Лабораторная работа №3 - Анализ временных рядов
Подождите немного. Документ загружается.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра технической кибернетики
ОТЧЕТ
к лабораторной работе №3
по дисциплине “Математические основы системного анализа”
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Выполнила:
студент гр. ИСТ-313
Кутушев Ш.Х.
Проверил преподаватель:
Гвоздев В.Е.
Уфа 2010
1. Цель работы
Целью работы является изучение методов статистического моделирования
временных рядов.
2. Задание на работу
а) по данным, приведенным в файле «Варианты заданий» (таблица №1)
оценить имеет ли место тенденция в значениях временного ряда.
б) из анализа конечных разностей определить предпочтительней порядок
полинома.
3. Ход работы:
Вариант 6
3.1. Проверка гипотезы о существовании тенденции
3.1.1 Проверка средних уровней ряда
Таблица 1
Значение параметра
состояния
Значение параметра
состояния
7,0 97,9
12,7 100,8
18,6 110,2
24,9 116,3
31,8 122,7
36,9 127,0
42,7 136,6
48,0 142,7
54,9 147,8
60,3 152,7
66,4 159,5
75,3 162,5
77,2 169,4
82,4 175,3
90,9 178,6
По данным таблицы 1 находим среднее для двух самостоятельных
выборочных совокупностей, имеющих нормальное распределение:
1
1
1
n
П
П
j
k
i
ij
= 48,7
2
2
1
2
n
П
П
j
k
i
ij
= 140,0
Среднее, вычисленное для каждой совокупности, существенно различается
между собой. Отсюда следует, что временной ряд имеет тенденцию.
3.1.2 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
По данным таблицы 1 произвели расчеты средних
j
П
и эмпирического
среднеквадратического отклонения S
2
j
:
1
П
=48,7;
2
П
= 140,0
1
)(
1
1
2
2
1
n
ПП
S
j
n
i
jij
;
2
1
S
706,91
;
1
)(
2
1
2
2
2
n
ПП
S
j
n
i
jij
2
2
S
710,61
где j – номер части временного ряда;
Пij – i-е значение временного ряда в j-й части;
n
j -
число членов в j-й части временного ряда.
Число степеней свободы эмпирических оценок среднеквадратического
отклонения m
k
(k=1,2) определяется по правилу:
m
k
=n
k
-1
14115
21
mm
Находим значение
расч
F
:
01,1
,min
,max
2
2
2
1
2
2
2
1
ss
ss
F
расч
При уровне значимости
=0,05 находим табличные значения F
кр
(α, m
1
, m
2
)
из приложения 1:
F
кр
=2,53
3
Неравенство Fрасч < Fкр соблюдается, следовательно можно предположить,
что с течением времени степень влияния различных факторов, определяющих
значения параметра П
1
не изменилась и гипотеза о равенстве дисперсий верна.
3.1.3 Проверка гипотезы о равенстве средних частей исходного ряда
Этот метод основан на проверке выполнения неравенства:
расч
T
<
21
mmt
кр
;
Значения эмпирических дисперсий:
706,91
2
1
S
,
710,61
2
2
S
.
При уровне значимости
050.
значения:
01,1
рас
F
,
532,
кр
F
Значения средних отклонений:
48,7
1
П
;
140,0
2
П
.
Рассчитаем значение величины
расч
T
:
;
)2(**
*
*)1(*)1(
||
21
2121
2
22
2
11
21
nn
nnnn
snsn
ПП
Т
расч
1,72
расч
Т
При уровне значимости
050.
значения:
кр
t
(α; m
1
+m
2
)= 2,05
Следовательно
расч
T
<
кр
t
Неравенство не соблюдается, значит, гипотеза о наличии тенденций не
противоречит фактическим данным.
Определим характер тренда:
1
П
<
2
П
. Значит тренд возрастающий.
3.1.4 Метод анализа наличия тенденций, предложенный Ф. Фостером и А.
Стюартом
Этот метод основан на том, что по данным исследуемого ряда определяются
величины U
t
и l
t
путем последовательного сравнения уровней ряда. Если какой-
4
либо уровень ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней,
то величине U
t
присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0.
Таким образом,
И наоборот, если уровень ряда меньше всех предыдущих, то величина l
t
равна 1, в остальных случаях она равна 0, т.е.
Таблица 2
Значения
параметра
состояния.
t
U
t
l
7,0 - -
12,7 1 0
18,6 1 0
24,9 1 0
31,8 1 0
36,9 1 0
42,7 1 0
48,0 1 0
54,9 1 0
60,3 1 0
66,4 1 0
75,3 1 0
77,2 1 0
82,4 1 0
90,9 1 0
97,9 1 0
100,8 1 0
110,2 1 0
116,3 1 0
122,7 1 0
127,0 1 0
136,6 1 0
142,7 1 0
147,8 1 0
152,7 1 0
159,5 1 0
162,5 1 0
169,4 1 0
175,3 1 0
178,6 1 0
5
случаяхостальныхв
ПППеслиП
U
ttt
t
0
1
121
,...,,,
случаяхостальныхв
ПППеслиП
l
ttt
t
0
1
121
,...,,
Находим значения величин S и d:
S=∑S
t
=29
d=∑d
t
= 29
Из приложения 3 находим значения μ – математического ожидания,
σ
1
- средне квадратической ошибки S, σ
2
- средне квадратической ошибки d,
которые равны:
μ=5,99
σ
1
=1,882
σ
2
=2,417
05,229,05,0
кр
t
расч
T
1
>
29050 ,,
кр
t
, значит гипотеза о наличие тенденции в средней
соответствует фактическим данным (тенденция есть), т.е. нет основания отвергать
гипотезу об отсутствии тенденции в средней.
расч
T
2
>
29050 ,,
кр
t
, т.е. гипотеза о
наличии тенденции дисперсии не противоречит фактическим данным.
4. Определение предпочтительного порядка полинома
4.1 Моделирование тенденции временного ряда.
Таблица 3
Значение
параметра
состояния
t
U
t
I
)(1
t
)(2
t
7,0 - - - -
12,7 1 0 5,7 -
18,6 1 0 5,9 0,2
24,9 1 0 6,3 0,4
31,8 1 0 6,9 0,5
36,9 1 0 5,1 -1,7
42,7 1 0 5,8 0,6
48,0 1 0 5,3 -0,5
54,9 1 0 6,9 1,6
6
00,12
0
2
1
σ
d
T
расч
23,12
882,1
99,529
1
2
S
T
расч
60,3 1 0 5,3 -1,6
66,4 1 0 6,1 0,8
75,3 1 0 9,0 2,9
77,2 1 0 1,9 -7,1
82,4 1 0 5,2 3,3
90,9 1 0 8,5 3,3
97,9 1 0 7,0 -1,4
100,8 1 0 2,9 -4,1
110,2 1 0 9,4 6,5
116,3 1 0 6,1 -3,2
122,7 1 0 6,4 0,2
127,0 1 0 4,3 -2,0
136,6 1 0 9,6 5,3
142,7 1 0 6,1 -3,5
147,8 1 0 5,1 -1,0
152,7 1 0 4,9 -0,2
159,5 1 0 6,9 2,0
162,5 1 0 2,9 -3,9
169,4 1 0 6,9 4,0
175,3 1 0 5,9 -1,1
178,6 1 0 3,3 -2,6
Проверяем наличие тенденции среднего уровня параметра состояния.
Учитывая, что d=29-0=29 и
8821
1
,
:
00,12
882,1
29
1
расч
T
;
05229050 ,;,
кр
t
Так как
29050
1
;,
кррасч
tТ
, то делается заключение о том, что гипотеза об
отсутствии тенденции в исследуемом ряду соответствует фактическим данным.
По данным таблицы 3 провели расчеты
t
U
,
t
I
,
)(1
t
,
)(2
t
. Результаты
показали, что первые разности практически можно считать равными, а средняя
арифметическая вторых разностей мала, ею можно пренебречь. Следовательно,
тенденция изучаемого ряда может быть описана полиномом первой степени, т. е.
4. Вывод:
В ходе лабораторной работы были изучены разные методы проверки
наличия тенденции и дана положительная оценка по данным временного ряда о
7
t
t
taaП
10
наличии тенденции. Также из анализа конечных разностей определен
предпочтительней порядок полинома.
Ответы на контрольные вопросы
1. Дайте определение понятиям «тенденция, тренд»
Под тенденцией понимают некоторое общее направление развития,
долговременную эволюцию. Тенденцию ряда динамики представляют в виде
гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой
функцией времени, называемой трендом.
Тренд характеризует основную закономерность движения во времени,
свободную в основном от случайных воздействий.
8
2. Почему нельзя свести анализ тенденции к построению простой
графической модели по исходным данным?
Исходные данные - это ограниченный дискретный набор значений.
Графическая модель даёт общую характеристику объекта.
Математическая модель в отличие от неё показывает поведение объекта в
какой-то промежуток времени. Для использования математической модели
необходимо убедиться, что данные однородны, нужно рассчитать среднее
значение и убедиться, что разница не обусловлена лишь погрешностью и
существует тенденция.
3. В чем содержательный смысл анализа однородности дисперсий частей
временного ряда?
Однородность дисперсий свидетельствует о том, что степень влияния
различных факторов, определяющих значения параметров состояния, за
исследуемый период времени остается неизменной.
4. Чем обусловлена необходимость сопоставления оценок средних,
вычисленных по частям временного ряда?
Она обусловлена необходимостью обнаружения тенденции и характера
тренда.
5. Чем обусловлена необходимость использования разных походов для
моделирования трендов?
Требованием к наибольшей точности построенной модели.
9