Лабораторная работа №4 - Непараметрическое оценивание монотонных функциональных зависимостей на основе анализа законов распределения случайных величин
Подождите немного. Документ загружается.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра технической кибернетики
ОТЧЕТ
к лабораторной работе №3
по дисциплине “Математические основы системного анализа”
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МОНОТОННЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ЗАКОНОВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Выполнила:
студент гр. ИСТ-313
Кутушев Ш.Х.
Проверил преподаватель:
Гвоздев В.Е.
Уфа 2010
1. Цель работы
Разработка и исследование метода восстановления монотонных
функциональных зависимостей на основе анализа законов распределения
независимой и зависимой случайной величины в случае, когда тип закона
распределения заранее неизвестен.
2. Задание на работу
Вариант 6
2.1 По данным, приведенным в таблице 1 и 2, оценить непараметрическую
зависимость y=f(x) описанным способом. Непараметрическую зависимость
представить в графическом виде.
Таблица 1
Года Значения параметра Х Значения параметра Y
g1973 84,30 419,80
g1974 305,10 993,10
g1975 2759,70 3940,00
g1976 517,40 1054,00
g1977 259,70 797,10
g1978 70,40 332,70
g1979 149,00 367,20
g1980 49,10 301,40
g1981 42,60 440,50
g1982 123,10 376,10
g1983 163,70 368,30
g1984 405,70 895,80
g1985 142,60 390,40
g1986 236,20 523,30
g1987 67,20 320,30
g1988 149,10 426,30
g1989 142,11 405,20
g1990 38,10 209,70
g1991 47,40 325,40
g1992 18,60 21,20
g1993 37,29 315,25
g1994 39,60 336,60
g1995 84,16 488,45
g1996 1,61 130,53
g1997 8,11 134,61
g1998 96,94 318,29
2.2 Сопоставить полученную зависимость с результатами, получаемыми при
аппроксимации F(x) и F(y) гауссовским и равномерным распределениями.
3. Ход работы
3.1 Строим оценки функций распределения X и Y:
)()]()([)(
11
1
1
iii
ii
i
zFzFzF
zz
zz
zF
при
ii
zzz
1
и
1)1(
1
1
)(
i
i
i
ki
ab
az
N
zF
,
где
i
k
– число одинаковых значений
i
z
;
}{min
i
i
za
;
}{max
i
i
zb
;
},{ YXz
.
Таблица 2
i
xF
i
yF
0,00 0,00
0,04 0,04
0,07 0,08
0,11 0,11
0,15 0,15
0,19 0,19
0,22 0,23
0,26 0,26
0,30 0,30
0,33 0,34
0,37 0,37
0,41 0,41
0,45 0,45
0,48 0,48
0,52 0,52
0,56 0,56
0,59 0,60
0,63 0,63
0,67 0,67
0,71 0,71
0,74 0,75
0,78 0,79
0,82 0,82
0,86 0,86
0,90 0,90
0,96 0,96
Рисунок 1 – График непараметрической зависимости
Задаваясь различными значениями λ
p
[0;1] при известных F(y), F(x) с
учетом условия:
F(y
p
)=F(x
p
)=λ
p
, p=1,2,....
Можно получить серию пар чисел {y
p
, x
p
}, p=1,2,..., которые характеризуют
значение функциональной зависимости y
p
=φ(x
p
) в p-й точке. По совокупности
значений {y
p
, x
p
} в итоге можно построить непараметрическую функциональную
модель.
Таблица 3
1
0.05
2
0.10
3
0.15
4
0.20
5
0.25
6
0.30
7
0.35
8
0.40
9
0.45
10
0.50
Проецируя эти значения на горизонтальные оси, получим следующие
значения {y
p
, x
p
}:
Таблица 4
x
p
y
p
8,11 130,53
37,29 209,7
38,1 301,4
42,6 318,29
47,4 320,3
49,1 325,4
67,2 332,7
84,16 367,2
84,3 368,3
123,1 390,4
3.2 Оценка непараметрической зависимости при аппроксимации
гауссовским распределением.
Рассчитаем математические ожидания:
230,65)(
1
*
N
Z
XM
N
i
i
541,55)(
1
*
N
Z
YM
N
i
i
Рассчитываем среднеквадратические отклонения:
530,41
1
)(
)(
2
1
*
N
Z
x
N
i
i
732,70
1
)(
)(
2
1
*
N
Z
y
N
i
i
Предполагая, что распределения величин X и Y – гауссовские, построим эти
распределения:
Рисунок 2 – График непараметрической зависимости при апроксимации гауссовским
распределением
Таблица 5
i
x
ˆ
i
y
ˆ
-50 -
-25 -
1,61 200
18,6 209,7
47,4 250
70,4 301,4
84,3 325,4
96,94 368,3
123,1 405,2
142,6 440,5
Оценка непараметрической зависимости при аппроксимации равномерным
распределением.
X
min
= 0
X
max
= 989.4
Y
min
= 108.61
Y
max
= 1116.2
Предполагая, что распределения величин X и Y – равномерные, построим
эти распределения:
max
maxmin
minmax
min
min
,1
,0
)(
tt
ttt
tt
tt
tt
tF
Рисунок 3 – График непараметрической зависимости при аппроксимации равномерным
распределением
Проецируя выбранные ранее значения λ
1
- λ
10
на горизонтальные оси,
получим:
Таблица 6
i
x
ˆ
i
y
ˆ
123,1 209,7
259,7 419,8
405,7 650
552 797,1
700 1054
850 1400
1095 1400
1100 1600
2459,7 1800
1350 2000
Сравнение оценок зависимостей.
Построим оценки зависимости, полученные с использованием разных
распределений:
Рисунок 4 – Сравнение оценок зависимостей
4. Вывод
В ходе лабораторной работе был изучен метод аппроксимации нелинейных
зависимостей, было выявлено, что метод непараметрического оценивания
функциональных зависимостей является более эффективным относительно других
методов и способен выдавать относительно точные результаты при малом
количестве исходных данных.
Ответы на контрольные вопросы:
1. Чем обусловлена необходимость использования непараметрических
методов оценивания функциональных зависимостей?
Методы оценивания функциональных зависимостей по экспериментальным
данным (методы регрессионного анализа, метод линеаризации нелинейностей)
имеют, недостатки.
1.Низкая точность при малом объеме исходных данных.
2.Необходимость наличия таблицы совместно наблюдаемых значений
независимой и зависимой величины.
3.Необоснованное постулирование нормальной формы закона
распределения наблюдаемых данных.
По этой причине были разработаны непараметрические методы оценивания
функциональных зависимостей, когда тип распределения случайной величины
заранее не известен.
2. Дайте графическую иллюстрацию для формулы:
yx
dxxfyF
)(
)()(
Рисунок 5 – Графическая иллюстрация формулы
yx
dxxfyF
)(
)()(
3. Функциями какого вида (линейными или нелинейными)
описывается изменение F(Z) между узловыми точками в соответствии с (3)?
По формуле (3):
)()]()([)(
11
1
1
iii
ii
i
zFzFzF
zz
zz
zF
Изменение функции, деленное на приращение аргумента:
1
1
)]()([
ii
ii
zz
zFzF
k
Приращение аргумента:
1
i
zzx
Начальное значение функции:
)(
1
i
zFb
Значит, функция имеет линейный вид:
bxky *