Курсовой проект - Транспортная задача по критериям стоимости и времени. Вариант 3.1
Подождите немного. Документ загружается.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Автоматизированных систем
Допускаю к защите
Руководитель__________________________
___
_____________________________
И.О. Фамилия
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ПО КРИТЕРИЯМ СТОИМОСТИ И
ВРЕМЕНИ
наименование темы
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовому проекту по дисциплине
Теория Принятия Решения
Вариант 3.1
Выполнил студент группы АСУ 06-1 _______
шифр подпись И.О. Фамилия
Нормоконтролер _______
подпись И.О. Фамилия
Курсовой проект защищен
с оценкой ____________
Иркутск 2009г.
Содержание:
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ...................................................................................................................................3
2. ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ...................................................................................4
3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.......................................................................5
СВЕДЕНИЕ ОТКРЫТОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ К ОТКРЫТОЙ..............................................................................5
МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА....................................................................................................................................6
МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ:.........................................................................................................................................................6
4. ПРОВЕРКА ДОСТОВЕРНОСТИ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.......................................................9
5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ................................................................................................................10
6. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЙ АЛГОРИТМ ЗАДАЧИ................................................11
7. РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ.............................................................................................................21
7.1 СИСТЕМНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ............................................................................................................................................21
7.2 ОПИСАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ........................................................................................................................................21
7.3 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ..........................................................................................................................................................21
7.4 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНЖЕНЕРНОГО РЕЖИМА..................................................................................................................24
8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КУРСОВОЙ РАБОТЫ НА ПЭВМ ПО ИСХОДНЫМ ДАННЫМ
ИНДИВИДУАЛЬНОГО ВАРИАНТА..............................................................................................................................25
9. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................28
2
1. Постановка задачи
Имеется
m
пунктов отправления, в каждом из которых сосредоточено
определенное количество единиц однородного продукта, предназначенного к
отправке: в первом пункте имеется
a
1
единиц этого продукта, во втором -
a
2
единиц, в
i−
м пункте
a
i
единиц, и, наконец, в
m−
м пункте
a
m
единиц
продукта. Этот продукт следует доставить в
n
пунктов назначения
(потребления), причем в первый пункт назначения следует доставить
b
1
единиц
продукта, во второй -
b
2
единиц, в
j−
й пункт
b
j
единиц, и, наконец, в
n−
й пункт
b
n
единиц продукта.
Каждый пункт отправления соединен с каждым пунктом назначения
некоторым маршрутом (число таких маршрутов
m×n
), причем известна
удельная стоимость
c
ij
перевозки одной единицы продукта из
i−
го пункта
отправления в
j−
й пункт назначения. Общая стоимость перевозки по любому
маршруту пропорциональна количеству перевозимого продукта. Известно также
время
t
ij
перевозки продукта из
i−
го пункта отправления в
j−
й пункт
назначения, причем это время не зависит от количества перевозимого груза.
Удельные стоимости
c
ij
и время перевозок
t
ij
приведены в таблице,
при этом:
1) на пропускные способности коммуникаций ограничения не
накладываются;
2)
a
i
и
b
j
- количество условных единиц продукта;
3) в верхних отделениях клеток таблицы помещены удельные стоимости
c
ij
в рублях, а в нижних - время перевозок
t
ij
в часах.
Bj
Ai
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 ai
A1
9
6
18
9
16
3
2
1
3
7
16
4
11
10
15
3
180
A2
16
14
5
17
7
16
20
19
21
8
2
11
7
19
14
3
140
A3
36
22
7
11
10
12
19
23
3
6
9
18
17
11
10
29
50
A4
2
1
12
10
19
9
16
13
6
10
12
14
20
4
8
3
150
A5
15
13
16
17
3
10
11
15
6
23
11
5
18
8
20
23
80
3
A6
7
33
3
13
12
2
6
6
18
8
5
8
8
20
20
23
80
A7
21
21
10
9
16
12
21
22
16
3
15
12
11
5
5
24
70
bj
50 80 10 40 140 110 130 150
Составить план, минимизирующий общую стоимость перевозок;
определить уровень временных затрат при этом плане; произвести, если это
возможно, дооптимизацию по времени. Поставленную задачу решить методом
потенциалов, использовав для нахождения начального опорного плана метод
минимального элемента.
Разработанный программный продукт должен обрабатывать числовые
значения из заданного диапазона:
а) количество пунктов отправления может быть или 6, или 7, или 8;
б) количество пунктов отправления может быть или 7, или 8, или 9;
в) количество единиц продукта, предназначенного к отправке может быть
взято из диапазона
60≤а
i
≤190
;
г) количество единиц продукта, которое следует доставить в пункты
назначения может быть взято из диапазона
10≤b
j
≤160
;
д) удельные стоимости могут быть назначены из диапазона
2≤c
ij
≤38
;
е) значения времени перевозок могут быть назначены из диапазона
1≤t
ij
≤ 35
2. Обоснование математической модели
В пункте
A
i
производится
a
i
единиц однородного продукта. В пункте
B
j
требуется
b
j
единиц этого продукта. Пусть
x
ij
- количество единиц
продукта, перевозимого из пункта
A
i
в пункт
B
j
, а затраты на перевозку
c
ij
-
материальные,
t
ij
- временные. Необходимо определить множество переменных
x
ij
≥0
(
i=1(1)m
;
j=1(1 )n
), удовлетворяющих условиям:
∑
j=1
n
x
ij
=a
i
,
i=1(1)m
∑
i=1
m
x
ij
=b
j
,
j=1(1 )n
и таких, что целевая функция
L=
∑
i=1
m
∑
j=1
n
x
ij
⋅c
ij
достигает минимума.
4
Так как во всех пунктах производства не должно остаться не
вывезенного товара, необходимо условие
∑
j=1
n
x
ij
=a
i
,
i=1(1)m
. Оно
гарантирует полный вывоз продукта из всех пунктов производства
Так как во всех пунктах потребления товара необходимо доставить
согласно спросу, необходимо условие
∑
i=1
m
x
ij
=b
j
,
j=1(1 )n
. Оно
означает полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления.
Количество единиц товара, перевозимого из пункта
A
i
в пункт
B
j
,
не может быть отрицательным, следовательно, необходимо ввести условие
неотрицательности
x
ij
≥0
(
i=1(1)m
;
j=1(1 )n
)
Так как нам необходимо минимизировать суммарные материальные
транспортные издержки при перевозе всего товара из пунктов
производства в пункт потребления, целевая функция будет иметь вид:
L=
∑
i=1
m
∑
j=1
n
x
ij
⋅c
ij
→min
Для дооптимизации по времени необходимо использовать следующую
целевую функцию:
T =minmax(t
i, j
)
, при этом необходимо учитывать, что стоимость
перевозок не должна изменяться.
3. Краткие сведения о методе решения задачи
Сведение открытой модели транспортной задачи к
открытой
В некоторых случаях модель транспортной задачи получается открытой, т.е.
∑
i=1
m
a
i
≠
∑
j=1
n
b
j
возможны 2 случая:
1.
∑
i=1
m
a
i
>
∑
j=1
n
b
j
, тогда вводят фиктивный пункт
потребления
b
n+1
=
∑
i=1
m
a
i
−
∑
j=1
n
b
j
, а
дополнительный столбик матрицы С заполняют очень большими
числами (М). После того, как решение получено, все перевозки x
i,n+1
(
i=1(1)m
), в оптимальном плане Х
k
считают равными нулю.
2.
∑
i=1
m
a
i
<
∑
j=1
n
b
j
, тогда вводят фиктивный пункт производства
a
m +1
=
∑
j=1
n
b
j
−
∑
i=1
m
a
i
, а дополнительную
строку матрицы С заполняют очень большими числами (М). После
5
того, как решение получено, все перевозки x
m+1,j
(
j=1(1 )n
), в
оптимальном плане Х
k
считают равными нулю
Метод минимального элемента
Используют для нахождения начального опорного плана Т-задачи.
1. Элементы матрицы С нумеруют, начиная от минимального в порядке
возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу Х
0
:
Допустим, уже проделано k шагов метода, тогда среди незаполненной
части матрицы X
0
отыскиваем элемент с минимальным порядковым
номером.
Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался
x
i, j
=min(a
k
i
, b
k
j
)
.
Возможны три случая:
а) если
a
k
i
<b
k
j
, то
x
ij
=a
k
i
и всю оставшуюся i-ю строку заполняют
нулями, а
b
k+1
j
=b
j
k
−a
i
k
,
a
k
i
=0
;
б) если
a
k
i
>b
k
j
, то
x
ij
=b
k
j
и весь оставшийся j-й столбец заполняют
нулями, а
a
k +1
i
=a
i
k
−b
j
k
,
b
k
j
=0
;
в) если
a
k
i
= b
k
j
, то
x
ij
=b
k
j
и оставшийся j-й столбец и i-ю строку
заполняют нулями, а
a
k
i
=0
,
b
k
j
=0
.
На этом один шаг метода заканчивается.
Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы X
0
.
Метод потенциалов:
Теорема. Если план
X
¿
=
[
x
ij
¿
]
m×n
транспортной задачи является
оптимальным , то ему соответствует система из
m+n
чисел
u
i
¿
, v
j
¿
,
удовлетворяющих условиям
u
i
¿
+v
j
¿
=c
ij
для
x
ij
¿
>0 ,(i=1 , m; j=1,n )
Числа
u
i
¿
, v
j
¿
называются потенциалами соответственно
i−
го поставщика
и
j−
го потребителя.
Для оптимального плана Т-задачи необходимо выполнение условий:
каждой занятой клетке в распределительной таблице соответствует сумма
потенциалов, равная тарифу этой клетки, т.е.
u
i
+v
j
= c
ij
;
каждой свободной клетке соответствует сумма потенциалов, не
превышающая тарифа этой клетки, т.е.
u
i
+v
j
≤ c
ij
.
Если хотя бы одна незанятая клетка не удовлетворяет второму условию, то
опорный план является неоптимальным и его можно улучшить, переместив в
данную клетку некоторое количество единиц груза
Данная теорема носит название теоремы о потенциалах. На ней основан
специальный метод решения ТЗ, названный методом потенциалов.
6
Для применения метода потенциалов необходимо, чтобы заранее
построенный опорный план методом северо-западного угла (или другим методом)
являлся невырожденным, т.е. число базисных элементов равнялось
m+n−1
.
Если план является вырожденным, то добавляют перевозку бесконечно малой
величины ε. При этом смотрят, чтобы план не перестал быть опорным.
Метод потенциалов позволяет, исходя из некоторого опорного плана
перевозок, найти за конечное число итераций решение транспортной задачи.
Общая схема метода.
В начальном опорном плане каждому пункту ставят в соответствие
некоторое число, называемое его предварительным потенциалом.
Предварительные потенциалы выбирают так, чтобы их разность для любой пары
пунктов А
i
и В
j
, связанных основной коммуникацией, была равна с
i,j
. Если
окажется, что разность предварительных потенциалов для всех других
коммуникаций не превосходит
¿c
ij
, то данный план перевозок - оптимальное
решение задачи. В противном случае указывают способ улучшения опорного
плана Т-задачи.
Описание алгоритма метода потенциалов. Алгоритм складывается из
предварительного этапа и конечного числа однотипных итераций.
Предварительный этап. С помощью известного метода определяют
начальный опорный план Х
0
и вычисляют предварительные потенциалы
u
i
(0 )
, v
j
(0 )
.
Вычисление предварительных потенциалов производят так. По найденному
плану Х
0
строят схему Т-задачи из основных коммуникаций плана.
Поскольку на выполнение условий оптимальности плана оказывают
влияние лишь разности
v
j
(0)
−u
i
(0 )
, то за начало отсчета (нуль) можно принять
потенциал любого из пунктов (как правило, за нуль принимается
u
0
(0 )
).
После того как потенциалы всех пунктов найдены, строят матрицу
Если матрица C
1
не содержит отрицательных элементов, то Х
0
-
оптимальный план. В противном случае Х
0
- неоптимальный план, который может
быть улучшен. Тогда переходят к выполнению однотипных итераций. Цель (k +
1)-й итерации - построение матрицы С
k
, а также либо установление
оптимальности плана Х
k
, либо нахождение более экономичного плана Х
k+1
.
Каждая итерация, кроме первой, где отсутствует первый этап, состоит из
двух этапов.
Первый этап. Вычисляют матрицу C
k+1
. Преобразование матрицы C
k
в
матрицу C
k+1
состоит в следующем. Выбирают наибольший по модулю
отрицательней элемент матрицы C
k
. Выделяют строку, в которой содержится этот
элемент, а множество существенных элементов этой строки. При этом X
k
-
существенными элементами называют те элементы матрицы C
k
, которые
отвечают базисным перевозкам плана X
k
.
Затем выделяют столбцы матрицы C
k
, которые содержат элементы
множества X
k
-существенных элементов, которые находятся в столбцах матрицы
C
k
и отличны от элементов множества.
nmuvcC
ijji
,)(
)0()0(
,1
7
Процесс выделения продолжают до тех пор, пока очередное
множество не окажется пустым. Поскольку каждые строка и столбец не могут
быть выделены дважды, то весь процесс заканчивается за m+n-1 шагов.
Далее строят матрицу C
k+1
. Для этого наибольший по модулю
отрицательней элемент матрицы C
k
прибавляют ко всем выделенным столбцам и
вычитают из всех выделенных строк матрицы C
k
. При этом все выделенные X
k
-
существенные элементы матрицы C
k
остаются равными нулю.
Если все элементы матрицы C
k+1
окажутся неотрицательными, то X
k
—
оптимальный план, и на этом процесс заканчивается. В противном случае
переходят ко второму этапу.
Второй этап. Производят улучшение плана Х
k
. Выбирают наибольший по
модулю отрицательный элемент матрицы C
k+1
. Затем составляют, применив,
например метод вычеркивания, цепочку из положительных элементов плана X
k
,
которая замыкается на выбранном элементе.
После того как цепочка построена, в ней находят минимальный нечетный
по порядку следования элемент и прибавляют его ко всем четным элементам
цепочки и вычитают из всех нечетных элементов. Остальные элементы X
k
оставляют без изменения.
Новый план X
k+1
.построен. Он является опорным, так как число его
ненулевых перевозок не изменилось.
8
4. Проверка достоверности полученных результатов
В общем случае проверка полученных результатов после очередной
итерации вычисления осуществляется следующим образом:
Целевая функция считается 2 способами:
1.
L
(k )
=
∑
i=1
m
∑
j=1
n
x
(k )
ij
⋅c
ij
;
2. Пусть минимальным элементом матрицы С
(k)
оказался элемент с
индексами μ, κ, тогда значение целевой функции на этом шаге будет
равно:
L
(k )
=L
(k−1)
+c
μκ
( k )
x
μκ
(k )
Если значения не совпадают то, то на экран выводится ошибка.
Если условие выполняется, то полученный результат (на данной итерации)
достоверен.
При выполнении дооптимизации единственным подтверждением
правильности результатов может служить уменьшение целевой функции
T =minmax(t
i, j
)
.
9
5. Алгоритм решения задачи
1. Проверка правильности ввода данных.
2. Проверка условия баланса.
3. Построение начального опорного плана Х
(0)
методом минимального элемента.
4. Проверка плана на вырожденность, если нужно добавляем фиктивные
перевозки.
5. Расчет начальных потенциалов и заполнение матрицы С
(1)
.
6. Поиск минимального элемента в матрице С
(1)
.
7. Если этот элемент меньше нуля, то заменяем нулевой элемент,
соответствующий минимальному в С
(1)
, в плане Х
(0)
на фиктивную перевозку,
иначе на пункт 12.
8. Производим процедуру вычеркивания.
9. Оставшиеся не вычеркнутыми элементы разделяем на четные и нечетные,
учитывая, что добавленный элемент принадлежит к четным.
10. Находим минимальный нечетный элемент и прибавляем его ко всем четным и
отнимаем от нечетных элементов. Причем, если минимальных элементов
окажется 2 или более, то один из них обнуляем, а остальные делаем
фиктивными. В итоге получаем план Х
(1)
.
11. Производим процедуру вычеркивания. Получаем матрицу С
(2)
.
12. Проверяем матрицу С
(2)
на наличие отрицательных элементов. Если такие
элементы присутствуют, то повторяем пункты с 5 по11.
13. Если во время решения достоверность результатов нарушается, прекращаются
дальнейшие вычисления, пользователю выдается информация об ошибке.
14. Дооптимизация по времени.
14.1. Ищем отличный от нуля элемент в матрице X
(k)
, которому
соответствует наибольший элемент матрицы Т=t
max
.
14.2. Ищем в матице С
(k)
нули соответствующие таким нулям в матрице X
(k)
,
что соответствующие им элементы матрицы Т меньше t
max
.
14.3. Если в предыдущем пункте нашелся хоть один ноль, то производим
процедуры пунктов 7-10.
14.4. Переходим к пункту 14.1.
15. Вывод результатов.
10