Лекции - Исходные положения кинематики жидкости
Подождите немного. Документ загружается.
Г л а в а 3
Исходные положения кинематики жидкости
3.1 Линии и трубка тока; понятие расхода
В кинематике используется лишь одно свойство, присущее всякой
сплошной среде; это – непрерывность*
)
. Математически это означает, что
параметры жидкости – скорость w и давление p можно рассматривать как
непрерывные (дифференцируемые) функции координат пространства x,y,z и
времени t (Л. Эйлер):
w = w(x,y,z,t)
p = p (x,y,z,t). (3.1)
Здесь x,y,z - координаты фиксированных точек пространства, мимо
которых проходят различные частицы жидкости.
**)
Если w и p в любой фиксированной точке пространства остаются
неизменными во времени, т.е. являются функциями только координат x,y,z,
течение называется установившемся. Если w и p зависят от времени - течение
неустановившееся.
Характер наблюдаемого течения зависит от выбора системы координат.
___________________________
*
)
Теория жидкости и газа допускает в ряде случаев существование особых точек,
линий, поверхностей, где непрерывность может нарушаться. Таковы, например, ударные
волны (см. ниже).
**
)
В механике И. Ньютона рассматривались координаты движущихся
материальных точек(частиц). Такой метод анализа для сплошной среды обычно оказывается
менее удобным.
21
Для наблюдателя на берегу вода в озере, по которому равномерно
прямолинейно движется лодка, оказывается возмущенной все в новых и новых
точках пространства; движение частиц воды в этом случае воспринимается как
неустановившееся. С позиции наблюдателя, находящегося в лодке, картина
движения воды будет стационарной, установившейся.
Мгновенную картину течения (фотографию) представляют линии тока,
каждый элемент dl которых совпадает по направлению с вектором скорости
w. Скорость w направлена по касательной в каждой точке линии тока.
Математически это условие означает равенство нулю векторного
произведения.
dl w*
i j k
dx dy dz
w w w
x y z
i(dyw
z
-dzw
y
)+j(dzw
x
-dxw
z
)+k(dxw
y
-dyw
z
)=0,
откуда следует
:
dx
w w w
x y z
=
dy
=
dz
.
(3.2)
Это и есть уравнение линий тока.
Уравнение для траектории жидкой частицы (следа ее перемещения)
вытекает из очевидного равенства для элементарного перемещения
dr = wdt,
или
dx
w w w
x y z
=
dy
=
dz
= dt.
(3.3)
При установившемся течении линии тока и траектории совпадают.
Если провести линии тока через точки малого контура, то образовавшаяся
трубчатая поверхность называется трубкой тока (см. рисунок 3.1). Часть
22
потока, заключенная внутри трубки тока, называется струйкой; при
уменьшении поперечных размеров струйка превращается в линию тока.
Поверхность в пределах потока жидкости, перпендикулярная в каждой
своей точке вектору скорости, называется живым сечением (сечением) потока.
Скорости в пределах живых сечений элементарной струйки принимаются
постоянными для каждого сечения.
л и н и и т о к а
т о р ц е в ы е ( " ж и в ы е " ) с е ч е н и я
т р у б к и т о к а
d f
d f
б о к о в а я п о в е р х н о с т ь
( н е п р о н и ц а е м а я , " м е р т в а я " )
f
1
1
2
б
2
W
W
Р и с у н о к 3 . 1 . Т р у б к а т о к а
Боковая поверхность трубки тока непроницаема для жидкости, т.к.
вектор скорости касателен к ней.
*)
Поверхность, соприкасающаяся с потоком жидкости, называется
смоченной поверхностью.
Объем жидкости, протекающий через (живое) сечение струйки в единицу
времени, называют элементарным объемным расходом
dQ = wdf [м
3
/c ].
Рассматривая поток жидкости в трубе или канале, считают его состоящим
из большого числа элементарных трубок, так что в этом случае объемный
расход через (живое) сечение
Q = dQ= wdf ** [м
3
/ c] (3.4)
f f
Q=wdfw
n
df wcosdf w
x
dydz +w
y
dxdz + w
z
dxdy
(3.4
1
)
f f f f
x
f
y
f
z
где df
x
= dydz; df
y
= dxdz; df
z
= dxdy – проекции df на оси координат.
*В этом смысле её можно назвать “мертвой”.
23
**Такими зависимостями пользуются в гидравлике, отождествляя рассматриваемое
сечение потока с живым сечением, ортогональным векторам скорости. Более строго
объемный расход Q является потоком вектора скорости w через данную поверхность
(сечение) f (см. рисунок 3.2)
w
d f
f
Z
Y
X
( с к а л я р )
( в е к т о р )
n
Р и с у н о к 3 . 2
Средняя скорость потока по сечению в этом случае определяется так:
w
ср
=
Q
f
[м
3
/c] (3.5)
Кроме объемного Q, используется массовый расход
M = Q, [кг/с], (3.6)
и весовой расход
G = Q [H/c]. (3.7)
Для характеристики торможения потока стенками труб с различной
формой сечения в гидравлике вводится понятие смоченного периметра –
периметр сечения в пределах соприкосновения жидкости со стенками трубы
или канала, и гидравлического радиуса R
Г
,
причем принимается:
R
Г
= f/, [м] (3.8)
Величина R
Г
характеризует компактность (локализацию) сечения потока.
Для круглой трубы радиуса r, например, гидравлический радиус
R
Го
= r
2
/ 2 r = r/2.
24
Для трубы прямоугольного сечения (со сторонами прямоугольника a,b)
R
Г
= ab/2(a + b).
3.2 Уравнение сохранения массы (неразрывности)
Уравнение сохранения массы в гидрогазодинамике называют обычно
уравнением неразрывности (сплошности). Если в потоке между двумя
сечениями количество жидкости не пополняется и не убывает (нет источников
и стоков), то масса протекающей через эти сечения жидкости сохраняется.
Математически это выражается условием неразрывности, отражающим
отсутствие полостей и разрывов в сплошной среде – жидкости, газе.
Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для
одномерного установившегося течения – для элементарной струйки, для
течения в трубе или канале. Если жидкость несжимаема, то сохранение
массового расхода означает сохранение и объемного расхода. Для
элементарной струйки :
dQ = wdf = const, (3.9)
для установившегося потока в трубе или канале для любых сечений вдоль
течения
Q = w
ср
f = const, (3.9
1
)
где w
ср
– средняя по сечению скорость.
В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип
неразрывности требует постоянства массового расхода от сечения к сечению:
M = Q = w
ср
f = const. (3.10)
Одномерные течения, параметры которых зависят только от одной
координаты вдоль потока, изучаются в гидравлике. В гидромеханике (механике
жидкости и газа) рассматриваются более сложные двумерные и трехмерные
потоки, для описания которых используются дифференциальные и
интегральные уравнения.
25
Дифференциальное уравнение неразрывности выведем сначала для
несжимаемой жидкости. Для этого рассмотрим фиксированный в пространстве
элементарный объем dV с ребрами dx, dy,dz, рисунок 3.3.
Рисунок 3.3
Если у левой грани df
x
= dydz (внешняя нормаль n к которой
противоположна оси x) составляющая скорости по оси x равна w
x
, то по
достижении правой грани f
x
(с n по оси x), отстоящей на расстоянии dx, она
станет равной
w
x
+
w
x
x
dx.
Через левую грань df
x
за единицу времени втекает объем жидкости
w
x
df
x
= w
x
dydz,
а через правую грань df
x
вытекает
(w
x
+
w
x
x
dx) df
x
= (w
x
+
w
x
x
dx) dydz.
Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно
w
x
dydz – (w
x
+
w
x
x
dx)dydz = –
w
x
x
dxdydz = –
w
x
x
dV.
26
Аналогично в направлениях y и z приток жидкости составит
–
y
w
y
dV и –
w
z
Z
dV.
Если внутри объема dV нет источников и стоков, т.е. объем жидкости в
нем не меняется, то суммарный приток (расход) жидкости через все грани равен
нулю:
-
w
x
x
dV -
y
w
y
dV -
w
z
Z
dV = 0
или:
w
x
x
+
y
w
y
+
w
z
Z
= 0 (3.11)
Это и есть дифференциальное уравнение неразрывности (сохранения массы)
для несжимаемой жидкости.
Нетрудно заметить, что в уравнении (3.11) также используется оператор
Гамильтона (см. главу 2)
= i
x
+ j
y
+ k
z
, (2.3)
"cкалярно умноженный" на вектора w (или w для расхода массы). Таким
образом, уравнение (3.11) можно переписать в виде
w = 0 (3.11
1
)
или divw = 0. (3.11
11
)
Величина divw называется дивиргенцией (расхождением) вектора w. То же
самое в так называемых тензорных обозначениях:
w
x
i
i
= 0, (3.11
111
)
(i = 1,2,3)
Здесь индекс " i " – "немой" (аналогично переменной интегрирования в
определенном интервале, которая может быть тоже обозначена любым
27
символом;) – он повторяется дважды, пробегает значения 1,2,3,
соответствующие x,y,z, и предполагает суммирование по этим значениям.
Таким образом,
divw w
x
w
x
+
y
w
y
+
z
w
z
w
x
x
+
y
w
y
+
w
z
Z
w
x
i
i
.
В наиболее общем случае неустановившегося течения сжимаемой
жидкости уравнение неразрывности (сохранения массы) имеет вид
t
+
(
w
x
X
)
+
(
w
y
y
)
+
(
w
z
Z
)
= 0; (3.12)
что можно записать так:
t
+ (w) = 0; (3.12
1
)
или так:
t
+ div
w = 0; (3.12
11
)
или так:
t
+
(
w
x
i
i
)
. (3.12
111
)
Для установившегося течения газа
t
= 0 и уравнение (12) упрощается
(
w
x
X
)
+
(
w
y
y
)
+
(
w
z
Z
)
= 0 (3.13)
Для несжимаемой жидкости = const, откуда опять получаем уравнение (3.11).
28