надежность объекта в данный

момент времени, т.0е. его локальную надежность.

Под интенсивностью отказов понимают число отказов в единицу времени, отнесенное к среднему

числу элементов, безотказно работающих в данный промежуток времени. При этом отказавшие элементы не

заменяются.

- интенсивность отказов:

,0000000000000000000000000000000000000000000000000000 (3.9)

где 0n

– число отказов за время ∆t

;

0– среднее число работоспособных элементов;

– число элементов, работоспособных в начале рассматриваемого промежутка времени;

i+1

– число элементов, работоспособных в конце промежутка времени ∆t

Интенсивность отказов в течение длительной эксплуатации не остается постоянной. В начальный

период времени



имеет большее значение вследствие скрытых дефектов, не обнаруженных из-за

несовершенства производственного контроля и возможных нарушений правил эксплуатации при

первоначальной наладке объекта. Затем значение интенсивности отказов уменьшается и остается почти

постоянным в течение длительного срока. В конце срока службы λ возрастает из-за старения элементов

устройства. На рис. 3.2 изображена зависимость интенсивности отказов от времени.

Среднее время безотказной работы, или средняя наработка на отказ, определится по данным

испытаний, как

00000 (3.10)

где t

– время исправной работы i-го элемента;

N – общее число испытуемых элементов.

При большом количестве элементов формула (3.10) становится слишком громоздкой. Используется

другой способ вычисления среднего времени

00000000000 0000000000000000000000000000000000(3.11)

где 0n

– количество отказавших элементов в интервале времени ∆t = t

i+1

- t

;

– время в начале i-го интервала;

i+1

– время в конце i-го интервала;

0– среднее время в i-ом интервале;

0– число интервалов или разрядов;

– время, в течение которого отказали все элементы.

Основные показатели надежности восстанавливаемых (ремонтируемых) систем

Для восстанавливаемых систем характерно чередование времени исправной работы и времени

восстановления (ремонтов).

Система, проработав случайное время t

, выходит из строя. После отказа происходит

восстановление, и система работает вновь время t

до отказа. Этот процесс продолжается неограниченно.

Полагаем, что время восстановления пренебрежимо мало по сравнению со временем работы. Можно

считать, что восстановление происходит мгновенно. Отказавший, испорченный элемент немедленно

заменяется новым. Элемент после восстановления имеет такую же надежность, что и в начальный момент.

Пусть интервалы времени безотказной работы между двумя соседними отказами распределены по

экспоненциальному закону. Тогда вероятность того, что за промежуток времени t в системе произойдет n

отказов, определится по формуле Пуассона:

, (n = 0, 1, 2, 3, …),

где λ – среднее число отказов в единицу времени или интенсивность отказов,

λ = const;

λ = Λ, где Λ – параметр потока отказов. Этот параметр определяется по статистической формуле:

,0000000000000000000000000000000000000000000000 (3.12)

где N – общее число отказавших элементов, или число восстановлений, остается неизменным.

Отказавшие элементы заменяются новыми.

Поток отказов восстанавливаемой системы является простейшим, пуассоновским.

Для ремонтируемых объектов удобным для практики критерием надежности является среднее время

работы между двумя соседними отказами или наработка на отказ Т

Значения этого параметра определяются по результатам обработки статистического материала,

полученного в ходе эксплуатации или экспериментов.

Если устройство проработало суммарное время t

∑

и имело при этом n отказов в работе, то наработка

на отказ

.000000000000000000000000000000000000000000000000 (3.13)

Если испытывались N однотипных объектов, то необходимо просуммировать время исправной

работы по всем объектам и разделить его на общее число отказов:

.00000000000000 00000000000000000000000000000000(3.14)

Для простейшего потока параметр потока отказов определяются по формуле:

.0000000000000000000000000000000000000000000000 (3.15)

Восстановление отказавшего элемента часто требует времени, которым нельзя пренебречь. Среднее

время восстановления системы Т

– это математическое ожидание продолжительности восстановления

системы после отказа, т.0е. среднее время вынужденного, нерегламентированного простоя, вызванного

отысканием и устранением отказа.

000000000000 00000000000000000000000(3.16)

где 0Р

– плотность вероятности времени восстановления;

– функция распределения времени восстановления.

Основной характеристикой восстанавливаемой системы является коэффициент готовности.

Коэффициент готовности К

для установившегося режима эксплуатации определяется как вероятность того,

что система будет исправна

в произвольно выбранный момент в промежутках между плановыми техническими обслуживаниями

.000000000000000 00000000000000000000000000000000(3.17)

Формулы для статистических оценок времени восстановления 0и коэффициента готовности

0имеют вид:

000000000000000 0000000000000000000000000000000000000(3.18)

,0000000000000 00000000000000000000000000000000000000000(3.19)

где N – число восстановлений системы;

Вi

– время восстановления (ремонта) системы после i-го отказа.

Законы распределения, используемые при оценке надежности

Закон распределения определяется видом аналитических функций, описывающих показатели

надежности: P(t), f(t), λ(t). Закон распределения случайной величины выбирается в зависимости от свойств

объекта, условий его работы, характера отказов.

Согласно распределению Вейбулла, вероятность безотказной работы определяется по формуле

000000000000000 0000000000000000000000000000(3.20)

где λ

и В – параметры.

Частота отказов

0000 000000000000000(3.21)

Интенсивность отказов

λ = λ

· B · t

B-1

.000000000000000000000000000000000000000000000 (3.22)

Среднее время безотказной работы

000000 0000000000000000000000000000(3.23)

где 0– табулированная гамма-функция.