Курсовой проект - Анализ и прогнозирование временного ряда развития уровня жизни населения

Подождите немного. Документ загружается.

1996 1202 1128,48 73,52 5405,19 -37,8 1428,84

1997 1284 1089,84 194,16 37698,11 44,2 1953,64

1998 1034 1074,32 -40,32 1625,70 -205,8 42353,64

1999 917 1081,92 -164,92 27198,61 -322,8 104199,84

2000 1122 1166,48 -44,48 1978,47 -117,8 13876,84

2001 1319 1243,44 75,56 5709,31 79,2 6272,64

2002 1355 1343,52 11,48 131,79 115,2 13271,04

2003 1504 1466,72 37,28 1389,80 264,2 69801,64

2004 1576 1613,04 -37,04 1371,96 336,2 113030,44

Итого 12398 12398 93584,4 390151,6

Для расчета предпоследней графы потребуются следующие данные:

8,12391012398 y

тыс.руб.

Таким образом, показатели, характеризующие колеблемость в ряду

динамики равны:

– среднее квадратическое отклонение отдельных уровней от тренда

рассчитывается по формуле (2.18):

74,96

4,93584





тыс.руб.

– среднее квадратическое отклонение отдельных уровней от среднего

уровня рассчитывается по формуле (2.17):

52,197

6,390151





тыс.руб.

– относительный показатель колеблемости рассчитывается по формуле

(2.19):

%80,7%100

8,1239

74,96

V

%93,15%100

8,1239

52,197

V

Общую сумму квадратов отклонений от средней можно разделить на

составляющие следующим образом (2.19):

(2.19)

Среднее квадратическое отклонение, рассчитанное на основе данной

суммы квадратов отклонений от тренда, одновременно рассматривается как

средняя квадратическая ошибка уравнения тренда.

     

 

 .

ˆˆ

222

yyyyyy

При этом, поскольку различные уравнения тренда имеют разное число

параметров (m), средняя квадратическая ошибка уравнения тренда

рассчитывается путем деления не на n, а на (n-m), т.е. на число степеней

свободы (2.20):

(2.20)

2.2.1. Выявление и

измерение сезонных колебаний

Как правило, изучение периодических («сезонных») колебаний

необходимо с целью исключения их влияния на общую динамику для

выявления «чистой» (случайной ) колеблемости.

В широком понимании к сезонным относят все явления, которые

обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность

внутригодичных изменений, т.е. более или менее устойчиво повторяющиеся

из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не

связаны со сменой времен года.

К сезонным явлениям относят, например, потребление

электроэнергии; неравномерность производственной деятельности в отраслях

пищевой промышленности, связанных с переработкой

сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом, спрос на

многие виды продукции и услуг и т.д.

Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб

национальной экономике, связанный с неравномерным использованием

оборудования и рабочей силы, с неравномерной загрузкой транспорта,

необходимостью создания резервов мощностей и т.д. Комплексное

регулирование сезонных изменений по отдельным отраслям должно

основываться на исследовании сезонных отклонений.

Важнейшими задачами, решаемыми в ходе исследования

сезонности, являются следующие:

1) определение наличия сезонности, численное выражение проявления

сезонных колебаний и выявление их силы и характера в различных фазах

годичного цикла;

2)характеристика факторов, вызывающих сезонные колебания;

3)оценка последствий, к которым приводит наличие сезонных колебаний;

4)математическое моделирование сезонности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены

различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые из них:

а) метод абсолютных разностей;

б) метод относительных разностей;

в) построение индексов сезонности.

)

(







Первые два способа предполагают нахождение разностей

фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основной

тенденции развития.

Применяя способ абсолютных разностей, оперируют

непосредственно размерами этих разностей, а при использовании метода

относительных разностей определяют отношение абсолютных размеров

указанных разностей к выравненному уровню. При выявлении основной

тенденции используют либо метод скользящей средней, либо аналитическое

выравнивание. В некоторых случаях в стационарных рядах можно

пользоваться разностью фактических уровней и средним месячным уровнем

за год. Использование данных за несколько лет связано с тем

обстоятельством, что в отклонениях по отдельным годам сезонные

колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать случайные

колебания, берут средние отклонения за несколько лет.

Важной характеристикой сезонных колебаний является индекс

сезонности, который может быть вычислен как отношение среднего уровня

соответствующего месяца к общей средней (2.21):

%.100



сез

(2.21)

Индексы сезонности могут быть рассчитаны также как отношение

фактического уровня соответствующего месяца к уровню, рассчитанному по

методу скользящей средней или же определенному по уравнению тренда. В

последнем случае предварительно для временного ряда рассчитывается

уравнение тренда, на основании которого за каждый месяц определяется

значение выравненного уровня.

Тогда индекс сезонности рассчитывается следующим образом (2.22):

%100



сез

(2.22)

где

- значение выравненного уровня i-го месяца.

При наличии месячных данных за ряд лет расчет индексов сезонности

можно осуществить несколькими способами:

1. По данным ряда лет рассчитывается среднее значение уровня для

каждого месяца, а также средний месячный уровень за весь период.

Затем определяются индексы сезонности как процентное отношение

средних уровней для каждого месяца к общему среднему месячному

уровню всего ряда (за все годы), т.е. по формуле (2.23):

%.100



сез

(2.23)

Данный метод используется в основном в тех случаях, когда уровни

одноименных месяцев в разные годы отличаются незначительно.

Если же наблюдается тенденция к увеличению или снижению уровней из

года в год, то эффективнее рассчитать индексы сезонности по следующей

схеме:

2. Для каждого года отдельно рассчитываются индексы сезонности по

формуле (2.21), а затем из индексов одноименных месяцев находится

средняя арифметическая.

3. Следующий прием измерения сезонных колебаний при наличии

тренда в данных за ряд лет основан на сопоставлении фактических

месячных (или квартальных) уровней либо со сглаженным методом

скользящей средней, либо с выравненными по определенной

аналитической формуле. Индекс сезонности будет рассчитываться по

формуле (2.22).

Расчеты с применением данного метода для получения индексов

сезонности по отношению к тренду на примере динамики среднедушевых

денежных доходов населения Тюменской области по кварталам за 3 года (2002

г., 2003 г., 2004 г.) приведены ниже. Исходные данные и последующие расчеты

представлены в Табл.2.8.

Таблица 2.8

Расчет величин для определения индексов сезонности по отношению к

тренду

Среднедушевые

денежные

доходы,

тыс.руб.

Время

Выравн

енные

уровни

Индекс

сезонности

.сез

Средний

индекс

сезонности

.сез

Выравненн

ые уровни с

учетом

сезонности

1 2 3 4 5 6 7 8 9

III

303

347

321

384

303

694

963

1536

329,82

337,05

344,28

351,51

91,87

102,95

93,24

109,24

100,37

97,44

100,00

102,16

331,04

328,42

344,28

359,10

III

386

364

393

361

1930

2184

2751

2888

358,74

365,97

373,20

380,43

107,60

99,46

105,31

94,89

100,37

97,44

100,00

102,16

360,07

356,60

373,20

388,65

III

394

355

408

419

100

121

144

3546

3550

4488

5028

387,66

394,89

402,12

409,35

101,64

89,90

101,46

102,36

100,37

97,44

100,00

102,16

389,09

384,78

402,12

418,19

12 4435 78 650 29861 4435,02 1199,92 1199,91 4435,55

Предполагая, что фактические уровни (см. графу 2) имеют линейный

тренд

tbby



, и при ведении счета времени от начала ряда (t = 1,2,3 и т.д.),

проводят все необходимые подсчеты в таблице (графы 2-5). По этим суммам

определяются параметры b

и b, решая систему нормальных уравнений (2.24):













  



;

yttbtb

ytbnb

(2.24)

При подстановке необходимых значений в систему (2.24) получаются

следующие результаты:









.2986165078

;44357812

(2.24)

После решения системы b

= 322,59 и b

= 7,23. Отсюда уравнение тренда

будет иметь вид:

.23,759,322

ty 

Подставляя в уравнение тренда значения t (1,2,3,…12), находятся

выравненные уровни

(см.графу 6 Табл.2.8).

Отношение фактических уровней y

(графа 2) к выравненным

(графа 6)

являются индексами сезонности (графа 7) по отношению к тренду.

Так как квартальные индексы в разные годы различны, они усредняются.

К примеру, для I квартала

сез

= (91,87+107,6+101,64)/3 = 100,37. Аналогично

расчеты ведутся по II, III и IV кварталам. Усредненные значения записываются

в качестве искомых индексов сезонности для всех трех лет (графа 8).

Умножая выравненные уровни на средние индексы сезонности, т.е. графу

6 на графу 8, получают теоретические (выравненные) уровни с учетом индекса

«сезонной волны» (графа 9).

Расчеты с применением данного метода для получения индексов

сезонности по отношению к тренду на примере динамики численности

населения Тюменской области по кварталам за 3 года (2002 г., 2003 г., 2004 г.)

приведены ниже. Исходные данные и последующие расчеты представлены в

Табл.2.9.

Уже по вышеизложенному алгоритму действий получается: b

= 819,5 и b

= -0,115. Отсюда уравнение тренда будет иметь вид:

.115,05,819

ty 

Таблица 2.9

Расчет величин для определения индексов сезонности по отношению к

тренду

Численность

населения,

тыс.чел.

Время

Выравн

енные

уровни

Индекс

сезонности

.сез

Средний

индекс

сезонности

.сез

Выравненн

ые уровни с

учетом

сезонности

1 2 3 4 5 6 7 8 9

III

850

805

809

801

850

1610

2427

3204

819,39

819,27

819,16

819,04

103,74

98,26

98,76

97,80

101,31

101,41

97,92

99,36

830,12

830,82

802,12

813,80

Продолжение Табл.2.9

III

817

849

796

808

4085

5094

5572

6464

818,93

818,81

818,70

818,58

99,76

103,69

97,23

98,71

101,31

101,41

97,92

99,36

829,66

830,36

801,67

813,34

III

822

837

800

831

100

121

144

7398

8370

8800

9972

818,47

818,35

818,24

818,12

100,43

102,28

97,77

101,57

101,31

101,41

97,92

99,36

829,19

829,89

801,22

812,88

12 9825 78 650 63846 9825,03 1199,99 1200 9825,08

2.3.Автокорреляция в рядах динамики. Построение моделей авторегрессии

Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при

изучении временных последовательностей. Однако нередко совпадение общих

тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью, а прочими

неучитываемыми факторами. Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно

следует избавиться от влияния существующих в них тенденций, а после этого

провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда. Исследование

включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и

установление связи между признаками.

Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней

ряда от предыдущих. В частности, если установлено наличие автокорреляции,

то эту зависимость можно выразить уравнением авторегрессии. В отдельных

случаях приходится устранять влияние автокорреляции на взаимосвязь между

исследуемыми показателями.

Одним из основных измерителей автокорреляции между уровнями ряда

является коэффициент автокорреляции, который можно найти по формуле

парного линейного коэффициента корреляции (2.25):

yxyx









(2.25)

где x – факторный признак;

y – результативный признак;



– среднее квадратическое отклонение факторного признака;



– среднее квадратическое отклонение результативного признака.

Коэффициент автокорреляции можно рассчитать либо между соседними

уровнями, либо между уровнями, сдвинутыми на любое число единиц времени

m. Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет порядок

коэффициента автокорреляции: 1-го порядка при m = 1, т.е. соседними

уровнями; 2-го порядка при m = 2, т.е. при сдвиге уровней на 2 периода; и т.д.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному

моменту времени (или периоду) t, обозначить через y

, то сдвинутые уровни (в

зависимости от направления сдвига) соответственно обозначают y

t+1

или y

.Тогда формулу коэффициента автокорреляции 1-го порядка можно записать в

двух видах. Но чаще всего используется следующая формула (2.26):









tttt

yyyy



(2.26)

При достаточно большом числе уровней ряда значения средних уровней и

средних квадратических отклонений у исходного и сдвинутого рядов

практически совпадают, т.е.

1



1





Используя эти равенства и отдавая предпочтение средней

и дисперсии



, рассчитанным для всех членов исходного ряда, можно получить

приближенную формулу коэффициента автокорреляции (2.27):

)(

ttt

yyy









(2.27)

Или тождественную ей (2.28):

)(









ttt

yny

ynyy

(2.28)

Чтобы иметь возможность пользоваться формулами (2.27) и (2.28) для

коротких рядов, у которых первый и последний уровни отличаются

незначительно, сдвинутый ряд дополняют, принимая y

= y

Найденное значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не

говорит о наличии или отсутствии самой автокорреляции. Его необходимо

сравнить с критическим. Существуют специальные таблицы, в которых для

разного числа членов ряда n и разных уровней значимости



определена

критическая область проверяемая нулевой гипотезой (об отсутствии

автокорреляции между уровнями ряда). Одна из таких таблиц составлена

Р.Андерсоном. Фактическое значение коэффициента автокорреляции

сравнивается с табличным (критическим) при 5-ти или 1-процентном уровне

значимости. Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше

табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть

принята. Если же значение коэффициента автокорреляции больше табличного,

то нулевая гипотеза отвергается и делается вывод о наличии автокорреляции.

В рядах динамики, в которых обнаружена автокорреляция между

уровнями ряда, каждый уровень y

можно рассматривать как функцию

предыдущих значений уровней. Уравнение, выражающее эту зависимость,

называется уравнением авторегрессии.

Наиболее простой формой зависимости между соседними уровнями ряда

может служить линейная функция, выраженная уравнением (2.29):

110





ybby

. (2.29)

Уравнение регрессии, которое связывает исходные уровни ряда с теми же

уровнями, сдвинутыми на определенный лаг, определяется по общим правилам

регрессионного анализа.

Параметры уравнения авторегрессии (2.29) с лагом в один год находятся

путем решения системы нормальных уравнений (2.30):













 

 



;

110

yyybyb

yybnb

(2.30)

При этом следует иметь в виду, что поскольку сдвинутый ряд у

t-1

содержит на один уровень меньше, чем исходный ряд, то все расчеты сумм

необходимо проводить для одного и того же числа членов ряда, а именно n-1.

Расчет коэффициента автокорреляции на примере данных о

среднедушевых денежных доходах населения Тюменской области за период

1995-2004 гг. приведены ниже. Исходные данные и расчет необходимых

величин для постановки в формулы (2.27) и (2.28) приведены в Табл. 2.10

(дополненные данные в сдвинутом ряду взяты в скобки).

По итоговым данным Табл.2.10 находят:

;8,1239

12398



04,1537104)8,1239()(



;

;2,1576119

15761192



;16,3901504,15371042,1576119)(



tty



.3,1553759

15537593



tt

Таблица 2.10

Расчет величин для определения коэффициента автокорреляции 1-го

порядка

Год Среднедушевые

денежные

доходы,

тыс.руб.

t-1

1995 1085 (1576) 1709960 1177225

1996 1202 1085 1304170 1444804

1997 1284 1202 1543368 1648656

1998 1034 1284 1327656 1069156

1999 917 1034 948178 840889

2000 1122 917 1028874 1258884

2001 1319 1122 1479918 1739761

2002 1355 1319 1787245 1836025

2003 1504 1355 2037920 2262016

2004 1576 1504 2370304 2483776

Итого 12398 12398 15537593 15761192

При подстановке полученных значений в формулу (2.27) получается:

.427,0

16,39015

04,15371043,1553759







Тот же результат получается и по формуле (2.28):

.427,0

04,15371041015761192

04,15371041015537593







Следует сравнить рассчитанное значение коэффициента автокорреляции

с табличным при 5-процентном уровне значимости. Для n = 10 при



= 0,05

критическое значение коэффициента автокорреляции равно 0,36. Так как

рассчитанное значение (r

= 0,427) больше табличного, то с вероятностью Р =

0,95 (Р = 1-



) можно сделать вывод о наличии автокорреляции в исследуемом

ряду.

Так как в данном ряду динамики обнаружена автокорреляция следует для

него найти уравнение авторегрессии. Скорректировав с учетом сдвига итоговые

данные (рассчитанные в Табл.2.10), получают следующие значения величин,

необходимые для решения системы нормальных уравнений:

9n

;



11313

;







10822

;

117115684





t

;

13827633





tt

При подстановке этих значений в систему уравнений (2.30) получается:









.1382763311711568410822

;11313108229

При решении данной системы получаются результаты:

356,1235

b

.002,0

b

Таким образом авторегрессионная модель имеет следующий вид:

.002,0356,1235

1



Расчет коэффициента автокорреляции на примере данных о численности

населения Тюменской области за период 1995-2004 гг. приведены ниже.

Исходные данные и расчет необходимых величин для постановки в формулы

(2.27) и (2.28) приведены в Табл. 2.11 (дополненные данные в сдвинутом ряду

взяты в скобки).

Таблица 2.11

Расчет величин для определения коэффициента автокорреляции 1-го

порядка

Год Численность

населения,

тыс.чел.

t-1

1995 3187 (3290) 10485230 10156969

1996 3197 3187 10188839 10220809

1997 3228 3197 10319916 10419984

1998 3244 3228 10471632 10523536

1999 3237 3244 10500828 10478169

2000 3254 3237 10533198 10588516

2001 3272 3254 10647088 10705984

2002 3265 3272 10683080 10660225

2003 3270 3265 10676550 10692900

2004 3290 3270 10758300 10824100

Итого 32444 32444 105264661 105271192

По итоговым данным Табл.2.11 находят:

;4,3244

32444

