Кухарчук В.В., Кучерук В.Ю., Долгополов В.П., Грумінська Л.В. Метрологія та вимірювальна техніка

Подождите немного. Документ загружается.

поділу ймовірностей як похідну від , тобто як

Fx()

px F x() ()=

•

. Ця залежність

називається

густиною розподілу ймовірносте

відає умові нормування

й. Вона завжди позитивна і відпо-

px dx() =

−

∞

∫

яка безпосередньо витікає із властивостей інтегральної функції розподілу

Розподіл Гаусса.

Fx()

Серед законів ілу нормал

провідне місце, особливо для оцінки похибок вимірювань. Річ у тому, що по-

хибка вимірювання визначається великим числом частинних складових, що но-

ви-

плива

д впливом великої кількості не-

залежно діючих частинних похибок випадкового характеру, кожна з яких є не-

значною за значенням порівняно із загальною випадковою похибкою вимірю-

вання. Щільність імовірностей нормального закону описується виразом

розпод ьний закон займає

сять випадковий характер, а з центральної граничної теореми ймовірностей

є, що розподіл похибок вимірювання буде близьким до нормального,

якщо результати спостережень формуються

пі

f( ) exp∆

∆

=⋅−

⎛

⎝

⎠

⎣

⎢

⎦

⎥

σπ

⎜

⎞

⎟

⎡

⎢

⎤

⎥

, (1.18)

- де σ середнє квадратичне відхилення;

∆∆∆

=−()- випадкова складова похи-

бки.

Щільність розподілу для нормального закону має вигляд дзвона. Якщо

∆≠0

(рис.1.13,а), то крива буде зміщена праворуч або ліворуч від початку осі

ординат на значення

∆ в залежності від знака систематичної складової похиб-

ки. Крива симетрична відносно осі ординат, коли відсутня систематична скла-

дова похибки

∆=0.

п , і

ність появи великих похибок.

я о

похи ня. Чим менша дисперсія, тим точ-

ніше може служити характеристикою

точності вимірювань. В зв’язку з тим, що дисперсія виражається в одиницях

Значення σ впливає на гостровершинність кривої. Збільшення значення

σ (рис.1.13,

б) риводить до зменшення гостровершинності тому ймовірніша

поява великих похибок. І, навпаки, при зменшенні σ зростає ймовірність появи

малих похибок і знижується ймовір

Основними числовими характеристиками нормального закону розподілу

є математичне очікування і дисперсія.

Математичне очікування похибки вимірювань є невипадковою величи-

ною, відносно якої розсіюються інші значення похибки при повторних вимірю-

ваннях. Математичне очікування характеризує систематичну складову похиб-

ки.

Дисперсі похибки характеризує ступінь р зсіювання окремих значень

бки відносно математичного очікуван

виконано вимірювання. Отже, дисперсія

похибки в квадраті, то як числову характеристику точності вимірювань вико-

ристовують середнє квадратичне відхилення (к ра и

з позитивним знако х вимірюваної

вад тн й корінь від дисперсії)

величини. м і в одиниця

∆

)

∆

)

∆

а) б )

ри проведенні вимірювань необхідно отримати результат з похибкою,

що не нього квадратич-

ного в

Рисунок 1.13

перевищує допустимого значення. Знання тільки серед

ідхилення не дозволяє знайти максимальну похибку, що підкреслює об-

межені можливості такої числової характеристики похибки, як σ. Максималь-

не значення похибки залежить не тільки від

, але й від виду закону розподілу.

Коли розподіл похибки теоретично не обмежений, наприклад, для нормального

закону розподілу, похибка може бути будь-якою за значенням. В цьому випад-

ку можна говорити тільки про інтервал, за границі якого похибка не виходить з

деяко

ірність, що ха-

рактеризує його, -

довірчою ймовірністю

ні значення довірчої ймовірності, на-

приклад: 0.90; 0.95; 0.98; 0.99; 0.9973; 0.999. Довірчий і довірчу ймо-

вірність вибирають в залежності від конкретних умов вимірювання. Напри-

клад, для нормального закону розподілу випадкових похибок з середнім квад-

ратичним відхилення часто використовують довірчий інтервал від

ю ймовірністю. Цей інтервал називають

довірчим, а ймов

В практиці вимірювань задають різ

інтервал

+ 3

до

, для якого довірча ймовірність Р =0.9973. Така ймовірність означає, що із

випадкових похибок тільки одна похибка за абсолютним значенням буде

вищує декі-

лька сотень однієї випадкової похибки, більшої ніж малоймовірна.

Наявність двох подібних похибок практичн неможлива. Тому

всі можливі по-

хибки, розподілені за нормальним законом, практично не перевищують за аб-

− 3σ

370

більшою за 3σ . Оскільки в практиці число вимірювань рідко пере

, поява 3σ ,

солютним значенням 3σ (правило «трьох сигм»).

1.5.3 Оцінка випадкових похибок прямих вимірювань

их вимірюваннях одні-

єї фізичної величини в однакових умовах одним оператором і за допомогою

називати

рівноточними.

ри статистичній обробці резуль тів багаторазових вимірювань необ-

ідно

имір

них результатів спостережень

і прий

и, то й для всіх симетричних розподілів,

вання

Випадкові похибки проявляються при багаторазов

одного і того самого засобу вимірювання. Такі вимірювання прийнято

П та

х виконати таку послідовність дій:

1.Провести багаторазові вимірювання і отримати масив

XX, , ...X

n12

в ювальної інформації.

2.Ввести поправку в результат вимірювань, вилучивши відомі система-

тичні похибки.

3.Знайти математичне очікування поправле

няти його за дійсне значення.

Для нормального закону розподілу, а якщо поступитися ефективністю

оцінк за оцінку математи чного очіку-

ть середнє

арифметичне

ряду рівноточних спостережень приймаю

∑

Різниця

(1.20)

4.Визначити випадкове відхилення.

−

(1.21)

випадковим відхиленням (випадковою абсолютною похибкою) при i-му спо-

гативною.

еднє тичне но в кону лу м -

вості

→

стереженні. Вона може бути позитивною і не

Сер арифме незалеж ід за розподі ає такі власти

∑

min→

, (1.22)

які використовуються для перевірки правильності обчислення

x .

5.Обчисл спериментальне середнє квадратичне відхилення (СКВ)

результатів вимірювання за формулою Бесселя

ити ек

n n− −

езультат i-го вимірювання;

= =

∑∑

1 1

()

, (1.23)

де

- р

−

x - середнє арифметичне n результатів.

Підкреслимо, що для серії

вимірювань однієї й тієї ж величини пара-

вимірювань од-

метр

S характеризує розсіювання результатів багаторазових n

нієї і тієї ж величини. Оскільки ми обчислюємо середнє арифметичне, необхід-

не для

тичне залежить від числа вимірювань і є ви-

в ідхилення

одержання оцінки σ, то природно взяти його за результат вимірювання.

В даному випадку середнє арифме

падковою величиною, яка має деякі дисперсії відносно істинного значення.

6.Визначити середнє к адратичне в середнього арифметичного

за формулою

σ[]

Отже, якщо в якості результату багаторазових вимірювань взяти сере нє

. (1.24)

арифметичне

x , то випадкова похибка (S ) зменшується в n раз порівняно з

випадком (рис.1.14), коли за результат багаторазових вимірювань приймалось

будь-яке одне з n .

Тому багаторазові вимірювання з наступним усередненням результатів і

ць г г з т мірювання

, що являють собою

верхню й нижню межі, які накривають із заданою ймовірністю похибку вимі-

число вимірювань

спостережень

прийняттям о о середньо о а результа ви є досить ефективним

методом зменшення випадкової похибки.

7.Визначити довірчі границі похибки вимірювання

рювання.

Якщо

≤

...30, то довірчий інтервал випадкової по-

хибки при заданих імовірності ому квадратичному відхиленні Р і середнь

σ[]x визначається за формулою Стьюдента

∆

д t

⋅

[],

де

- коефіцієнт розподілу

Стьюдента, який залежить від

аної ймовірності Р і числа

вимірювань n.

Розглянемо тепер, яку

саме довірчу ймовірність не-

о задавати. Як правило,

приймають Р = 0.95. Якщо

вимірювання повторити немо-

обливо

8.Представити результат вимірювання

зад

обхідн

жливо, то Р=0.99, а в ос

відповідальних випадках, коли

вимірювання, що виконуються,

пов’язані із створенням нових

еталонів або їхні результати

можуть суттєво вплинути на здоров’я людини, Р =

0.997.

σ[]x

Рисунок 1.14

x Р

∆

помогою вольтметра магнітоелектричної

систем 1; 119; 120 [В].

Визначити середнє значення виміряної напруги, його СКВ. Представити ре-

Приклад. Обробка результатів прямих вимірювань.

Проведено ряд вимірювань за до

и. При цьому одержано такі результати: 122; 118; 120; 12

зультат, вказавши границі довірчого інтервалу, в який потрапляє похибка вимі-

рювання із заданою ймовірністю Р=0.95 (коефіцієнт Стьюдента дорівнює

2.571).

1.Знайдемо математичне очікування для ряду вимірювань

+++

∑

1 122 118 120 121 0

120

[].

119 12

2.Визначимо випадкові відхилення

122 120 2=

−

Uu B[]

1 1 2= 18 20

−

Uu B[]

1 1 0= 20 20

−

Uu B]

[

121 120 1=

−

Uu B]

[

119 120 1=

−

Uu B[]

120 120 0=

−

Uu B]

[

3. дорівнює

∑

4.Знайдемо оцінку експериментального квадратичного відхи-

лення

Перевіримо, чи сума випадкових

відхилень нулю

середнього

n −

= =

(

.[]

5.Визначимо середнє квадратичне відхилення середньо арифметичного

∑

+−

( )

+−

1()

)

22()

го

σ[ ]

n 6

6. д р а и ви ан

141

.[B0575

Знай емо дові чі гр ниці пох бки мірюв ня

∆

д t

ku=± ⋅ B

⋅

[] . . . [ ]0 575 2 571 148 .

дставимо результат у відповідності до стандартної форми

u Р

∆

7.Пре

95.0P,B48.100.120U

= .

1.5.4 Оцінка випадкових похибок опосередкованих вимірювань

хідно

здійсн

Оцінку випадкових похибок опосередкованих вимірювань необ

ювати за такою методикою:

Визначити для результатів прямих вимірювань x і

[]x

;

qfxx x

( , ,..., )

;

Визначити значення невідомої величини

3. Визначити «вагу» кожної часткової похибк опосередкованих вимірю-и

вань

∂

; (1.25)

Обчислити часткові випадкові похибки опосередкованих вимірювань

=⋅

∂

σ[ ]; (1.26)

Знайти оцінку СКВ результату опосередкованих вимірювань

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⋅

∑

; (1.27)

Знайти (табл.1.1) коефіцієнт

Стьюдента за заданою довірчою ймо-

вірністю Р і кількістю вимірювань n.

Табл

иця 1.1 - Значення коефіцієнта Стьюдента

-1

P=0.95 Р=0.99

n-1

Р=0.95 Р=0.99

3.182 5.841

2.120 2.921

2.776 4.604

2.101 2.878

2.571 4.032

2.086 2.845

2.447 3.707

2.074 2.819

2.367 3.500

2.064 2.797

2.306 3.355

2.056 2.779

2.262 3.250

2.048 2.763

2.228 3.169

2.043 2.750

2.179 3.055

2.145 2.977

∞

1.960 2.576

Знайти граничні значення випадкової складової похибки, яку прийма-

ють за похибку опосередкованого вимірювання

∆

⋅

;

8. Записати результат опосередкованого вимірювання:

∆

ля визначення похибки результату опосередкоД ваного вимірювання не-

обхідн

мірян

о застосувати такі правила:

1.Якщо результат вимірювання є сумою або різницею двох і більше ви-

их величин:

qx z u w=+

−

... ( ... )

і похибки

∆

∆xw,..., незалежні і

випадкові, то абсолютна похибка результату може бути визначена за форму-

лою

∆∆ ∆ ∆ ∆qx z u w=+++++( ) ... ( ) ( ) ... ( )

222 2

Коли похибки аргументів коре , значльовані ення

∆

перевищувати

отримане за попередньою формулою, але завжди буде задовольняти умову

∆∆qx≤+..

може

zu w++++. ... . ∆∆ ∆

2.Якщо кінцевий результат вимірювання є добутком або часткою двох і

більше виміряних значень:

⋅

⋅⋅

...

і похибки

δx,. δw..,

незалежні і випадкові, то відносна похибка результату

опосередкованого вимірювання визначається

δδ δ δ δqx z u w=+++++( ) ... ( ) ( ) ... ( )

222 2

3.Якщо результат опосередкованого вимірювання є функцією однієї ве-

личин

и:

()

то похибка результату визначається

δδ

x .

4.В загальному випадку похибка функції декількох величин

qfx

( , ,..., ),

похибки яких незалежні і випадкові, знаходиться

∂

δq

⎝

⎜

⎠

⎟

⎝

⎜

⎠

⎟

⎝

⎜

⎠

⎟

...

∂ ∂q q

⎛ ⎞

⎛

∂q

⎞

але сумарна похибка ніколи не перевищить значення

∂

δq

w≤+++... .

∂ ∂y w

аного

Приклад. Обробка результатів опосередкованих вимірювань.

Визначити результат та СКВ випадкової складової похибки опосередко-

= за даними прямих вимірювань на-

в вимірювання потужності

п та опору з незалежними випадковими похибками, що розподілені за но-

рмальним законом:

руги

997.0)10.00.10(R =±= Р;Ом

99.0P;B)01.000.1(U

Записати результат згідно зі стандартною формою, вказавши довірчий

інтервал, в який потрапить похибка результату опосередкованого вимірювання

із встановленою ймовірністю Р=0.99.

1.Знайти значення математичного очікування потужності

)Вт(1.0

0.10

00.1

===

2.Визначити СКВ результату опосередкованого вимірювання потужності

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

+σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

=σ

За значеннями нормованої функції Лапласа

()zP

(табл.1.2) знайти зна-

чення z та визначити СКВ результатів прямих вимірювань напруги

і опору

Таблиця 1.2 - Значення нормованої функції Лапласа

Z Ф(z) z Ф(z) Z Ф(z) Z Ф(z)

0.0 0.00000 1.0 0.34134 2 0.4772

3.0 0.4986

0.1 0.03983 1.1 0.36433 2.1 0.4821

3.1 0.4990

0.2 0.07926 1.2 0.38493 2.2 0.4861

3.2 0.4993

0.3 0.11791 1.3 0.40320 2.3 0.4892

3.3 0.4995

0.4 0.15542 1.4 0.41924 2 0.4918 3.4 0.4996.4

0 6

0.5 0.19146 1.5 0.43319 2.5 0.4937

3.5 0.4997

0.6 0.22257 1.6 0.44520 2.6 0.4953 3.6 0.4998

4 4

0.7 0.25804 1.7 0.45543 2.7 0.4965

3.7 0.4998

0.8 0.28814 1.8 0.46407 2.8 0.4974

4 3

3.8 0.4999

0.9 0.31594 1.9 0.47128 2.9 0.4981

3.9 0.4999

Для

∆

() ..;

.()z z

== = ⇒ = = = =

2 2

0 485 2 2

0 0045σ

P . .

099 001

)Ом(03.0

1.3z

;1.3z499.0

)z(

1.0997.0P

∆

=σ=⇒===Φ

Значення СКВ опосередкованого вимірювання потужності складає

)Вт(103)03.0(

)0045.0(

⎟

⎞

⎜

⎛

−+⋅

⎟

⎞

⎜

⎛

−

⋅≈⋅

⎠

⎝

⎠

⎝

=σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=σ

3.Визначити границі довірчого і тервалу для заданої ймовірності Р=0.99.

Для значення нормованої функції

Φ() .z

== =

2 2

0485,

з табл.1.2 значення

= 22.

оді границі довірчого інтервалу становлять

P .099

)Bт(0066.01032.2z

=⋅⋅±=σ⋅±=∆

−

4.Результат опосередковано ня потужності го вимірюван

99.0Р;Вт)0066.00100.0(P

важливою і актуальною є проблема правильного вибору необхідного засобу

вимір

динамічні метрологічні характеристики

харак очна функція, перехідна

характеристика, імпульсна характеристика, амплі

теристики.

ей засобів вимірювань відносять: функцію пере-

творе

вимірювальної техніки.

ежність вимірювального перетворення, що входить до

1.6 Властивості засобів вимірювань

Вимірювальна техніка має великий арсенал різноманітних засобів. Тому

ювань. Для вирішення цієї проблеми є критерії оцінки ефективності за-

стосування засобів вимірювань. Такими критеріями є метрологічні характерис-

тики (МХ) засобів вимірювань, які визначаються режимом їхньої роботи, - ста-

тичним або динамічним.

Метрологічними називають характеристики засобів вимірювальної техніки, які

нормуються для визначення результату вимірювання та його похибок.

Під статичним слід розуміти режим роботи засобу вимірювань, при яко-

му його вихідний сигнал може вважатись незмінним протягом часу, достатньо-

го для зчитування показів, а під динамічним - режим, при якому вихідний сиг-

нал змінюється з часом істотним чином.

Виходячи з режимів роботи засобів вимірювань, розрізняють їх статичні і

Згідно з ДСТУ 2681-94 виділяють такі основні динамічні метрологічні

теристики: диференціальне рівняння і передат

тудно - і фазочастотна харак-

До статичних властивост

ння, статичну характеристику, чутливість, поріг чутливості, роздільну

здатність, адитивні і мультиплікативні похибки, похибку нелінійності, діапазон

вимірювання, швидкодію, вхідний і

вихідний опір, варіацію показу.

Розглянемо більш детально виділені статичні метрологічні характеристи-

ки.

1.6.1 Статичні метрологічні характеристики

Функцією перетворення називають залежність між вихідною (y) та вхідною (x)

величинами засобу

Функція перетворення може бути подана у вигляді таблиці, графіка, фо-

рмули.

Аналітична зал

складу засобу вимірювань і описує зв’язок вихідного та вхідного сигналів, на-

зивається рівнянням перетворення

().

Графічне подання функції перетворення називають статичною характе-

ристикою.

Статична характеристика засобу ви-

мірювань може бути як ліній

ною, так і не-

лінійною (рис.1.15). Остання може бути з

достатнім ступенем точності лінеаризована.

Градуювальна характеристика –

залежність між значеннями вимірю-

ваної величини на виході та вході за-

собу вимірювань, що отримані під

Рисунок 1.15

час градуювання (калібрування) та

подані у вигляді таблиці, графіка або

формули.

Чутливість - відношення зміни вихідної величини засобу вимірювань до зміни

вхідної величини, що її викликає,

∆

. (1.28)

Тобто чутливість характеризує здатність засобу вимірювання реагувати

іну вхідного сигналуна зм .

евагою порівняно із

засоб

о поділки

При лінійному рівнянні перетворення S=const. В даному випадку шкала

засобу вимірювань рівномірна, що є досить суттєвою пер

ами вимірювань із нерівномірною шкалою

(S var)→

Величину, обернену до чутлив сті, називають ціною (

S1C =

Крім чутливості засоби вимірювань характеризуються порогом чутливо-

сті і зоною нечутливості.

Поріг чутливості - найменше значення вимірюваної величини, яке може бути

виявлене засобом вимірювань.

Зона нечутливості - діапазон значень вимірюваної величини, в межах якого її

ктеристикою є діапазон вимірю-

зміни не викликають зміни показу засобу вимірювань.

Досить важливою метрологічною хара

вань. У ДСТУ 2681-94 розрізняють діапазон показів і діапазон вимірювань.

найменше в ді-

мірювань.

Нормованими є верхня і нижня межі вимірювання.

ний д жі

Діапазон показів - інтервал значень вимірюваної величини, який обмежений

початковим та кінцевим її значеннями.

називають Початковим значенням вимірюваної величини

апазоні показів її значення, а кінцевим - її найбільше значення.

Діапазон вимірювань - інтервал значень вимірюваної величини, в межах якого

пронормовані похибки засобу ви

min

max

У вимірювальній практиці шир ко о використовується також термін "пов-

іапазон", під яким розуміють відношення верхньої ме вимірювання

max

до порогу чутливості