Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Основы теории автоматического управления. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
тая со знаком, соответствующим отрицательной обратной связи; П − произведение, включающее все
замкнутые контуры системы; * − знак обозначает исключение из скобки всех членов, содержащих про-
изведения передаточных функций одних и тех же звеньев, включая и звенья с W(s) = 1.
Пример 5.3 Записать передаточную функцию системы (рис. 5.50) по каналу (х – у).
В структурной схеме объекта по каналу (х – у) имеется один прямой путь (r = 1) с передаточной
функцией W
пр1
(s) = W
1
(s) W
2
(s) и два замкнутых контура (b = 2) с передаточными функциями разомкну-
тых цепей с отрицательными обратными связями:
)()()()()(
4321кр
1
sWsWsWsWsW =
;
)()()(
41кр
2
sWsWsW =
.
Подставляя полученное выражение в (5.90), получают:
[]
[]
∗
∗
))()()()(1))(()(1(
))()()()(1())()(1)(()(
)(
432141
43214121
sWsWsWsW+sWsW+
sWsWsWs+WsWs+WsWsW
=sW
x-y
.
x
W
3
(s)
W
2
(s)
y
W
1
(
s
)
W
4
(s)
Рис. 5.50 Структурная схема технологического объекта
Раскрывая скобки и исключая члены, содержащие передаточные функции общих ветвей, оконча-
тельно получают:
)()()()(+)()(+1
)()(
=)(
432121
21
sWsWsWsWsWsW
sWsW
sW
x-y
.
5.4 Типовые законы регулирования
Законом регулирования называется уравнение, описывающее зависимость между входом регулятора
зад
)()( ytyty −=∆ и его выходом x
р
(t).
Все законы регулирования подразделяются на простейшие: пропорциональный (П), интегральный
(И), дифференциальный (Д) и промышленные: пропорционально-интегральный (ПИ), пропорциональ-
но-дифференциальный (ПД), пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД).
Ниже приводится характеристика всех законов регулирования с точки зрения их динамических
свойств.
5.4.1 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Пропорциональный закон регулирования описывается уравнением
)()(
1p
tyStx ∆−=
, (5.91)
где S
1
– параметр настройки.
Знак (–) отражает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обрат-
ной связи.
Пропорциональным регулятором может служить обычное усилительное звено с изменяемым коэф-
фициентом усиления, включенное в отрицательную обратную связь по отношению к объекту. В связи с
этим динамические характеристики П-регулятора в основном совпадают с характеристиками усили-
тельного звена и имеют вид:
− передаточная функция
1
)( SsW
−
=
; (5.92)
− частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.51:
АФХ
π
=−=ω
i
eSSiW
11
)( ; (5.93)
АЧХ
1
)( SM
=
ω
; (5.94)
ФЧХ
π
=
ω
ϕ
)( . (5.95)
M
ω
0
а)
s
1
ϕ
ω
0
π
б)
Im
Re
0
в)
-s
1
Рис. 5.51 Частотные характеристики П-регулятора:
а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ
∆
y
t
0
а)
s
1
-h
t
0
∆
y
t
0
б)
–
w
t
0
δ
(t)
s
1
δ
(t)
Рис. 5.52 Переходные характеристики П-регулятора:
а – переходная функция; б – весовая функция
Переходная функция (рис. 5.52, а):
)(1)()(
1p
tStxth −==
. (5.96)
Весовая функция (рис. 5.52, б):
)()(
1
tStw
δ
−
=
. (5.97)
Для того, чтобы выяснить недостатки и достоинства того или иного закона регулирования, необхо-
димо рассмотреть переходный процесс замкнутой системы.
Переходный процесс АСР с П-регулятором, изображенный на рис. 5.53, характеризуется тем, что
имеется статическая ошибка регули рования, равная y
уст
– y
зад
. Действительно, по теореме о конечном
значении функции можно записать:
y
t
y
уст
y
зад
Рис. 5.53 Переходный процесс АСР с П-регулятором
)()(lim)(lim)(lim
зс
00
sWssxssyty
sst →→∞→
=
=
,
так как x(s) =
s
1
;
1об
об
роб
об
зс
)(1
)(
)()(1
)(
)(
SsW
sW
sWsW
sW
sW
+
=
+
=
,
то
1об
об
1об
об
1)(1
)(
1
)(lim
Sk
k
SsW
sW
s
s
ty
t
+
=
+
=
⋅
=
∞→
, (5.98)
если
об
0
об
)(lim ksW
s
=
→
.
Таким образом, статическая ошибка регулирования зависит от коэффициента усиления объекта и
параметра настройки регулятора. Причем статическая ошибка тем меньше, чем больше значение пара-
метра настройки S
1
. Для того, чтобы эта ошибка отсутствовала, т.е. у
уст
= 0 при k
об
≠ 0, необходимо, что-
бы S
1
→ ∞. Следовательно, наличие статической ошибки регулирования является органическим недос-
татком АСР с пропорциональным регулятором.
5.4.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Интегральный закон регулирования описывается уравнением
∫
ττ∆−=
t
dyStx
0
0p
)()( , (5.99)
или
)()(
0p
tyStx ∆−=
′
, (5.99′)
где S
0
− параметр настройки регулятора.
Интегральным регулятором может служить интегрирующее звено с переменным передаточным ко-
эффициентом, включенное в отрицательную обратную связь к объекту.
Динамические характеристики И-регулятора имеют вид:
− передаточная функция
W(s) = –
s
S
0
; (5.100)
− частотные характеристики, изображенные на рис. 5.54:
АФХ
2/
0
)2/(
0
0
)/()/()(
ππ−π
ω=ω=
ω
−
=ω
ii
eSeS
i
S
iW ; (5.101)
АЧХ
ω
=ω
0
)(
S
M ; (5.102)
ФЧХ
2
)(
π
=ωϕ . (5.103)
ϕ
ω
0
б)
Im
Re
0
в)
M
ω
а)
0
π
/2
ω
→
0
ω
→
∞
Рис. 5.54 Частотные характеристики И-закона регулирования:
а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ
∆
y
t
0
а)
-h
t
0
∆
y
t
0
б)
s
0
-w
t
0
1
Рис. 5.55 Переходные характеристики И-закона регулирования:
а – переходная функция; б – весовая функция
Переходные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.55:
– переходная функция
h(t) = – S
0
t; (5.104)
– весовая функция
w(t) = – S
0
(5.105)
Переходной процесс в ACP с И-регулятором, изображенный на рис. 5.56, характеризуется отсутст-
вием статической ошибки регулирования, наибольшим значением отклонения регулируемой величины
от
y
t
y
зад
Рис. 5.56 Переходный процесс в АРС с И-регулятором
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ЗНАЧЕНИЯ ПО СРАВНЕНИЮ С ДРУГИМИ ЗАКОНАМИ РЕГУЛИ-
РОВАНИЯ, НАИБОЛЬШИМ ВРЕМЕНЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
Главным достоинством интегрального регулятора является отсутствие статической ошибки регули-
рования. Действительно:
0
)(1
)(
1
lim)(lim)(lim
0
об
об
000
=
+
==
→→→
s
S
sW
sW
s
sssyty
sst
.
5.4.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Дифференциальный закон регулирования описывается уравнением
)()(
2р
tyStx
′
∆−=
, (5.106)
где S
2
– параметр настройки, которое является уравнением идеального дифференцирующего звена. На
практике дифференциальный закон может быть реализован лишь приближенно в определенном интер-
вале частот. Дифференциальная составляющая вводится в закон регулирования для того, чтобы увели-
чить быстродействие регулятора, так как в этом случае регулятор реагирует не на абсолютное значение
регулируемой величины, а на скорость ее изменения. Дифференциальный регулятор не применяется для
регулирования, так как при любом постоянном значении регулируемой величины выходной сигнал та-
кого регулятора равен нулю.
Динамические характеристики Д-закона регулирования:
– передаточная функция
sSsW
2
)( −
=
; (5.107)
– частотные характеристики, изображенные на рис. 5.57:
АФХ
2
3
22
)(
π
ω=ω−=ω
i
eSiSiW ; (5.108)
АЧХ ω=ω
2
)( SM ; (5.109)
ФЧХ
2
3
)(
π
=ωϕ
. (5.110)
ϕ
ω
б) а)
2
π3
M
ω
0
Im
Re
0
в)
ω
= 0
ω
→
∞
0
Рис. 5.57 Частотные характеристики Д-закона регулирования:
а – АЧХ; б – ФЧХ; в –АФХ
∆
y
t
0
а)
–h
t
0
б)
s
2
δ
(t)
1
Рис. 5.58 Переходная функция Д-закона регулирования:
а – единичное воздействие, б – переходная функция
Переходные характеристики:
– переходная функция
h(t) = – S
2
δ(t); (5.111)
– весовая функция
w(t) = – S
2
δ′(t), (5.112)
графики которых изображены на рис. 5.58.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ УЧАСТВУЕТ ТОЛЬКО В СЛОЖНЫХ ЗА-
КОНАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА.
5.4.4 ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Пропорционально-дифференциальный закон регулирования опи-сывается уравнением
)]()([)(
21p
tyStyStx
′
∆+∆−=
. (5.113)
ЭТОТ РЕГУЛЯТОР ПО СУЩЕСТВУ СОСТОИТ ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНО ВКЛЮЧЕН-
НЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ.
Динамические характеристики ПД-регулятора:
– передаточная функция
)()(
21
sSSsW
+
−
=
;
(5.114)
– частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.59:
АФХ
;)()(
))/(arctg(
22
2
2
121
12
SSi
eSSiSSiW
ω+π
ω+=ω+−=ω
(5.115)
АЧХ
22
2
2
1
)( ω+=ω SSM
; (5.116)
ФЧХ
π
+
ω
=
ω
ϕ
)/(arctg)(
12
SS
. (5.117)
ϕ
ω
б) а)
2
π3
–M
ω
0
Im
Re
0
в)
ω
= 0
ω
→
∞
0
s
1
π
–
s
1
W(i
ω
)
Рис. 5.59 Частотные характеристики ПД-регулятора:
а − АЧХ; б
−
ФЧХ; в
−
АФХ
Переходная функция, график которой изображен на рис. 5.60:
h(t) = −S
1
1(t) − S
2
δ(t). (5.117')
Весовая функция:
)()()(
21
tStStw δ
′
−δ−=
. (5.118)
С точки зрения качества процесса регулирования в замкнутой АСР пропорционально-дифферен-
циальный регулятор обладает особенностями обоих законов регулирования (рис. 5.61). Наличие воздей-
ствия по производной от
∆
y(t) увеличивает быстродействие регулятора, благодаря чему уменьшается
динамическая ошибка по сравнению с пропорциональным регулятором.
t
0
y
П
ПД
y
уст
y
зад
Рис. 5.61 Переходный процесс в АСР с ПД-регулятором
В установившихся режимах, когда
∆
y' = 0, регулятор ведет себя как обычный П-регулятор. Величина
статической ошибки остается такой же, как и в случае применения П-регулятора, действительно:
1))((1
)(
1
lim)(lim)(lim
1об
об
21об
об
00
+
=
++
==
→→∞→
SK
K
sSSsW
sW
s
sssyty
sst
(5.119)
5.4.5 ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Пропорционально-интегральный закон регулирования описывается уравнением
))()(()(
0
1p
0
∫
ττ∆+∆−=
t
dyStyStx
(5.120)
и представляет собой параллельное соединение пропорциональной и интегральной составляющих.
Динамические характеристики ПИ-регу-лятора:
– передаточная функция
W(s) = −
+
s
S
S
0
1
; (5.121)
– частотные характеристики (рис. 5.62):
АФХ W(iω) = −
ω
+
i
S
S
0
1
; (5.122)
АЧХ M(ω)=
ω
+ω
2
0
22
1
SS
; (5.123)
ФЧХ
ω
+
π
=ωϕ
0
1
arctg
2
)(
S
S
. (5.124)
Переходная функция (рис. 5.63, а):
h(t) = −(S
1
1(t) + S
0
t). (5.125)
Весовая функция (рис. 5.63, б):
w(t) = −(S
1
δ(t) + S
0
). (5.126)
ϕ
ω
б) а)
M
ω
0
Im
Re
0
в)
ω
→
0
ω
→
∞
0
s
1
π
W(i
ω
)
2
π
–
s
1
Рис. 5.62 Частотные характеристики ПИ-регулятора:
а − АЧХ; б − ФЧХ; в
−
АФХ
t
–
h
s
1
а) –w
0
t
s
0
0
б)
Рис. 5.63 Переходные характеристики:
а – переходная функция; б – весовая функция
Пропорционально-интегральный регулятор сочетает в себе достоинства П- и И-законов регулиро-
вания, а именно: пропорциональная составляющая обеспечивает достаточное быстродействие регулято-
ра, а интегральная составляющая ликвидирует статическую ошибку регулирования. Переходный про-
цесс в АСР с ПИ регулятором изображен на рис. 5.64.
В начале процесса регулирования основную роль играет пропорциональная составляющая, так как
интегральная составляющая зависит не только от абсолютного значения, но и от времени. С увеличени-
ем времени возрастает роль интегральной составляющей, обеспечивающей устранение статической
ошибки, т.е.
.0
)(
)(
lim
)/)((1
)(
1
lim
)(
lim
)(
lim
01
об
об
0
01об
об
00
=
++
=
=
++
==
→
→→∞→
SsSsWs
ssW
sSSsW
sW
s
sssyty
s
sst
(5.127)
Подбором параметров настройки S
0
и S
1
можно изменять удельный вес каждой составляющей. В ча-
стности, при S
0
= 0 получается П-регулятор, а при S
1
= 0 − И-регулятор.
t
0
y
П
ПИ
И
Рис. 5.64 Переходный процесс в АСР с ПИ-, П- и И-регуляторами
5.4.6 ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ
Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования описывается уравнением
∫
′
∆+ττ∆+∆−=
t
tySdyStyStx
0
201p
))()()(()(
. (5.128)
Динамические характеристики ПИД-регулятора:
передаточная функция
W(s) = – (S
1
+
s
S
0
+ S
2
s). (5.129)
частотные характеристики (рис. 5.65):
– АФХ W(iω) = –(S
1
+
ωi
S
0
+ S
2
s); (5.130)
– АЧХ
ω
)ω(ω
) (ω
22
20
22
1
SSS
M
−+
=
; (5.131)
– ФЧХ
−
+
π
=ϕ
2
20
1
ω
ω
arctg
2
) (ω
SS
S
. (5.132)
Переходные характеристики:
переходная функция, при t > 0
h(t) = –(S
1
+ S
0
t + S
2
δ(t)); (5.133)
весовая функция
w(t) = –(S
1
δ (t) + S
0
+ S
2
δ'(t)). (5.134)
ϕ
ω
б) а)
M
ω
0
Im
Re
0
в)
ω
→
0
ω
→
∞
0
s
1
3
π
/
2
π
/
2
–
s
1
0
2
s
s
РИС. 5.65 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИД-РЕГУЛЯТОРА:
А – АЧХ; Б – ФЧХ; В – АФХ
График переходной функции ПИД-регулятора представлен на рис. 5.66.
t
– h
s
1
0
Рис. 5.66 Переходная функция ПИД-регулятора
ПИД-регулятор сочетает в себе достоинства всех трех простейших законов регулирования: высокое
быстродействие благодаря наличию импульса по производной от ∆y(t) и отсутствие статической
ошибки, которое обеспечивает интегральная составляющая (рис. 5.67).
t
0
y
ПИ
И
П
ПД
ПИД
РИС. 5.67 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АСР С РАЗЛИЧНЫМИ
ЗАКОНАМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Необходимо отметить, что применение регуляторов с дифференциальными составляющими, не-
смотря на их достоинства, не всегда целесообразно, а иногда и недопустимо. Так, для объектов с
большим запаздыванием по каналу регулирования бесполезно вводить воздействие по производ-
ной от регулируемой величины, так как этот импульс будет поступать в регулятор по истечении
времени чистого запаздывания после прихода возмущения, за которое в объекте могут накопиться
большие отклонения. Более того, в таких случаях
ПД- или ПИД-регулятор может "раскачать" объект и система потеряет устойчивость.
5.5 Тренировочные задания
1 Звеньями называются отдельные элементы системы, в которых происходит преобразование
входных сигналов в выходные. Если передаточная функция звена имеет вид простой дроби, то такое
звено относится к группе типовых или элементарных звеньев, уравнения которых можно получить из
дифференциального уравнения
)()()()()(
01012
txbtxbtyatyatya
+
′
=
+
′
+
′′
,
приравнивая те или иные коэффициенты нулю.
Различают следующие звенья: усилительное, интегральное, идеальное и реальное дифференцирую-
щие, чистого запаздывания, апериодическое первого порядка, апериодическое второго порядка, ко-
лебательное. Каждое из перечисленных звеньев рассматривается с позиций анализа их динамических
характеристик.
А Какие звенья описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями?
В Почему идеальное дифференцирующее звено физически не реализуемо?
С На какие группы делятся типовые звенья?
2 При анализе и синтезе систем автоматического управления широко используется структурный
анализ. В любой структурной схеме могут присутствовать только три типа соединений: последова-
тельное, параллельное, соединение с обратной связью. Значение передаточных функций отдельных
звеньев позволяет записать передаточные функции соединений и построить их частотные характери-
стики.
Реальные объекты обладают сложной структурой, в них имеются, так называемые, перекрестные свя-
зи, которые необходимо развязать, используя правила преобразования структурных схем.
А Какие передаточные функции можно записать для одноконтурной системы автоматического
регулирования?