Кулагин В.А., Грищенко Е.П. Гидрогазодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.8. Вторая кинематическая теорема Гельмгольца



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 91









VSVS



rotrot





, (4.38)

где



 площади сечений



, что и доказывает вторую тео-

рему Гельмгольца.

Величина потока вихря вдоль вихревой трубки называется

интенсив-

ностью вихревой трубки i

и характеризует трубку в целом. Итак,





.rotrot 





dVVSi



(4.39)

Согласно второй теореме Гельмгольца вихревые трубки не могут за-

канчиваться и начинаться в жидкости. Если бы вихревая трубка начиналась

(заканчивалась) нулевым сечением (





), в этом сечении угловые скорости

вращения частиц жидкости возросли бы до бесконечности.

Вихревые трубки могут образовывать замкнутые кольца (например ко-

лечки дыма), могут начинаться на твердых стенках или свободных поверхно-

стях (водовороты, смерчи, циклоны и антициклоны, воронки, образующиеся

при вытекании воды из резервуара через отверстие, расположенное на дне, и

т. д.)

В практической деятельности знание интенсив

ности вихревой трубки

крайне важно. Вихревой трубкой, например, является крыло самолета или

судна на подводных крыльях. Измерениям впрямую

i не поддается, ее вы-

числяют аналитическим путем.

Более удобной мерой вихревого движения является циркуляция скоро-

сти

Г, обычно используемая в гидромеханических расчетах. Циркуляция Г

определяется поступательной скоростью жидкости.

Рассмотрим отрезок

(рис. 4.28) некоторой кривой C , проведенной

в поле скоростей



, где



– направленный элемент дуги этой кривой. Кри-

волинейный интеграл











dxVdxVdxVdSV

rdVdSVrdV

332211

cos







(4.40)

называется

циркуляцией скорости по контуру С на участке АВ и явля-

ется скалярной величиной.

Из (4.40

) следует, что циркуляция скорости представляет собой «рабо-

ту» вектора



по замкнутому контуру C на участке

. Если контур C

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.9. Теорема Стокса



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 92

замкнут, то циркуляция вектора (в данном случае вектора скорости) выража-

ется контурным интегралом





rdV .



(4.41)

Если в поле вихря провести произвольное сечение с опоясывающим

контуром

(контур сам себя не пересекает), то (рис. 4.29)

.rot





 c

rdVdV



(4.42)

Рис. 4.28 Рис. 4.29

Теорема Стокса утверждает, что циркуляция скорости по замкнутому

контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее

опоясывающему, равна интенсивности вихревой трубки. Теорема Стокса

сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вы-

числению циркуляции скорости, непосредственное измерение которой на

практике не представляет затруднений.

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.9. Теорема Стокса



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 93

Если замкнутый контур охватывает несколько вихревых трубок, цир-

куляция по нему представляет собой алгебраическую сумму циркуляций по

всем вихревым трубкам.

Когда циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, произ-

вольно проведенному в движущейся жидкости, равна нулю, можно судить об

отсутствии вихревых трубок. Такое движение называется

безвихревым и ха-

рактеризуется равенством

0rot V



во всей области течения.

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 94

(

)

Теорема Кельвина заключается в том, что индивидуальная производная

по времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения по тому же

контуру. Рассмотрим движение жидкого контура, состоящего из одних и тех

же частиц жидкости. По определению







rVrV







(4.43)

где

r



ориентированный элемент контура интегрирования.

Если контур

C неподвижен, неизменяем, тогда выражение (4.43) верно

без доказательства. В данном же случае контур изменяется (изменяется





Проведем соответствующее доказательство теоремы Кельвина для движуще-

гося контура. Для этого воспользуемся основными правилами определения

производной от сложных функций. Тогда



cccc







. (4.44)

Рассмотрим второе слагаемое в правой части (4.44):





















ccñ





. (4.45)

Из математики известно, что















есть бесконечно малая вели-

чина, следовательно,























и таким образом (4.43) доказано для движущегося жидкого контура.

Из теоремы Кельвина следует, что

Г по замкнутому контуру (или в об-

щем случае интенсивность вихревой трубки) изменяется со временем и зави-

сит от распределения ускорения в жидкости, т. е. от распределения прило-

женных к жидкости сил.

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 95

(

)

Предположим, что в некоторый начальный момент времени во всех

точках жидкости отсутствует завихренность





0rot V



, т. е. элементарные

жидкие объемы движутся без вращения, совершая лишь поступательные и

круговое движения. Тогда на основании теоремы Стокса циркуляция по про-

извольному жидкому контуру будет равна нулю. На основании теоремы

Кельвина и в любой другой момент времени циркуляция будет равна нулю.

Отсюда следует теорема Лагранжа:

если во всей движущейся жидкости

вихрь скорости в некоторый начальный момент был равен нулю, то движе-

ние останется безвихревым и в любой другой последующий момент времени

Аналогично утверждение о том, что если движение идеальной жидкости в

начальный момент времени было вихревым, то оно сохранится и в последующем.

В действительности наблюдается образование и исчезновение вихре-

вых движений, что вызвано внутренним трением в жидкости.

Методы непосредственной визуализации (наблюдения) позволяют оп-

ределить такие характеристики течения, как траекторию, или путь, проходи-

мый отдельной частицей жидкости, линию тока, а также поле скоростей и

давлений и даже величину касательных напряжений в жидкости.

Эти методы подразделяются на две группы:

оптические (особенно эф-

фективны для сжимаемой среды и при больших числах Маха);

неоптические

(очень эффективны при моделировании в гидродинамических трубах процес-

сов вдува, отсоса, течения во внутренних каналах). Для визуализации неста-

ционарных быстропротекающих процессов, например, движения вихрей или

развития каверн, используется фотографирование с короткой экспозицией до

5

–10

7

с.

Неоптические методы

Наиболее удобным методом визуализации плоского и пространствен-

ного течения в гидротрубах и гидроканалах является

метод пузырьков, ис-

пользуемый для измерения скорости в пограничном слое. Перпендикулярно

поверхности стенки трубы устанавливается платиновая проволока – элек-

трод, а второй электрод – в воде. При подаче импульса напряжения в резуль-

тате электролиза на проволоке появляется ряд небольших пузырьков, кото-

рый «метит» нужный элемент. При движении вниз по потоку ряд пузырьков

деформируется в соответствии с формой проф

иля скорости

. Для получения

водородных пузырьков напряжение источника должно быть 10–250 В.

Применение дыма используется в аэродинамике.

4. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

4.12. Методы визуализации поля течения



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 96

Применение красителей – подача их через специальные отверстия в

модели – позволяет наблюдать течения у стенки. Для визуализации всего по-

ля течения около модели используют насадок, помещаемый в различные точ-

ки потока. При этом необходимо соблюдать равенство скорости красителя и

потока, удельного веса красителя и рабочей жидкости, чтобы исключить

влияние подъемной силы. Краситель также должен эффективно поглощать

свет. Исп

льзуемые материалы: пинакрептол, эозин, белое снятое и подкра-

шенное молоко, нитрозин и др.

Метод трассирующих частиц применяют для визуализации плоского

течения несжимаемой жидкости. Материалы: алюминиевая пудра (размер

частиц 20–400 мкм), споры плауна (28–50 мкм), чешуя слюды, стеклянные

или пластмассовые шарики.

Метод нитей. Нити из шелка, нейлона, шерсти длиной не более

19 мм закрепляются на поверхности модели в аэродинамической трубе или

на поверхности обтекаемого профиля (тела) в свободном полете.

Метод масляной пленки и масляных капель используется в гидродина-

мических (кавитационных) трубах. Поверхность профиля покрывается слоем

смазочного масла или наносятся капли, которые движутся под действием сил

поверхностного трения. При этом в зоне ламинарного течения наблюдается

пленка (скопление масла) в зоне отрыва и почти полное отсутствие его в зоне

турбулентного течения.

Метод электрохемолюминесценции. В потоке хемолюминесцентного

раствора помещают электроды. При подаче напряжения у поверхности анода

возникает голубое свечение. Аноду придается форма модели, катоду – любая

форма. Свечение занимает область, примерно равную толщине пограничного

слоя.

Оптические методы

 шлирен-метод, теневой, интерферометриче-

ский, голография и др.

Оптические методы основаны на изменении освещенности, создавае-

мой параллельным потоком света, проходящим через среду разной оптиче-

ской плотности. Плотность среды меняется в зависимости от изменения гид-

родинамических характеристик потока при обтекании им модели какого-

либо тела. При этом на экране наблюдаются более светлые и темные области,

появление которых вызвано отклонением па

даю

щих лучей.

Первые три метода используются для визуализации плоских и осесим-

метричных потоков, а для наблюдений за пространственными течениями ис-

пользуется лазерная голография. Голограмма представляет собой картину ин-

терференции, образованную при наложении двух волн от лазерного источника

света. Голограмма – очень эффективный метод регистрации нестационарных

поток

в.



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 97

Основные уравнения динамики жидкости выводятся на основании об-

щих теорем динамики систем материальных точек. При этом постулируется,

что эти общие теоремы, которые в механике доказаны для дискретных мате-

риальных точек, справедливы и для сплошной среды.

В динамике жидкости имеют дело с рядом характерных величин для

выделенного произвольного движущегося «живого» объема, все время со-

стоящего из одних и тех же частиц:

массой





m

, (5.1)

импульсом





 VJ



, (5.2)

моментом импульса





 VrM



, (5.3)

энергией





















, (5.4)

где



cTu 

 внутренняя энергия среды (здесь с



ее теплоемкость,





Ккг

ккал

кДж1019,4

Ккг

кгм

427







5. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.1. Формула Эйлера для дифференцирования по времени интеграла по «живому» объему



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 98

Общие законы сохранения материи в физике формулируются через ее

изменение во времени. Поэтому, по Эйлеру, при движении материальной

среды необходимо вычислить











(5.5)

следующим образом (см. рис. 5.1















,lim

lim

lim ,

ii i

ii ii

xxtt xt

dt t

xxtt xxtt

xxtt

 















    



  





























(5.6)

Рис. 5.1

В последнем пределе учтем, что





, tSVntSV





и применим к интегралу

5. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

5.1. Формула Эйлера для дифференцирования по времени интеграла по «живому» объему



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 99







, ,

ii ii n

xxtt xxttVSt





        



преобразование Остроградского

 Гаусса, а именно





 

112 23 3

cos cos cos

div .

VnxVnxVnxS V

VVV









 



 









      











  



В итоге получаем следующую формулу Эйлера:



div ,

dt t





 





       















 

(5.7)

при этом имеем формулу Эйлера для разложения полной производной

на локальную и конвективную составляющие





конвективная

локальная

произодная

производная

tdt













Здесь символ









записывается для декартовой системы координат в

форме































(5.8)

Например, конвективную производную от плотности



,

можно

записывать так:

















(5.9)

5. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ



Гидрогазодинамика. Учеб. пособие 100

Законы сохранения, являющиеся краеугольным камнем современной

физики, были впервые сформулированы еще М. В. Ломоносовым, который

писал: «… если что-либо исчезает, то в другом месте прибывает».

Конкретное содержание этого фундаментального закона сохранения

материи (вещества) на основе химических опытов было дано в 1785 г. А. Ла-

вуазье и Ж. Менье, которые, в частности, получили широко известную те-

перь формулу для воды













г 18 2г 16 г 2 2

222

OHOH





В механике жидкости и газа закон сохранения массы представляется

следующим образом:



0 , 





. (5.10)

Применяя формулу Эйлера (5.7), получаем





0 div 

























. (5.11)

В силу произвольности выделенного «живого» объема это может быть

тогда и только тогда, когда





0 div 









. (5.12)

Это и есть уравнение неразрывности для сплошных сред (континуу-

мов). С учетом того, что



– скаляр,

0div grad 









Применив формулу





, div div drad VVV





получим уравнение неразрывности в виде





0div 









. (5.13)