Курсовая работа - Математическое моделирование в системе конечноэлементностных расчетов Femlab
Подождите немного. Документ загружается.
Содержание
Введение 1
1. Моделирование теплообменного процесса
1.1. Теоретическая часть
2
1.2. Практическая часть
10
2. Моделирование химической реакции
2.1. Теоретическая часть
17
2.2. Практическая часть
20
Список литературы 27
Введение
Система конечноэлементностных расчетов FEMLAB – первый инженерный
инструмент для мультифизического моделирования, базирующийся на уравнениях,
которыми описываются реальные процессы. С момента выхода первой версии
FEMLAB производители ведут постоянную работу над программой, улучшая и
совершенствуя ее, что позволяет компании сохранять лидирующие позиции в этой
области и делает пакет программ FEMLAB универсальным и доступным для
использования в научной, исследовательской и инженерной областях.
FEMLAB разработан так, чтобы в наилучшей степени обеспечить простоту и
наглядность моделирования физических явлений. Вы можете задать свое уравнение в
частных производных или использовать один из специализированных физических
прикладных режимов. Эти режимы представляют собой предопределенные алгоритмы,
нацеленные на моделирование какого-то определенного явления (или группы
явлений). Далее, комбинируя единичные специализированные режимы, описывающие
какую-то проблему, можно перейти к моделированию сложного явления и т. д.
FEMLAB имеет большую встроенную библиотеку готовых моделей, которая
является важной частью этого программного пакета. Библиотека содержит готовые
модели, описывающие явления из различных областей инженерии. На каждую модель
предоставляется подробнейшая документация, включающая технические выкладки,
обсуждение результатов и пошаговое описание всех установок модели. Поскольку
модели уже идут со определенными сеткой и решением, вы можете «поиграть» с
различными опциями результатов моделирования.
Начиная с версии 3.0 FEMLAB полностью интегрирован с MATLAB. Фактически,
необходимость в интеграции была и раньше, но появилась только в 3-ем выпуске
FEMLABа. Теперь же, стало возможным запускать FEMLAB вместе с MATLAB, что
позволило программировать в FEMLAB используя язык программирования MATLAB.
1
1. Моделирование теплообменного процесса
1.1. Теоретическая часть
Перенос тепла определяется как движение энергии вследствие разности
температур. Она осуществляется по следующим механизмам:
Проводимость – перенос тепла посредством диффузии в стационарной среде по
градиенту температуры. Среда может быть твердой или жидкой.
Конвекция – перенос тепла, который может осуществляться как между горячей
поверхностью и холодной движущейся жидкостью или газом, так и наоборот.
Конвекция происходит в жидкостях и газах. Конвективный теплообмен есть передача
энергии в форме тепла между неравномерно нагретыми частями жидкости или
жидкостью и твердыми телами, осуществляемая в результате движения
макроскопических частей жидкости друг относительного друга либо по отношению к
твердым телам. Конвективный теплообмен между жидкостью и твердым телом
называется теплоотдачей. В зависимости от причин движения жидкости различают
свободную (естественную), и искусственную, или вынужденную конвекцию.
Радиация (излучение) – перенос тепла между поверхностью A с температурой T
1
и
поверхностью B с температурой T
2
посредством электромагнитных волн, причем
предполагается, что T
1
T
2
и поверхность A является бесконечно малой для
наблюдателя на поверхности B.
Тепловое уравнение
Математическая модель посредством проводимости описывается тепловым
уравнением:
QTk
t
T
C
, где
T - температура
- плотность
C - теплоемкость
C
P
- теплоемкость при постоянном давлении
C
V
- теплоемкость при постоянном объеме
k - удельная теплопроводность
Q - количество теплоты (переданной или поглощенной).
Оператор «набла» есть взятие градиента:
2
z
T
y
T
x
T
T
В установившемся режиме температура постоянна и первый член теплового
уравнения стремятся к нулю:
QTk
Если среда анизотропна, то k задается в виде матрицы:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
kkk
kkk
kkk
k
Для модели тепловой проводимости и конвекции в жидкости или газе тепловое
уравнение содержит так же и конвективную составляющую. В FEMLAB такая модель
описывается уравнением:
QTUCTk
t
T
C
PP
, где
U – поле скоростей среды.
Вектор теплового потока (одновременно для проводимости и конвекции)
определяется из вышестоящего выражения в скобках:
TUCTkq
P
, где
q - вектор теплового потока.
Для одной проводимости, без учета конвекции, вектор теплового потока
принимает вид:
Tkq
Доступными краевыми условиями в данном режиме являются:
1) Тепловой поток
2) Изоляционный материал
3) Симметрия
4) Диапазон температур
Определение уравнения в частных производных
Математическая модель переноса тепла посредством проводимости описывается
следующей разновидностью теплового уравнения:
QTk
t
T
C
Pts
)(
, где
ts
- время-масштабный коэффициент.
3
В некоторых случаях, исследователь может решить добавить локально-
проявляющуюся поперечную конвекцию или излучение в одно- или двумерном
пространстве. Это осуществляется добавлением двух дополнительных членов справа:
)()(
44
TT
dA
C
TT
dA
h
QTk
t
T
C
ambtrans
trans
ext
trans
Pts
, где
h
trans
- коэффициент теплообмена посредством поперечной конвекции
T
ext
- поперечная внешняя температура
C
trans
- константа, определяемая пользователем
T
ambtrans
- поперечная температура окружающей среды
dA - толщина в одномерном пространстве и площадь в двумерном.
Примечание: Когда используется поперечная конвекция или излучение, тепловое
уравнение необходимо модифицировать для использования области dA. Для всех
практических целей, когда использование этого расширения исключается, члены h
trans
и
C
trans
устанавливаются равными нулю.
Настройки подсистемы
Величины подсистемы:
Обозначение Описание
ts
Время - масштабный коэффициент
Плотность среды
С
p
Теплоемкость среды
k Удельная теплопроводность среды
k
Матрица удельной теплопроводности среды
k
ij
ij-й компонент матрицы k
Q Тепловой поток
h
trans
Коэффициент теплообмена посредством поперечной конвекции
T
ext
Поперечная внешняя температура
C
trans
Константа, определяемая пользователем
T
ambtrans
Поперечная температура окружающей среды
dA Толщина или площадь
Время-масштабный коэффициент
Обычно этот коэффициент равен 1, но вы можете изменить временной масштаб
(установив, например, значение данного коэффициента равным 1/60, что будет
означать, что за секунду реального времени FEMLAB промоделирует 60 секунд).
Плотность
Введите плотность материала. Вводимая величина должна представлять
отношение единицы массы к единице объема.
4
Теплоемкость
Теплоемкость С характеризует количество тепловой энергии, требуемой для
изменения температуры единицы массы на единицу температуры.
Удельная теплопроводность
Удельная теплопроводность характеризует отношение между вектором теплового
потока q и температурным градиентом T:
Tkq
- что является законом
теплопроводности Фурье. Вводимая величина должна представлять единицу
мощности на единицу длины и на единицу температуры.
Источник тепла
Источник тепла характеризует выработку тепла внутри области. Нагревание и
охлаждение выражается соответственно положительным и отрицательным
значениями. Значение Q должно вводится как единица мощности на единицу длины (в
одномерном пространстве), единица мощности на единицу площади (в двумерном
пространстве), единица мощности на единицу объема (в трехмерном пространстве).
Виды граничных условий
Граничные условия Описание
)()(
44
inf0
TTCTThqTkn
ambconst
Тепловой поток
0 Tkn
Обособленность или симметрия
0
TT
Заданная температура
0T
Заданный ноль температуры
Тепловой поток
)()(
44
inf0
TTCTThqTkn
ambconst
Диалоговое окно граничных условий включает начальные условия теплового
потока, конвекции и излучения под видом граничных условий для теплового потока.
Тепловой поток q
0
предполагается направленным нормально внутрь. Составляющие
конвекции и излучения предполагаются направленными нормально наружу.
Значение q
0
определяется как тепловой поток, входящий в данную область
(домен). Например, любой электрический нагреватель хорошо описывается этим
условием и при этом можно пренебречь геометрией самого нагревателя. Величина q
0
вводится как единица мощности в одномерном пространстве, как единица мощности
5
на единицу длины в двумерном пространстве, как единица мощности на единицу
площади в трехмерном пространстве.
Слагаемое h(T
inf
– T) моделирует конвективный обмен теплом с окружающей
средой, где h - коэффициент теплообмена и T
inf
- окружающая температура. Значение h
зависит от геометрии и общих условий потока. Исчерпывающее представление о том,
как считаются коэффициенты теплообмена, будет дано ниже.
Теплообмен с окружающей средой посредством излучения моделируется
)(
44
TTC
ambconst
. T
amb
- температура радиации окружающей среды, которая может
отличаться от T
inf
. C
const
- произведение поверхностного излучения и постоянной
Стефана-Больцмана = 5,67 * 10
-8
42
* Км
Вт
. Поверхностное излучение – свойство
материала, которое описано ниже.
C
const
=
Примечание: Задача с границами радиации нелинейна, поэтому для стационарных
решений используется нелинейный алгоритм решения.
Обособленность или симметрия
0 Tkn
Это условие используется, чтобы задать, где домен каким-либо образом
изолирован или для уменьшения размера модели, если она симметрична. Глядя на
выражение, можно предположить, что градиент поперек границы должен быть равен
нулю. Для этого температура по одну сторону границы должна быть равна
температуре по другую сторону границы. Поскольку если нет разности температур на
границе, тепло через нее переноситься не будет.
Интересная числовая проверка сходимости – числовое решение приведенного
выше условия вдоль границы, что прекрасно выполняется средствами FEMLAB. Еще
один вид проверки заключается в построении контурных линий температурного поля.
В идеале, контурные линии должны быть перпендикулярны изолированной границе.
Осевая симметрия
Это граничное условие доступно только для моделей теплообмена с осевой
симметрией. Используйте его для описания оси симметрии, для которой r = 0.
Задание температуры
6
T = T
0
Это условие используется для задания температуры T
0
. Температура поверхности,
для которой задано такое граничное условие, считается постоянной.
Задание нуля температуры
T = 0
Это ограничение используется для ввода нуля раздела температур.
Граничные предустановки
Граничные условия вводятся в диалоговом окне граничных предустановок.
Переменна
я
Описание
q
0
Внутренний тепловой поток
h Коэффициент теплообмена посредством конвекции
T
inf
Температура окружающей среды
C
const
Константа излучения: произведение излучательной способности и
константы Стефана-Больцмана.
T
amb
Температура излучения окружающей среды
T
0
Заданная температура
Режим конвекции и проводимости
В добавление к теплообмену посредством проводимости, режим конвекции и
проводимости включает в себя теплообмен посредством конвекции. В конвективной
составляющей вы можете вводить вектор скорости в аналитическом виде (выражение)
или непосредственно присоединить к решению уравнений движения, например,
используя мультифизический режим и подключая уравнения движения несжимаемых
жидкостей (Навье-Стокса).
Переменные и размерность пространства
Режим конвекции и проводимости может работать в одно-, двух-, и трехмерном
пространстве, также осесимметричном одно- и двумерном пространстве.
Определение уравнения в частных производных
В этом прикладном режиме вы можете выбрать одну из двух предложенных
формулировок:
7
TuCQTk
t
T
C
PPts
)(
(нераспространенная)
QuTCTk
t
T
C
PPts
)(
(распространенная)
В FEMLAB по умолчанию используется нераспространенная форма. Она
предполагает несжимаемую текучую среду (жидкость или газ), т. е. для такой среды
0 u
. Это обеспечивает отсутствие нефизической составляющей источника,
возникающей вследствие движения среды, где условие несжимаемости
0 u
выполняется не всегда. В нераспространенном режиме конвективная составляющая
переносится по правую сторону от знака равенства, из чего следует, что установка
градиента температуры равным нулю прямо выражает конвективные граничные
условия. При этой процедуре не используется интерполяция, что обеспечивает
большую точность. Для конвективных граничных условий в тепловых балансах, где
поток несжимаем и описывается законом Дарси, использование нераспространенного
режима дает более простое и точное определение модели.
Вы можете переключаться между распространенной и нераспространенной
формами в диалоговом окне application mode properties посредством из выбора в
закладке equation form.
Так же можно добавить искусственную стабилизацию (можно выбрать «isotropic
diffusion», «streamline diffusion» или «crosswind diffusion») для подгонки численного
решения вручную.
Настройки подсистемы
Таблица ниже содержит величины, содержащиеся в уравнениях:
Обозначение Описание
ts
Время-масштабный коэффициент
Плотность среды
C
P
Теплоемкость среды
k, k
ij
Удельная теплопроводность среды
Q Тепловой поток
u, v, w Компоненты вектора скорости движения среды
id
Параметр настройки для «isotropic diffusion»
sd
Параметр настройки для «streamline diffusion»
cd
Параметр настройки для «crosswind diffusion»
Граничные условия
8
Единственное отличие от режима теплопереноса заключается в том, что тепловой
поток содержит конвективную составляющую. В случаях, когда конвекция через
границу превышает диффузию, используют граничные условия потока конвекции. Они
устанавливают, что поток диффузии на границе равен нулю, однако поток конвекции
может проникать через границу. Это задается граничным условием «конвективный
поток».
9