Кузнецова В.В., Смородова О.В. Лекции по теплотехнике

Подождите немного. Документ загружается.

Это указывает на невозможность превращения теплоты в работу, если все тела

системы имеют одинаковую температуру, т. е. находятся между собой в тепловом

равновесии. Для ориентировки приводим значения термического КПД цикла Карно

при различных температурах горячего источника и при температуре холодного источ-

ника, равной 10 °С.

t,°С 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600



0,40 0,58 0,68 0,74 0,78 0,81 0,83 0,85

Приведенные цифры дают КПД идеального цикла. Коэффициент полезного

действия реального теплового двигателя, конечно, ниже.

Обратный цикл Карно

Осуществим цикл Карно в обратном направлении. Рабочее тело с начальными

параметрами точки а расширяется адиабатно, совершая работу расширения за счет

внутренней энергии, и охлаждается от температуры Т1 до температуры T2

Дальнейшее расширение происходит по изотерме, и рабочее тело отбирает от

нижнего источника с температурой T2 теплоту q

. Далее газ подвергается сжатию

сначала по адиабате, и его температура от Т

повышается до T1, а затем — по

изотерме (T1=const). При этом рабочее тело отдает верхнему источнику с

температурой T1 количество теплоты q1.

Рисунок 4.4 - Обратный цикл Карно в р,v- и T, s-диаграммах

Рисунок 4.5 - Термодинамическая схема холодильной машины

Поскольку в обратном цикле сжатие рабочего тела происходит при более вы-

сокой температуре, чем расширение, работа сжатия, совершаемая внешними силами,

больше работы расширения на величину площади abcd, ограниченной контуром

цикла. Эта работа превращается в теплоту и вместе с теплотой q

передается

верхнему источнику. Таким образом, затратив на осуществление обратного цикла

работу l

, можно перенести теплоту от источника с низкой температурой к источнику

с более высокой температурой, при этом нижний источник отдаст количество теплоты

, а верхний получит количество теплоты q

Обратный цикл Карно является идеальным циклом холодильных установок и

так называемых т е п л о в ы х

н а с о с о в .

В холодильной установке рабочими телами служат, как правило, пары

легкокипящих жидкостей — фреона, аммиака и т.п. Процесс «перекачки теплоты»

от тел, помещенных в холодильную камеру, к окружающей среде происходит за счет

затрат электроэнергии.

Эффективность холодильной установки оценивается х о л о д и л ь н ы м

к о э ф ф и ц и е н т о м , определяемым как отношение количества теплоты, отнятой за

цикл от холодильной камеры, к затраченной в цикле работе:

 

2122

qqqlq





Для обратного цикла Карно

 

212

TTT 



Заметим, что чем меньше разность температур между холодильной камерой и

окружающей средой, тем меньше нужно затратить энергии для передачи теплоты от

холодного тела к горячему и тем выше холодильный коэффициент.

Холодильную установку можно использовать в качестве теплового насоса.

Если, например, для отопления помещения использовать электронагревательные

приборы, то количество теплоты, выделенное в них, будет равно расходу элек-

троэнергии. Если же это количество электроэнергии использовать в холодильной

установке, горячим источником, т. е. приемником теплоты, в которой является

отапливаемое помещение, а холодным — наружная атмосфера, то количество теп-

лоты, полученное помещением,

lqq 

где q

— количество теплоты, взятое от наружной атмосферы, а

— расход

электроэнергии. Понятно, что q

, т. е. отопление с помощью теплового насоса

выгоднее простого электрообогрева.

Используя обратный цикл Карно, рассмотрим еще одну формулировку второго

закона термодинамики, которую в то же время, что и В. Томсон, предложил Р.

Клаузиус: теплота не может самопроизвольно (без компенсации) переходить от тел с

более низкой к телам с более высокой температурой.

Эта формулировка интуитивно следует из нашего повседневного опыта, кото-

рый показывает, что самопроизвольно теплота переходит только от тел с более

высокой к телам с более низкой температурой, а не наоборот. Можно доказать, что

формулировка Р. Кдаузиуса эквивалентна формулировке В. Томсона.

Действительно, если бы теплота q

, полученная за цикл холодным источником,

могла самопроизвольно перейти к горячему источнику, то за счет нее снова можно

было бы получить какую-то работу — вечный двигатель второго рода, таким

образом, был бы возможным.

Из рассмотрения обратного цикла Карно следует, что передача теплоты от

тела менее нагретого к телу более нагретому возможна, но этот «неестественный»

(точнее — несамопроизвольный) процесс требует соответствующей энергетической

компенсации в системе. В обратном цикле Карно в качестве такой компенсации

выступала затраченная работа, но это может быть и затрата теплоты более высокого

потенциала, способной совершить работу при переходе на более низкий потенциал.

Изменение энтропии в неравновесных процессах

Рассмотрим принципиальные отличия неравновесных процессов от равно-

весных на примере расширения газа в цилиндре под поршнем, получающего теплоту

qδ

от источника с температурой T1 и совершающего работу против внешней силы Р,

действующей на поршень.

Расширение будет равновесным только в случае, если температура газа Т

равна температуре источника (Т=Т1), внешняя сила Р равна давлению газа на

поршень (P=pF) и при расширении газа нет ни внешнего, ни внутреннего трения.

Работа расширения газа в этом случае равна

pdvPdyl 

равн

, а изменение энтропии

рабочего тела в таком процессе

Tqds δ

равн



Невыполнение хотя бы одного из указанных условий делает расширение газа

неравновесным. Если неравновесность вызвана трением поршня о стенки цилиндра,

то работа

lδ

, совершаемая против внешней силы Р, оказывается меньше, чем pdv,

так как часть ее затрачивается на преодоление трения и переходит в теплоту

тр

δq

Она воспринимается газом вместе с подведенной теплотой q, в результате чего

возрастание энтропии газа в неравновесном процессе

 

Tqqds

тр

δδ 

оказывается

больше, чем в равновесном при том же количестве подведенной от источника

теплоты

qδ

Рисунок 4.6 - К определению изменения энтропии в неравновесных процессах

Если неравновесность вызвана отсутствием механического равновесия

(P<pF), поршень будет двигаться ускоренно. Быстрое движение поршня вызывает

появление вихрей в газе, затухающих под действием внутреннего трения, в

результате чего часть работы расширения опять превращается в теплоту

тр

δq

Работа против внешней силы снова получается меньше, а возрастание энтропии —

больше, чем в равновесном процессе с тем же количеством теплоты

qδ

Если неравновесность вызвана теплообменом при конечной разности темпе-

ратур (температура газа Т меньше температуры источника T1), то возрастание

энтропии рабочего тела

Tqds δ

оказывается больше, чем

равн

δ Tqds 

равновесном процессе из-за снижения температуры газа. При том же положении

поршня, т. е. заданном удельном объеме v, меньшей температуре газа соответствует

меньшее его давление р. Соответственно меньше должна быть и уравновешивающая

сила Р': Р'=p'F<P=pF. Работа расширения против этой силы

pdvdvpdyPl 







δ

Итак, неравновесность всегда приводит к увеличению энтропии рабочего тела

при том же количестве подведенной теплоты и к потере части работы. В общем

виде это можно записать следующим образом:

неравн

δ dsTqds 

;

неравн

δδ lpdvl 

Причем

неравн

δl

всегда положительны.

Ранее было показано, что для равновесных процессов справедливо соотноше-

ние

Tqds δ

. Разобранный пример достаточно наглядно показывает, что в не-

равновесных процессах

Tqds δ

, если

qδ

— количество подведенной к системе или

отведенной от нее теплоты, а T — температура источника теплоты. Обе записи

являются аналитическими выражениями второго закона термодинамики:

Tqds δ

— в равновесных процессах;

Tqds δ

— в неравновесных процессах.

Для изолированных систем, которые по определению не обмениваются тепло-

той с окружающей средой

 

0δ q

, эти выражения приобретают вид

0ds

Если в адиабатно-изолированной системе осуществляются равновесные

процессы, то энтропия системы остается постоянной.

Самопроизвольные (а значит, и неравновесные) процессы в изолированной

системе всегда приводят к увеличению энтропии. Это положение представляет собой

наиболее общую формулировку второго начала термодинамики для неравновесных

процессов, известную под названием п р и н ц и п а

в о з р а с т а

ния э н т р о п и и

Следует подчеркнуть, что последнее неравенство применимо только к

изолированным системам. Если от системы отводится теплота, то ее энтропия может

убывать, однако суммарное изменение энтропии системы и энтропии внешних тел

всегда положительно (либо равно нулю, если в системе протекают равновесные

процессы).

Когда изолированная система находится в состоянии с максимальной энтро-

пией, то в ней не могут протекать никакие самопроизвольные процессы, потому что

любой самопроизвольный процесс неравновесен и сопровождается увеличением

энтропии. Поэтому состояние изолированной системы с максимальной энтропией

является состоянием ее устойчивого равновесия, и самопроизвольные процессы

могут протекать в изолированной системе лишь до тех пор, пока она не достигнет

состояния равновесия.

ЛЕКЦИЯ 5

Термодинамические процессы идеальных газов

в закрытых системах

Основными процессами, весьма важными и в теоретическом, и в прикладном

отношениях, являются: и з о х о р н ы й

, протекающий при постоянном объеме;

и з о б а р н ы й

, протекающий при постоянном давлении; и з о т е р м и ч е с к и й

происходящий при постоянной температуре; а д и а б а т н ы й

— процесс, при ко-

тором отсутствует теплообмен с окружающей средой, и п о л и т р о п н ы й

, удов-

летворяющий уравнению

const 

Метод исследования процессов, не зависящий от их особенностей и являю-

щийся общим, состоит в следующем:

выводится уравнение процесса, устанавливающее связь между начальными и

конечными параметрами рабочего тела в данном процессе;

вычисляется работа изменения объема газа;

определяется количество теплоты, подведенной (или отведенной) к газу в

процессе;

определяется изменение внутренней энергии системы в процессе;

определяется изменение энтропии системы в процессе.

Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие

dv = 0 или v = const. Из уравнения состояния идеального газа следует, что p/

T=R/v=const, т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной темпе-

ратуре:

1212

TTpp 

Рисунок 5.1 - Изображение изохорного процесса в р,v- и T, s-координатах

Работа расширения в этом процессе равна нулю, так как dv= 0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 12 при

const

определяется как:

.)(





TTcdTcq

При переменной теплоемкости

 

cp2

cp12cp

122

tctcttcq



, где

cpv

—

средняя массовая изохорная теплоемкость в интервале температур от t1 до t2.

Так как 1= 0, то в соответствии с первым законом термодинамики

q u Δ

 

;constприΔ



сTTcu

 

.varприΔ

12cp



сttcu

Поскольку внутренняя энергия идеального газа является функцией только его

температуры, то полученные формулы справедливы для любого

термодинамического процесса идеального газа.

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле

   

121212

lnln TTcppcss



т. е. зависимость энтропии от температуры на изохоре при с

= const имеет лога-

рифмический характер.

Изобарный процесс. Из уравнения состояния идеального газа при р=const

находим

constR/pv/T 

, или

1212

TTvv 

, т. е. в изобарном процессе объем газа

пропорционален его абсолютной температуре (закон Гей-Люссака, 1802 г.). На

рисунке изображен график процесса.

Рисунок 5.2 - Изображение изобарного процесса в p,v- и T,s-координатах

Из выражения





pdvl

следует, что

 

vvpl 

Так как

RTpv 

, то одновременно

)(

TTRl 

Количество теплоты, сообщаемое газу при нагревании (или отдаваемое им при

охлаждении):

 





12cp

ttcdTcq

где

cpp

— средняя массовая изобарная теплоемкость в интервале температур от

t1 до t2 при

= const

 

ttcq



Изменение энтропии при с

= const согласно равно

 

1212

ln TTcss



т. е. температурная зависимость энтропии при изобарном процессе тоже имеет

логарифмический характер, но поскольку с

>с

, то изобара в Т,s-диаграмме идет

более полого, чем изохора.

Изотермический процесс. При изотермическом процессе температура постоянна,

следовательно, pv = RT = const, или

1212

vvpp 

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изо-

термическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении — падает (закон

Бойля — Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в р,v –координатах является равнобокая

гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами .

Работа процесса:

   

2112

lnln

ppRTvvRTvRTdvpdvl





Так как температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в

данном процессе остается постоянной (

0Δ u

) и вся подводимая к газу теплота

полностью превращается в работу расширения:

.lq 

Рисунок 5.3 - Изображение изотермического процесса в р, v- и T, s-координатах.

При изотермическом сжатии от газа отводится теплота в количестве, равном

затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии в изотермическом процессе выражается формулой

   

1221

lnlnδ vvRppRTqTqss 



Адиабатный процесс. Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей

средой, называется адиабатным, т. е.

0δ q

. Для того чтобы осуществить такой

процесс, следует либо теплоизолировать газ, т. е. поместить его в адиабатную

оболочку, либо провести процесс настолько быстро, чтобы изменение температуры

газа, обусловленное его теплообменом с окружающей средой, было пренебрежимо

мало по сравнению с изменением температуры, вызванным расширением или сжатием

газа. Как правило, это возможно, ибо теплообмен происходит значительно медленнее,

чем сжатие или расширение газа.

Уравнения первого закона термодинамика для адиабатного процесса принимают

вид:

0;0  pdvdT cvdpdTc

. Поделив первое уравнение на второе, получим

.или,

pdv

vdp

dTc



Интегрируя последнее уравнение при условии, что k =c

=const, находим

   

.lnln

1212





ppvvkиpdpvdvk

После потенцирования имеем

vpvp

2211



. *