Курсовая работа - Моделирование и прогнозирование курса акций British Petroleum
Подождите немного. Документ загружается.
28.12.2010 0,135444 0,1475
29.12.2010 -0,230865 -0,4475
30.12.2010 0,530154 0,4
31.12.2010 0,025743 0,24
Полученные по модели значения в конце периода близки к фактическим значениям
конечных разностей. Для оценки адекватности данным более наглядным будет
использование графика.
Как видно на графике (рис. 7), значения, полученные по модели, близки к фактическим
значениям конечных разностей третьего порядка, но «опаздывают» на один шаг –
особенно заметны отличия в середине ряда, где фактические значения сильнее
отклоняются от своего среднего значения. Это связано с тем, что модель скользящего
среднего строится по ошибкам прошлых периодов, поэтому в случае резкого скачка в
исходных данных модель не сможет его предугадать, и в следующем периоде будет
получено значение, близкое к «скачку». Следует отметить, что в конце периода
фактические значения не сильно отклоняются от своего среднего, и данные, рассчитанные
по модели, близки к фактическим. Это позволяет рассчитывать на адекватный прогноз по
модели.
Проверка адекватности данным МА(2)
-15
-10
-5
0
5
10
15
0
1
.
0
1
.
2
0
1
0
1
5
.
0
1
.
2
0
1
0
2
9
.
0
1
.
2
0
1
0
1
2
.
0
2
.
2
0
1
0
2
6
.
0
2
.
2
0
1
0
1
2
.
0
3
.
2
0
1
0
2
6
.
0
3
.
2
0
1
0
0
9
.
0
4
.
2
0
1
0
2
3
.
0
4
.
2
0
1
0
0
7
.
0
5
.
2
0
1
0
2
1
.
0
5
.
2
0
1
0
0
4
.
0
6
.
2
0
1
0
1
8
.
0
6
.
2
0
1
0
0
2
.
0
7
.
2
0
1
0
1
6
.
0
7
.
2
0
1
0
3
0
.
0
7
.
2
0
1
0
1
3
.
0
8
.
2
0
1
0
2
7
.
0
8
.
2
0
1
0
1
0
.
0
9
.
2
0
1
0
2
4
.
0
9
.
2
0
1
0
0
8
.
1
0
.
2
0
1
0
2
2
.
1
0
.
2
0
1
0
0
5
.
1
1
.
2
0
1
0
1
9
.
1
1
.
2
0
1
0
0
3
.
1
2
.
2
0
1
0
1
7
.
1
2
.
2
0
1
0
ma(2)
разности
Рис. 7. Конечные разности третьего порядка и модель МА(2)
Прогноз по МА(2)
Прогноз по модели МА(2) считается как
21
762865,0764499,1
ititit
x
, где i –
номер прогнозируемого периода. Поскольку модель скользящего среднего строится по
ошибкам, прогноз можно построить на ограниченный период времени: будущие ошибки
21
неизвестны и не могут быть использованы в расчётах. В частности, для модели МА(2)
прогноз может быть построен на два периода. Результаты представлены в таблице 20.
Таблица 20. Прогнозные значения конечных разностей
Дата Прогноз
01.01.2011 -0,544291
02.01.2011 0,205299
Возврат к исходному ряду
В соответствии с моделью МА(2) процесс описывается уравнением:
21
958,0958,1
tttt
x
С другой стороны:
321
33
ttttt
yyyyx
Объединим два уравнения в одно и перенесём регрессоры в одну сторону:
21321
958,0958,133
ttttttt
yyyy
В соответствии с полученной моделью рассчитаны данные для исходного ряда. В таблице
21 представлены результаты для последних десяти дней 2010 года.
Таблица 21. Смоделированный и фактический курс акций British Petroleum за 22-31 декабря 2010 года
Дата Фактические данные Модель
22.12.2010 43,61 43,61142431
23.12.2010 44,00 43,68235904
24.12.2010 44,00 44,08660048
25.12.2010 44,00 44,08395011
26.12.2010 44,00 44,08141926
27.12.2010 43,97 44,07900268
28.12.2010 44,11 44,04544419
29.12.2010 43,95 44,18913526
30.12.2010 43,89 44,02015424
31.12.2010 44,17 43,95574309
Более наглядно представление модели и фактических данных в виде графика – рис. 8.
22
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
0
1
.
0
1
.
2
0
1
0
1
5
.
0
1
.
2
0
1
0
2
9
.
0
1
.
2
0
1
0
1
2
.
0
2
.
2
0
1
0
2
6
.
0
2
.
2
0
1
0
1
2
.
0
3
.
2
0
1
0
2
6
.
0
3
.
2
0
1
0
0
9
.
0
4
.
2
0
1
0
2
3
.
0
4
.
2
0
1
0
0
7
.
0
5
.
2
0
1
0
2
1
.
0
5
.
2
0
1
0
0
4
.
0
6
.
2
0
1
0
1
8
.
0
6
.
2
0
1
0
0
2
.
0
7
.
2
0
1
0
1
6
.
0
7
.
2
0
1
0
3
0
.
0
7
.
2
0
1
0
1
3
.
0
8
.
2
0
1
0
2
7
.
0
8
.
2
0
1
0
1
0
.
0
9
.
2
0
1
0
2
4
.
0
9
.
2
0
1
0
0
8
.
1
0
.
2
0
1
0
2
2
.
1
0
.
2
0
1
0
0
5
.
1
1
.
2
0
1
0
1
9
.
1
1
.
2
0
1
0
0
3
.
1
2
.
2
0
1
0
1
7
.
1
2
.
2
0
1
0
3
1
.
1
2
.
2
0
1
0
исх
модель
Рис. 8. Смоделированный и фактический курс акций British Petroleum за 2010 год
В начальном периоде (примерно до середины января) модель заметно отклоняется от
фактических данных, но в дальнейшем графики модели и фактических значений
становятся почти неразличимыми. Это свидетельствует о том, что построенная модель
21321
958,0958,133
ttttttt
yyyy
хорошо описывает процесс изменения
курса акций British Petroleum.
Прогноз курса акций British Petroleum на 1 и 2 января 2011 года
С помощью EViews был получен прогноз для модели МА(2) для конечных разностей. То
есть, были рассчитаны значения
ititit
x
21
958191,0958259,1
, где i – это номер
прогнозируемого дня, а t равно 365.
Таким образом, прогноз на первое января, в соответствии с моделью для исходного ряда
считается по формуле:
ttttt
xyyyy
211
33
Для прогноза на один день достаточно всей имеющейся информации. Такой прогноз
является безусловным, и он окажется наиболее точным, поскольку зависит только от уже
известных данных.
Прогноз на 01.01.2011 будет обладать ошибкой. При подстановке полученного значения
1t
y
в формулу для расчёта
2t
y
(
1112
33
ttttt
xyyyy
) в вычисления будет
включена и ошибка прогноза
1t
y
. Более того, в силу стоящего перед
1t
y
23
коэффициента, значение ошибки утроится, что повлечёт возрастание неточности прогноза
для
2t
y
.
После подстановки формулы для расчёта
1t
y
в соответствующую формулу для
2t
y
и
приведения подобных членов она примет вид:
1212
3386
tttttt
xxyyyy
.
То есть, на утроенную ошибку, «унаследованную» от прогноза на 01.01.2011,
накладывается новая ошибка, вызванная появлением
1t
x
.
Таким образом, прогноз на 02.01.2011 характеризуется значительно большей ошибкой,
чем прогноз на 01.01.2011. То есть точность прогноза на 02.01.2011, по сравнению с
прогнозом на 01.01.2011, уменьшится.
На момент написания курсовой работы курс акций British Petroleum на 1 и 2 января 2011
года уже известен, поэтому можно сравнить получившиеся прогнозные и реальные
значения.
Таблица 22. Апостериорное сравнение спрогнозированного и фактического курса акций
Дата Прогноз Фактическое значение
01.01.2011 44,2457091 44,17
02.01.2011 44,3224263 45,15
Как видно из таблицы, прогноз оказался довольно-таки точным. Фактическая ошибка
прогноза на первое января составила -0,0757, а на второе января 0,82757. То есть, как и
ожидалось, ошибка прогноза на первое января оказалась небольшой, а ошибка прогноза
на второе января значительно её превысила.
24
Заключение
В данной работе после исследования данных о курсе акций British Petroleum за период с
01.01.2010 по 31.12.2010 и приведения ряда данных к стационарному с помощью
конечных разностей третьего порядка было построено несколько моделей. Из них была
выбрана лучшая (МА(2)), характеризующаяся наличием автокорреляции квадратов
остатков. Соответствующая ей модель типа ARCH избавила модель от коррелированности
квадратов остатков, но сама характеризовалась коррелированной ошибкой. Кроме того, в
силу выявленного тестом Сиджела – Тьюки постоянства дисперсии процесс
предпочтительнее описывать моделью с постоянной дисперсией ошибки. По этим
причинам лучшей из всех рассмотренных моделей была признана МА(2).
По ней был построен прогноз на два дня, а именно на 01.01.2011 и 02.01.2011. При этом
ошибка прогноза на 01.01.2011 ожидалась меньшей, чем ошибка прогноза на 02.01.2011. В
дальнейшем апостериорное сравнение прогноз с реальными данными подтвердило
априорные предположения относительно прогноза.
Итак, полученная модель
21321
958,0958,133
ttttttt
yyyy
хорошо
описывает процесс и позволяет строить реалистичный прогноз на два дня, причём прогноз
на первый день оказывается значительно более точным. Подобные модели
(основывающиеся на длинных рядах и дающие адекватный прогноз на один временной
период) характерны для финансовой эконометрики, изучающей, помимо всего прочего, и
курсы акций.
25
Список источников
1. www.bp.com
2. Тихомиров Н. П., Дорохина Е. Ю. «Эконометрика», издательство «Экзамен»,
Москва, 2003
3. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. «Эконометрика. Начальный курс»,
издательство «Дело», Москва, 2005
26
Приложение 1. Исходные данные
Использованные в курсовой работе данные взяты с сайта www.bp.com. В качестве данных
за субботу использованы данные за пятницу, в качестве данных за воскресенье – данные
за понедельник. Данные за период, соответствующий рождественским праздникам (24-26
декабря), рассчитаны как линейная аппроксимация.
Дата
Цена
акций, $
Дата
Цена
акций, $
Дата
Цена
акций, $
Дата
Цена
акций, $
01.01.2010 58,15 03.04.2010 57,74 04.07.2010 29,35 04.10.2010 40,82
02.01.2010 58,34 04.04.2010 58,51 05.07.2010 31,91 05.10.2010 41,33
03.01.2010 58,52 05.04.2010 58,51 06.07.2010 31,91 06.10.2010 41,61
04.01.2010 58,71 06.04.2010 59,36 07.07.2010 33,12 07.10.2010 41,52
05.01.2010 58,89 07.04.2010 58,78 08.07.2010 33,74 08.10.2010 41,92
06.01.2010 59,08 08.04.2010 58,97 09.07.2010 34,05 09.10.2010 41,92
07.01.2010 59,26 09.04.2010 59,46 10.07.2010 34,05 10.10.2010 41,24
08.01.2010 59,45 10.04.2010 59,46 11.07.2010 36,76 11.10.2010 41,24
09.01.2010 59,63 11.04.2010 59,34 12.07.2010 36,76 12.10.2010 41,26
10.01.2010 59,82 12.04.2010 59,34 13.07.2010 36,88 13.10.2010 41,41
11.01.2010 60,00 13.04.2010 59,29 14.07.2010 36,18 14.10.2010 41,02
12.01.2010 61,50 14.04.2010 60,00 15.07.2010 38,92 15.10.2010 40,62
13.01.2010 61,80 15.04.2010 60,57 16.07.2010 37,10 16.10.2010 40,62
14.01.2010 61,73 16.04.2010 59,88 17.07.2010 37,10 17.10.2010 41,49
15.01.2010 61,64 17.04.2010 59,88 18.07.2010 35,75 18.10.2010 41,49
16.01.2010 61,64 18.04.2010 59,48 19.07.2010 35,75 19.10.2010 40,94
17.01.2010 61,64 19.04.2010 59,48 20.07.2010 35,20 20.10.2010 41,10
18.01.2010 62,32 20.04.2010 60,48 21.07.2010 36,13 21.10.2010 40,65
19.01.2010 62,32 21.04.2010 60,09 22.07.2010 36,23 22.10.2010 40,50
20.01.2010 61,06 22.04.2010 59,55 23.07.2010 38,86 23.10.2010 40,50
21.01.2010 59,57 23.04.2010 59,88 24.07.2010 38,86 24.10.2010 40,21
22.01.2010 57,87 24.04.2010 59,88 25.07.2010 38,65 25.10.2010 40,21
23.01.2010 57,87 25.04.2010 57,91 26.07.2010 38,65 26.10.2010 40,65
24.01.2010 58,55 26.04.2010 57,91 27.07.2010 38,00 27.10.2010 40,10
25.01.2010 58,55 27.04.2010 56,33 28.07.2010 37,71 28.10.2010 40,60
26.01.2010 58,49 28.04.2010 57,34 29.07.2010 38,47 29.10.2010 40,83
27.01.2010 58,06 29.04.2010 52,56 30.07.2010 38,47 30.10.2010 40,83
28.01.2010 57,33 30.04.2010 52,15 31.07.2010 38,47 31.10.2010 40,77
29.01.2010 56,12 01.05.2010 52,15 01.08.2010 39,42 01.11.2010 40,77
30.01.2010 56,12 02.05.2010 50,19 02.08.2010 39,42 02.11.2010 41,42
31.01.2010 57,23 03.05.2010 50,19 03.08.2010 40,00 03.11.2010 42,37
01.02.2010 57,23 04.05.2010 51,20 04.08.2010 39,39 04.11.2010 43,91
02.02.2010 55,46 05.05.2010 50,99 05.08.2010 40,68 05.11.2010 43,79
03.02.2010 55,17 06.05.2010 50,40 06.08.2010 41,33 06.11.2010 43,79
04.02.2010 53,48 07.05.2010 49,06 07.08.2010 41,33 07.11.2010 43,23
05.02.2010 53,18 08.05.2010 49,06 08.08.2010 40,86 08.11.2010 43,23
06.02.2010 53,18 09.05.2010 48,80 09.08.2010 40,86 09.11.2010 43,00
07.02.2010 52,43 10.05.2010 48,80 10.08.2010 40,13 10.11.2010 43,53
08.02.2010 52,43 11.05.2010 48,74 11.08.2010 38,79 11.11.2010 43,68
09.02.2010 53,61 12.05.2010 48,50 12.08.2010 38,38 12.11.2010 42,99
10.02.2010 53,65 13.05.2010 48,10 13.08.2010 38,93 13.11.2010 42,99
11.02.2010 54,80 14.05.2010 46,87 14.08.2010 38,93 14.11.2010 43,04
12.02.2010 54,67 15.05.2010 46,87 15.08.2010 38,40 15.11.2010 43,04
13.02.2010 54,67 16.05.2010 45,57 16.08.2010 38,40 16.11.2010 41,78
14.02.2010 54,67 17.05.2010 45,57 17.08.2010 38,05 17.11.2010 41,60
15.02.2010 55,95 18.05.2010 45,38 18.08.2010 37,30 18.11.2010 42,21
16.02.2010 55,95 19.05.2010 45,27 19.08.2010 36,24 19.11.2010 42,03
17.02.2010 54,24 20.05.2010 44,60 20.08.2010 36,40 20.11.2010 42,03
18.02.2010 54,74 21.05.2010 43,86 21.08.2010 36,40 21.11.2010 41,64
19.02.2010 54,30 22.05.2010 43,86 22.08.2010 36,12 22.11.2010 41,64
20.02.2010 54,30 23.05.2010 41,86 23.08.2010 36,12 23.11.2010 40,89
27
21.02.2010 54,25 24.05.2010 41,86 24.08.2010 34,92 24.11.2010 41,47
22.02.2010 54,25 25.05.2010 42,56 25.08.2010 35,25 25.11.2010 41,47
23.02.2010 53,22 26.05.2010 42,41 26.08.2010 35,42 26.11.2010 41,00
24.02.2010 53,58 27.05.2010 45,38 27.08.2010 35,56 27.11.2010 41,00
25.02.2010 52,89 28.05.2010 42,95 28.08.2010 35,56 28.11.2010 40,59
26.02.2010 53,21 29.05.2010 42,95 29.08.2010 35,26 29.11.2010 40,59
27.02.2010 53,21 30.05.2010 42,95 30.08.2010 35,26 30.11.2010 40,00
28.02.2010 53,98 31.05.2010 36,52 31.08.2010 34,83 01.12.2010 40,62
01.03.2010 53,98 01.06.2010 36,52 01.09.2010 36,16 02.12.2010 41,32
02.03.2010 54,00 02.06.2010 37,66 02.09.2010 36,57 03.12.2010 41,49
03.03.2010 54,86 03.06.2010 39,25 03.09.2010 37,43 04.12.2010 41,49
04.03.2010 55,09 04.06.2010 37,16 04.09.2010 37,43 05.12.2010 42,81
05.03.2010 55,78 05.06.2010 37,16 05.09.2010 37,43 06.12.2010 42,81
06.03.2010 55,78 06.06.2010 36,76 06.09.2010 37,19 07.12.2010 42,89
07.03.2010 56,17 07.06.2010 36,76 07.09.2010 37,19 08.12.2010 43,27
08.03.2010 56,17 08.06.2010 34,66 08.09.2010 38,37 09.12.2010 42,79
09.03.2010 56,04 09.06.2010 29,20 09.09.2010 38,02 10.12.2010 43,24
10.03.2010 56,19 10.06.2010 32,78 10.09.2010 38,22 11.12.2010 43,24
11.03.2010 56,60 11.06.2010 33,97 11.09.2010 38,22 12.12.2010 43,43
12.03.2010 56,86 12.06.2010 33,97 12.09.2010 38,35 13.12.2010 43,43
13.03.2010 56,86 13.06.2010 30,67 13.09.2010 38,35 14.12.2010 44,44
14.03.2010 56,58 14.06.2010 30,67 14.09.2010 38,52 15.12.2010 43,86
15.03.2010 56,58 15.06.2010 31,39 15.09.2010 38,18 16.12.2010 43,75
16.03.2010 57,18 16.06.2010 31,85 16.09.2010 38,27 17.12.2010 43,25
17.03.2010 58,15 17.06.2010 31,71 17.09.2010 38,03 18.12.2010 43,25
18.03.2010 58,15 18.06.2010 31,76 18.09.2010 38,03 19.12.2010 43,68
19.03.2010 57,69 19.06.2010 31,76 19.09.2010 38,68 20.12.2010 43,68
20.03.2010 57,69 20.06.2010 30,33 20.09.2010 38,68 21.12.2010 43,54
21.03.2010 57,35 21.06.2010 30,33 21.09.2010 38,59 22.12.2010 43,61
22.03.2010 57,35 22.06.2010 29,68 22.09.2010 38,09 23.12.2010 44,00
23.03.2010 57,95 23.06.2010 29,67 23.09.2010 38,13 24.12.2010 43,99
24.03.2010 57,23 24.06.2010 28,74 24.09.2010 38,46 25.12.2010 43,99
25.03.2010 56,53 25.06.2010 26,97 25.09.2010 38,46 26.12.2010 43,98
26.03.2010 56,69 26.06.2010 26,97 26.09.2010 38,71 27.12.2010 43,97
27.03.2010 56,69 27.06.2010 27,05 27.09.2010 38,71 28.12.2010 44,11
28.03.2010 56,89 28.06.2010 27,05 28.09.2010 39,29 29.12.2010 43,95
29.03.2010 56,89 29.06.2010 27,67 29.09.2010 40,00 30.12.2010 43,89
30.03.2010 56,83 30.06.2010 28,88 30.09.2010 41,17 31.12.2010 44,17
31.03.2010 57,07 01.07.2010 29,39 01.10.2010 41,95
01.04.2010 57,74 02.07.2010 29,35 02.10.2010 41,95
02.04.2010 57,74 03.07.2010 29,35 03.10.2010 40,82
28
Приложение 2. Преобразования исходного ряда
Деление на тренд
Тренд, описывающий исходный ряд:
741,610696,00006,0t0,000002
23
tty
t
Преобразование заключается в делении фактическое значение на соответствующее ему
трендовое значение.
Проверю, не представляет ли собой данный ряд процесс случайного блуждания, для чего
проведу тест Дики – Фуллера.
Значение статистики Дики - Фуллера превышает все приведённые в таблице критические
значения. Это значит, что гипотеза о том, что ряд носит характер случайного блуждания,
отвергнута быть не может.
Если построить по данному ряду модель АР(1), то будут получены результаты:
Согласно данной модели процесс описывается уравнением
ttt
xx
1
999408,0
Коэффициент при
1t
x
предыдущем значении ряда в модели равен 0,9994, то есть, почти
единице, что свидетельствует о возможном характере случайного блуждания процесса.
Первый коэффициент частной корреляции выходит за пределы доверительной трубки, а
последующие значения коэффициентов частной корреляции, за исключением девятого и,
может быть, десятого – находятся в пределах доверительной трубки. При этом значения
коэффициентов автокорреляции ряда выходят за пределы доверительной трубки и, с
ростом лага, постепенно уменьшаются. Вид автокорреляционной и частной
корреляционной функций для данного ряда говорит о том, что лучшей моделью для
данного ряда, вероятнее всего, будет ар(1).
29
Всё это говорит, что гипотезу о том, что данный процесс представляет собой случайное
блуждание, отклонить нельзя.
Данное преобразование нецелесообразно.
В EViews соответствующая этому ряду серия называется "delenie".
Прирост
Прирост рассчитывается по формуле
1
1
t
t
t
y
y
x
.
Автокорреляция и частная корреляция получившегося процесса:
Первые три значения коэффициента корреляции и частной корреляции находятся в
пределах доверительной трубки, а соответствующие им значения Q-Stat (0,6565; 1,1608;
2,8199) меньше критических (3,84146; 5,99146; 7,81473 соответственно), то есть первые
три коэффициента автокорреляции ряда статистически равны 0.
Четвёртое значение Q-Stat (10,508) уже превышает критическое (9,48773), что означает:
среди первых четырёх коэффициентов автокорреляции ряда хотя бы один окажется
отличным от нуля (при уровне значимости 0,05). Тем не менее, по ряду "прирост"
построить модель, зависящую от прошлых значений ряда будет проблематично: ведь
зависимости текущего значения от предшествующих первых трёх нет, а корреляция
четвёртого, восьмого, девятого и десятого порядков может оказаться наведённой.
Поэтому данное преобразование ряда не может быть выбрано для дальнейшего
исследования.
В EViews соответствующая этому ряду серия называется "prirost".
30