Козачек А.В. Основы инженерных исследований в экологии
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 3.7. Пример графика функции
2
cxbxay ++=
3.4.8. Зависимость вида
1
1
y
bxa
xx
y +
+
−
=
Рассмотрим зависимость вида
1
1
y
bxa
xx
y +
+
−
=
. (3.46)
Произведя элементарные преобразования с формулой (3.46), получим
bxa
yy
xx
+=
−
−
1
1
. (3.47)
Если при нанесении на график значений
1
1
xx
yy
−
−
в зависимости от значений
x
построенные точки располагаются
приблизительно на одной прямой линии, то это указывает на то, что экспериментальные переменные
x
и y действительно
связаны зависимостью вида (3.46).
Пример графика функции (3.46) показан на рис. 3.8.
Рис. 3.8. Пример графика функции
1
1
y
bxa
xx
y +
+
−
=
3.4.9. Зависимость вида
bxa
x
y
+
=
Рассмотрим зависимость вида
х
у
0 5 10 15 20 25
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
1
1
y
bxa
xx
y +
+
−
=
bxa
x
y
+
=
. (3.48)
Произведя элементарные преобразования с формулой (3.48), получим
b
x
a
y
+=
11
. (3.49)
Если при нанесении на график значений
y
1
в зависимости от значений
x
построенные точки располагаются
приблизительно на одной прямой линии, то это указывает на то, что экспериментальные переменные
x
и y действительно
связаны зависимостью вида (3.48).
Пример графика функции (3.48) показан на рис. 3.9.
Рис. 3.9. Пример графика функции
bxa
x
y
+
=
3.4.10. Зависимость вида
dxc
bxay
+
++= 10
Рассмотрим зависимость вида
dxc
bxay
+
++= 10 . (3.50)
Формула (3.50) отражает случай, когда значительная часть точек экспериментальной кривой y = f (x) располагается на
прямой линии, в то время как остальные точки располагаются на кривой (рис. 3.10).
Пример графика функции (3.50) показан на рис. 3.10.
14
14,5
15
15,5
16
16,5
17
17,5
18
125 200 275 350 400 450 500
Рис. 3.10. Пример графика функции
dxc
bxay
+
++= 10
х
у
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
bxa
x
y
+
=
(
)
(
)
(
)
лл
xfy =
()
(
)
(
)
kk
xfy =
dxc
bxay
+
++= 10
x
y
125 200 275 350 400 450 500
18
17,5
16,5
15,5
14,5
17
16
15
14
В заданном случае формула (3.50) преобразуется к виду
"' yуу
+
=
, (3.51)
где
bxay
+
=
' , (3.52)
dxc
y
+
=10" . (3.53)
Коэффициенты a и b в формуле (3.52) находят сразу по способу средних по формулам (3.10) и (3.11), принимая
()
л'
jj
yy =
для точек, расположенных на прямой линии. Затем полученные значения а и b подставляют в формулу (3.51) для
значений
()
k
i
x , располагающихся на кривой, и находят значения
(
)
k
j
y на кривой. Формулу (3.53) преобразуют к виду по
формуле (3.28):
dxcy
+
=
"lg , (3.54)
а затем находят коэффициенты с и d в формуле (3.54) по способу средних по формулам (3.10) и (3.11) , принимая
)lg("lg
)(k
yyy −= , (3.55)
или
)lg("lg
)(k
iii
yyy −= . (3.56)
Найденные в результате коэффициенты a, b, c, d подставляют в формулу (3.50), получая искомую эмпирическую
формулу y = φ(x).
3.4.11. Зависимость вида
xcxba
y
2
lglg
10
++
=
Рассмотрим зависимость вида
xcxba
y
2
lglg
10
++
= . (3.57)
Произведем выравнивание формулы (3.57). Первоначально прологарифмируем формулу (3.57):
xcxbay
2
lglglg ++=
. (3.58)
Внесем в уравнение (3.58) вместо х и y координаты (х
′, y′) какой-либо точки экспериментального графика:
'lg'lg'lg
2
xcxbay ++= . (3.59)
Преобразуем формулу (3.59) к виду
xcxcb
xx
yy
lg'lg
'lglg
'lglg
++=
−
−
. (3.60)
Если при нанесении на график значений
'lglg
'lglg
xx
yy
−
−
в зависимости от значений lg x построенные точки располагаются
приблизительно на данной прямой, то это указывает на то, что экспериментальные переменные х и y действительно связаны
зависимостью вида (3.57).
Коэффициенты a, b, c находят по способу средних по формулам (3.10) и (3.11) из формулы
xba
xx
yy
lg''
'lglg
'lglg
+=
−
−
, (3.61)
откуда сначала находят значения коэффициентов a′, b′, затем подставляют их в эту же формулу (3.61) и выражают из данной
формулы значение y.
В результате полученная формула сразу будет включать коэффициенты a, b, c в числовом виде.
Пример графика функции (3.57) показан на рис. 3.11.
0
50
100
150
200
250
121 248 342 414 510 700
Рис. 3.11. Пример графика функции
xcxba
y
2
lglg
10
++
=
3.4.12. Зависимость вида
(
)
(
)
xfy
=
29,57cos
Рассмотрим зависимость вида
(
)()
xfy =29,57cos . (3.62)
Выравнивание формулы (3.62) производится путем приведения к виду
(
)
bxay +=
α
+
29,57cos . (3.63)
Здесь значение α имеет размерность градусов угла и определяется методом подбора таким образом, чтобы получить прямую
линию при изображении функции (3.63) на графике. Значение у в формулах (3.62), (3.63) имеет размерность радиан, а число
57,29 является коэффициентом перевода радианов в градусы угла.
Пример графика функции (3.62) показан на рис. 3.12.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
17 19 ,5 22,5 26,5 28,5 32 35
Рис. 3.12. Пример графика функции
)()29,57(cos xfy
=
3.4.13. Зависимость вида )(xy
γ
=
Рассмотрим зависимость вида
)(xy
γ
=
. (3.64)
xcxba
y
2
lglg
10
++
=
x
y
121 248 342 414 510 700
250
200
150
100
50
0
(
)
(
)
xfy =29,57cos
В некоторых случаях в инженерно-технической практике исследование некой функции (3.64) показывает, что она была
бы линейной, если бы значениям y
1
, y
2
, …, y
n
соответствовали бы значения не х
1
, х
2
, …, х
n
, а
1
x
′
,
2
x
′
, …,
n
x
′
причем
=
′
x f (x),
т.е. если бы имела место линейная зависимость
)(' xfbabxay
+
=
+
=
, (3.65)
например,
)(
d
cxxbay ++= . (3.66)
Здесь коэффициенты а и b находятся по способу средних по формулам (3.10) и (3.11). Затем определяется вид функции
=
′
x f (x) и находятся по способу средних коэффициенты с и d, входящие в функцию
=
′
x f (x).
Пример графика функции (3.66) показан на рис. 3.13.
0,997
0,998
0,999
1
1,001
1,002
1,003
1,004
1,005
1,006
1,007
10 15 20 25 30 35
Рис. 3.13. Пример графика функции
)(
d
cxxbay ++=
3.4.14. Зависимость вида
ξ
+
+
=
bxay
Рассмотрим зависимость вида:
ξ+
+
=
bxay , (3.67)
где
)()( XxnxXn
ee
−−
+
α
=ξ
. (3.68)
Формула (3.67) отражает зависимость, образующую на графике прямую линию с выступом (рис. 3.14). Значение
коэффициента n в формуле (3.68) определяют путем подбора.
В формуле (3.68) Х есть значение х, отвечающее максимальному отклонению кривой y по формуле (3.67) от прямой
линии y
′, где
bxay
+
=
' . (3.69)
Данное максимальное отклонение y′ от y определяется по формуле
2
'
α
=−=δ
yy . (3.70)
Соответственно, Х равно некоторому
δ
j
x при δ = max[δ
j
].
Пример графика функции (3.67) показан на рис. 3.14.
)(
d
cxxbay ++=
x
y
1,007
1,006
1,005
1,004
1,003
1,002
1,001
0,999
0,998
0,997
1
10 15 20 25 30 35
b
α
y
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0,5
2
3
4
5
5,75
6,5
7,5
8,5
9,5
1
1
Рис. 3.14. Пример графика функции
)()( XxnxXn
ee
bxay
−−
+
α
++=
3.5. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Пусть функция y = f (x) задана таблицей. Часто оказывается необходимым вычислить значение функции y при значении
х
′, не помещенном в этой таблице. Эта задача называется интерполированием.
Интерполирование табличных значений, разность между которыми мала, производится, обычно, с помощью пропорций,
как, например, при вычислении логарифмов.
Если же табличные разницы значительны и быстро изменяются, то интерполирование можно осуществить путем
нахождения приближенного аналитического представления данной функции.
Рассмотрим интерполяционную формулу Лагранжа. Пусть при х = а
1
, а
2
, …, а
n
функция принимает, соответственно,
значения y
1
, y
2
, …, y
n
. Лагранж нашел выражение для многочлена степени (n – 1), который принимает те же значения при х =
а
1
, а
2
, …, а
n
, что и заданная функция.
Этот многочлен имеет следующий вид
+
−−−
−
−
−
=
)(...)()(
)(...)()(
13121
32
1
n
n
aaaaaa
axaxax
yy
++
−−−
−
−
−
+ ...
)(...)()(
)(...)()(
23212
31
2
n
n
aaaaaa
axaxax
y
)(...)()(
)(...)()(
121
121
−
−
−−−
−
−
−
+
nnnn
n
n
aaaaaa
axaxax
y
. (3.71)
Для упрощения расчетов по этой формуле рекомендуется следующий прием вычислений.
1. Заполняется таблица (табл. 3.1). Левая часть таблицы позволяет находить числители, а правая – знаменатели
отдельных членов формулы Лагранжа.
3.1. Члены формулы Лагранжа
Числитель
Знаменатель
а
1
а
2
а
3
а
4
а
1
а
2
а
3
а
4
+ –
у
1
х – а
2
х – а
3
х – а
4
а
1
а
1
– а
2
а
1
– а
3
а
1
– а
4
у
2
х – а
1
х – а
3
х – а
4
а
2
а
2
– а
1
а
2
– а
3
а
2
– а
4
у
3
х – а
1
х – а
2
х – а
4
а
3
а
3
– а
1
а
3
– а
2
а
3
– а
4
у
4
х – а
1
х – а
2
х – а
3
а
4
а
4
– а
1
а
4
– а
2
а
4
– а
3
2. Для нахождения коэффициента при у
1
в формуле Лагранжа нужно произведение выражений, помещенных в ячейки
строки "y
1
" левой части таблицы, разделить на произведение чисел, находящихся в строке "a
1
" правой части таблицы.
Аналогично находятся и все остальные коэффициенты.
3.6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ
ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Некоторые вопросы в защите окружающей среды приводят нас к задаче о нахождении эмпирической зависимости,
связывающей три переменные х, у, z.
Для определения будем считать х и у независимыми переменными, а
z – функцией:
),( yxfz
=
. (3.72)
Общий метод решения таких задач состоит в следующем. Считая х постоянным, свяжем z с у зависимостью
)()( yFbaz
+
=
Φ
, (3.73)
которую определим, применяя какие-либо из вышерассмотренных методов (разделы 3.3 – 3.5).
Числа а и b зависимости (3.73) являются функциями от х, которые нужно найти эмпирически.
3.7. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
Нередко при обработке числового материала приходится встречаться с формулами, имеющими периодический
характер.
Если
p
x∆
есть период функции )(xfy = , то
)()( xfxxf
p
=∆+
. (3.74)
Так, например, если х есть угол (в радианах), то sin x, cos x имеют период
π=∆ 2
p
x
, (3.75)
поскольку
xx sin)2sin( =
π
+
(3.76)
и
xx cos)2cos( =
π
+
. (3.77)
Пусть у есть некоторая характеристика, численные значения которой повторяются через каждые 24 часа. Тогда, если х
изображает время (в часах), то периодическая функция имеет период
24=∆
p
x
.
Обозначим через θ угол (в радианах). Тогда однозначная органическая периодическая функция от θ с периодом 2π
может быть представлена бесконечным тригонометрическим рядом в следующем виде:
++θ+θ+=θ= ...)2(coscos)(
21
aayfy
m
...)(sin...)2(sinsin)(cos
21
+
θ
++θ
+
θ
+
θ
+
nbbbna
nn
. (3.78)
В соответствии с этим рядом эмпирическая формула периодического характера включает в себя конечное число членов
его, определяемое необходимой степенью точности функции.
Если функция y = f (θ) известна, то постоянные ряда могут быть найдены следующим образом:
∫
π
θ
π
=
2
0
2
1
dyy
m
, (3.79)
∫
π
θθ
π
=
2
0
)(cos
1
dkya
k
, (3.80)
∫
π
θθ
π
=
2
0
)(sin
1
dkyb
k
, (3.81)
где k = 1…n.
Тригонометрический ряд может состоять только из косинусов или же только из синусов угла θ, выраженного в
радианах. Для доказательства справедливости этого положения запишем
() ()
=
θ+θ= kbkay
kk
sincos
() ()
θ
+
+θ
+
+= k
ba
b
k
ba
a
ba
kk
k
kk
k
kk
sincos
2222
22
. (3.82)
Обозначим:
kkk
Cba =+
22
, (3.83)
k
k
k
a
b
arctg=Φ
. (3.84)
тогда
(
)()
[
]
=θ
+
θ
=
kkCy
kkk
sinФsincosФcos
()
kk
kC Фcos
θ
. (3.85)
Последняя формула является уравнением волны, называемой k-й гармоникой с амплитудой C
k
и фазой
k
Φ
. Период
этой волны составляет
k
π2
, так как здесь мы имеем
()()
kkk
kk
k
k ФcosФ2cosФ
2
cos −θ=−π+θ=
−
π
+θ
. (3.86)
Для k = 1, 2, 3, … графики функции (3.78) носят названия, соответственно, основной волны, второй, третий и т.д.
гармоники.
Таким образом, тригонометрический ряд можно записать в виде
()
(
)
+
−
θ
+
−θ+=
2211
Ф2cosФcos CCyy
m
(
)
...Фcos... +
−
θ
+
nn
nC .
(3.87)
Если для периодической функции значения y известны при различных значениях х, то эмпирическая формула,
удовлетворяющая экспериментальным данным, может быть найдена путем вычисления y
m
, амплитуд и фаз основной и
последующих гармоник C
1
, Ф
1
, C
2
, Ф
2
, …, C
n
, Ф
n
.
Переменная х может выражать не только значения угла, но и значения любых других величин. Наиболее часто эта
переменная в периодической функции обозначает время.
Для того чтобы выразить значения угла через переменную х, необходимо определить период функции, т.е.
p
x∆
.
Имеем
mx
=
θ
. (3.88)
Выразим θ в градусах, тогда
p
x
m
∆
=
360
, (3.89)
или в радианах
p
x
m
∆
π
=
2
. (3.90)
Разделим х на n равных промежутков для всего периода и обозначим ординаты кривой через y
0
, y
1
, y
2
, …, y
n
, …,
соответственно точкам x
0
, x
1
,
x
2
, …, x
n
. Тогда y
m
будет выражать среднее значение n ординат, а a
k
и b
k
– удвоенные средние значения произведений,
образующихся при умножении каждой ординаты на
(
)
θ
kcos или
(
)
θ
ksin :
()
110
...
11
−
+++==
∑
nm
yyy
n
y
n
y , (3.91)
[]
=θ=
∑
)cos(
2
ky
n
a
k
[]
)cos(...)cos()cos(
2
111100 −−
θ++θ+θ
nn
kykyky
n
,
(3.92)
[]
=θ=
∑
)sin(
2
ky
n
b
k
[]
)sin(...)sin()sin(
2
111100 −−
θ++θ+θ
nn
kykyky
n
. (3.93)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первое столетие существования науки "Экология" ее считали гуманитарной общеобразовательной дисциплиной.
Однако, в ХХ веке современное общество столкнулось с чисто техническими проблемами, такими как загрязнение
атмосферы промышленными выбросами, загрязнение водоемов сточными водами и образование огромного количества
отходов производственного происхождения. Для контроля и анализа состояния окружающей среды человечеству
понадобилось использовать специальные методы исследования, позволяющие определить концентрации загрязняющих
веществ в различных средах, изучать химические и физические процессы в природе, происходящие под воздействием
человека, и прогнозировать их последствия. Эти методы были основаны на инженерных методах, ранее применявшихся для
чисто технических целей, таких как методы постановки натурного эксперимента, методы математического и физического
моделирования технологических процессов и методы статической обработки результатов измерений. Как оказалось, данные
методы прекрасно подходят для использования их в экологических исследованиях. В результате симбиоза инженерной
мысли и экологических наук появилась такая отрасль прикладной науки, как "Основы инженерных исследований в
экологии".
В данном учебном пособии автор постарался раскрыть основные моменты и особенности применения инженерных
методов в процессах исследования состояния окружающей среды. Были определены порядок и методы проведения
инженерно-экологического эксперимента, изложены основы математического моделирования инженерно-экологических
процессов. Большую часть пособия занял раздел, посвященный статической обработке данных, полученных в ходе
инженерно-экологического эксперимента. Наконец, были изучены особенности составления эмпирических формул, что
позволяет исследователю-экологу на основе полученных в ходе эксперимента и обработанных статическими методами
экспериментальных данных разработать уравнение, определяющее порядок изменения выходных значений интересуемых
переменных в зависимости от их входных характеристик.
Таким образом, эколог-исследователь получает мощную базу не только для получения и обработки экспериментальных
данных, но и для прогнозирования состояния различных компонентов окружающей среды при изменении методов
воздействия на нее человека.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Аленов, М.И. Распознавание природных сред, веществ и их загрязнений / М.И. Аленов, В.Г. Бирюков, В.Н. Иванов.
– СПб. : Гидрометеоиздат, 2004. – 268 с.
2.
Ахназарова, С.Л. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии : учебное пособие для химико-
технологических вузов / С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров. – М. : Высшая школа, 1978. – 319 с.
3.
Батунер, Л.М. Математические методы в химической технике / Л.М. Батунер, М.Е. Позин ; под общ. ред. проф. М.Е.
Позина. – Изд. 3-е, перераб. и доп. – Л. : ГХИ, 1960. – 636 с.
4.
Бертокс, П. Стратегия защиты окружающей среды от загрязнений /
П. Бертокс, Д. Радд. – М. : Мир, 1980. – 608 с.
5.
Горский, В.Г. Планирование промышленных экспериментов / В.Г. Горский, Ю.П. Адлер. – М. : Металлургия, 1974.
6.
Козачек, А.В. Основы инженерных исследований в экологии : программа спецкурса / А.В. Козачек. – Тамбов : Изд-
во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. – 12 с.
7.
Информационный анализ и автоматизированное проектирование станций биохимической очистки : учеб. пособие /
Е.Н. Малыгин, Н.С. Попов, В.А. Немтинов, С.Я. Егоров. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. – 120 с.
8.
Энерго- и ресурсосберегающие технологии и оборудование защиты окружающей среды : учеб. пособие / Н.С. Попов,
А.Г. Ткачев, З.А. Михалева, А.И. Попов, Е.А. Сергеева, А.В. Козачек. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. – 56 с.
9.
Попов, Н.С. Моделирование и управление природо-промышленными системами / Н.С. Попов // Малоотходные и
безотходные технологии – главный фактор охраны окружающей среды : тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. совещания. – М., 1983.
– Ч. 1. – С. 68–69.
10.
Проектирование информационно-аналитической системы природопользования / Н.С. Попов, А.Г. Назаров, Н.П.
Петрова, А.А. Алексеев // Информационные системы и процессы : сб. науч. тр. / под ред. проф. В.М. Тютюнника. – Тамбов–
М.–СПб.–Баку–Вена : Изд-во "Нобелистика", 2003. – Вып. 1. – С. 136 – 152.
11.
Пустыльник, Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений / Е.И. Пустыльник. – М. : Наука, 1968.
12.
Рузинов, Л.П. Планирование эксперимента в химии и химической технологии / Л.П. Рузинов, Р.И. Слободчикова. –
М. : Химия, 1980. – 280 с.
13.
Теория систем в приложении к проблемам защиты окружающей среды / под ред. С. Ринальди. – Киев : Вища школа,
1981. – 264 с.
14.
Тимонин, А.С. Инженерно-экологический справочник / А.С. Тимонин. – Калуга : Изд-во Н.Ф. Бочкаревой, 2003. –
2800 с. (в 3-х томах).
15.
Шенк, Х. Теория инженерного эксперимента / Х. Шенк. – М. : Мир, 1972.