Курсовая работа - Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязи производственных показателей предприятия (организации). Вариант 20

Подождите немного. Документ загружается.

3. Корреляционно-регрессионный анализ

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике

используют методы: приведения параллельных данных; аналитических

группировок; графический, корреляции.

Корреляционно-регрессионный анализ включает в себя измерение

тесноты, направления связи и установление аналитического выражения

(формы) связи (регрессионный анализ).

Одним из методов корреляционно-регрессионного анализа является

метод парной корреляции, рассматривающий влияние вариации факторного

признака x на результативный y. Аналитическая связь между ними

описывается уравнениями:

прямой

0 1

y a a x 

параболы

0 1 2

y a a x a x  

гиперболы

0 1

y a a  

и т.д.

Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом

наименьших квадратов, в основе которого лежит требование минимальности

сумм квадратов отклонений эмпирических данных y

от выровненных

(теоретических) y

 

min

y y 



(1)

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной

парной регрессии имеет вид:

0 1

y na a x

a x a xxy











 



 



(2)

Для оценки типичности параметров уравнения регрессии используется t-

критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-

критерия для параметров. Полученные фактические значения сравниваются с

критическим, которые получают по таблице Стьюдента с учетом принятого

уровня значимости и числа степеней свободы.

Полученные при анализе корреляционной связи параметры уравнения

регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t

критического.

По приведенным на типичность параметрам уравнения регрессии

производится синтезирование (построение) математической модели связи.

При этом параметры примененной в анализе математической функции

получают соответствующие количественные значения: один параметр

показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не

выделенных для исследования) факторов, а другой параметр – на сколько

изменяется в среднем значение результативного признака при изменении

факторного на единицу его собственного измерения.

Проверка практической значимости синтезированных в корреляционно-

регрессионном анализе математических моделей осуществляется

посредством показателей тесноты связи между признаками x и y.

Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие

показатели вариации:

1. общая дисперсия результативного признака, отображающая общее

влияние всех факторов;

2. факторная дисперсия результативного признака, отображающая

вариацию y только от воздействия изучаемого фактора, которая

характеризует отклонение выровненных значений y

от их общей средней

величины y;

3. остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного

признака y от всех прочих, кроме x факторов, которая характеризует

отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака

от их выровненных значений y

Соотношение между факторной и общей дисперсиями характеризует

меру тесноты связи между признаками x и y





(3)

Этот показатель называется индексом детерминации (причинности). Он

выражает долю факторной дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей

вариации результативного признака y объясняется изменением факторного

признака x. На основе предыдущей формулы определяется индекс

корреляции R:





(4)

Используя правило сложения дисперсий, можно вычислить индекс

корреляции.

2 2

y y







 



 

(5)

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется

по формуле линейного коэффициента корреляции r:

   

2 2

x y

n n

   

   

   



 



 



 

(6)

Для оценки значимости коэффициента корреляции r применяется t-

критерий Стьюдента с учетом заданного уровня значимости



и числа

степеней свободы k.

Если

t t



, то величина коэффициента корреляции признается

существенной.

Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий

Фишера. Фактическое значение критерия F

определяется по формуле:

1 1

R n m

R m





 

, (7)

где m – число параметров уравнения регрессии.

Величина F

сравнивается с критическим значением F

, которое

определяется по таблице F – критерия с учетом принятого уровня

значимости



и числа степеней свободы k

=m-1 и k

=n-m.

Если F

> F

, то величина индекса корреляции признается существенной.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки

тесноты связи.

Таблица Чэддока

Величина коэффициента

корреляции

Характер связи

до 0,3 практически отсутствует

0,3-0,5 слабая

0,5-0,7 умеренная

0,7-1,0 сильная

С целью расширения возможностей экономического анализа

используются частные коэффициенты эластичности:

Э a



(8)

Он показывает, насколько процентов в среднем изменится значение

результативного признака при изменении факторного на 1%.

4. Пример для теоретической части

Имеются следующие данные о производстве молочной продукции и

стоимости основных производственных фондов по 15 предприятиям

Московской области. Произведем синтез адекватной экономико-

математической модели между изучаемыми признаками на базе метода

наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируем

выводы относительно исследуемой связи.

Зависимость y от x найдем с помощью корреляционно-регрессионного

анализа. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x:

0 1

y a a x 

Таблица 1

Показатели работы предприятий Московской области

Номер

предприяти

Молочная продукция

(млн. руб.)

Стоимость ОПФ

(млн.руб.)

1 6,0 3,5

2 9,2 7,5

3 11,4 5,3

4 9,3 2,9

5 8,4 3,2

6 5,7 2,1

7 8,2 4,0

8 6,3 2,5

9 8,2 3,2

10 5,6 3,0

11 11,0 5,4

12 6,5 3,2

13 8,9 6,5

14 11,5 5,5

15 4,2 8,2

Итого: 120,4 66,0

Параметры этого уравнения найдем с помощью метода наименьших

квадратов и, произведя предварительные расчеты, получим:

 

120,40 340,28 595,15 66,00

2,259

15 340,28 66,00 66,00

y x xy x

n x x



  

  

  



   

 

15 595,15 66,00 120,40

1,311

15 340,28 66,00 66,00

xy x y

n x x x



  

  

   

  

Получаем следующее уравнение регрессии:

2,259 1,311

y x 

Далее определим адекватность полученной модели. Определим

фактические значения t-критерия для a

и a

для параметра a









для параметра a

хa











где σ

– среднее квадратическое отклонение результативного признака

от выровненных значений ŷ ;

– среднее квадратическое отклонение факторного признака x от

общей средней

 

41,133

1,66

2,755

49,88

1,82

i xi

y y

x x







  





  



Данные подставляем в формулы и получаем:

907,4

66,1

215

259,2















182,582,1

66,1

215

311,1











хa





По таблице распределения Стьюдента я нахожу критическое значение

t-критерия для ν= 15-2 = 13 . Вероятность α я принимаю 0,05. t

табл

равно

2,1604. Так как, оба значения t

и t

больше t

табл

, то оба параметра а

и а

признаются значимыми и отклоняется гипотеза о том, что каждый из этих

параметров в действительности равен 0 , и лишь в силу случайных

обстоятельств оказался равным проверяемой величине.

Из полученного уравнения следует, что с увеличением основных

производственных фондов на 1 млн. руб., стоимость молочной продукции

возрастает в среднем на 1,311 млн. руб.

II. Расчетная часть

Имеются исходные выборочные данные по организациям одной из

отраслей хозяйствования в отчетном году (выборка 20%-ная, бесповторная) о

результатах производственной деятельности организаций:

Таблица Исходные данные

Исходные данные

№

организации

Среднесписочная

численность

работников, чел.

Выпуск

продукции,

млн.руб.

Среднегодовая

стоимость

ОПФ, млн.руб.

Уровень

производительности

труда, млн.руб./чел

Фондоотдача,

млн.руб./млн.руб.

1 2 3 4 5 6

1 162 36,450 34,714 0,225 1,050

2 156 23,400 24,375 0,150 0,960

3 179 46,540 41,554 0,260 1,120

4 194 59,752 50,212 0,308 1,190

5 165 41,415 38,347 0,251 1,080

6 158 26,860 27,408 0,170 0,980

7 220 79,200 60,923 0,360 1,300

8 190 54,720 47,172 0,288 1,160

9 163 40,424 37,957 0,248 1,065

10 159 30,210 30,210 0,190 1,000

11 167 42,418 38,562 0,254 1,100

12 205 64,575 52,500 0,315 1,230

13 187 51,612 45,674 0,276 1,130

14 161 35,420 34,388 0,220 1,030

15 120 14,400 16,000 0,120 0,900

16 162 36,936 34,845 0,228 1,060

17 188 53,392 46,428 0,284 1,150

18 164 41,000 38,318 0,250 1,070

19 192 55,680 47,590 0,290 1,170

20 130 18,200 19,362 0,140 0,940

21 159 31,800 31,176 0,200 1,020

22 162 39,204 36,985 0,242 1,060

23 193 57,128 48,414 0,296 1,180

24 158 28,440 28,727 0,180 0,990

25 168 43,344 39,404 0,258 1,100

26 208 70,720 55,250 0,340 1,280

27 166 41,832 38,378 0,252 1,090

28 207 69,345 55,476 0,335 1,250

29 161 35,903 34,522 0,223 1,040

30 186 50,220 44,839 0,270 1,120

Задание 1.

По исходным данным табл. Исходные данные:

1. Построить статистический ряд распределения организаций по

уровню производительности труда, образовав, пять групп с равными

интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю

арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент

вариации.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным

(табл. Х), сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3

настоящего задания. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения Задания.

Выполнение Задания 1.

1. Решение:

Для построения интервального ряда распределения определяем

величину интервала h по формуле:

minmax

xx -

(1)

где

minmax

xx ,

– наибольшее и наименьшее значения признака в

исследуемой совокупности, k – число групп интервального ряда.

При заданных k = 5, x

max

= 360 тыс.руб./чел и x

min

= 120 тыс.руб./чел

)/..(48

120360

челрубтысh 





При h = 48 тыс. руб./чел границы интервалов ряда распределения

имеют следующий вид (табл. 1):

Таблица 1

Границы интервалов ряда

распределения

Номер

группы

Нижняя

граница,

тыс.руб./чел

Верхняя

граница,

тыс.руб./чел

1 2 3

I 120 168

II 168 216

III 216 264

IV 264 312

V 312 360

Определяем количество организаций, входящих в каждую группу,

используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому

организации со значениями признаков, служащие одновременно верхними и

нижними границами смежных интервалов (168, 216, 264, 312 и 360), будем

относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа организаций в каждой группе строим таблицу 2.

Таблица 2