Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С2)

Подождите немного. Документ загружается.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

Упражнения

1. Ребра правильной четырехугольной

призмы равны 1, 4 и 4. Найдите расстоя-

ние от вершины до центра основания

призмы, не содержащего эту вершину.

2. В правильной шестиугольной приз-

ме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра ко-

торой равны 1, найдите расстояние меж-

ду точками

E .

3. В единичном кубе

1111

DCBABCDA

найдите расстояние от точки

до пря-

мой:

DB ; б) СА

; в)

BD .

4. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

найдите расстояние от точки

до пря-

мой

ВС .

5. (МИОО). В правильной треуголь-

ной призме

111

CBABCA высота равна 2,

сторона основания равна 1. Найдите рас-

стояние от точки

В до прямой

AС .

6. (МИОО). В правильной треуголь-

ной призме

111

CBABCA высота равна 1,

сторона основания равна 2. Найдите рас-

стояние от точки

A до прямой

BС .

7. В правильной шестиугольной приз-

ме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра ко-

торой равны 1, найдите расстояние от

точки

до прямой:

а) DЕ; б)

ED ; в)

CB ; г)

BE ; д)

BC ;

е)

CE ; ж)

CF ; з)

CB .

8. Основание прямой призмы

1111

DCBABCDA  ромб ABCD, в котором

,10



АВ .76АС Боковое ребро

АА

равно

.213

Найдите расстояние от вер-

шины В до прямой .

АС

9. (МИОО). В правильной четырех-

угольной пирамиде SABCD сторона осно-

вания равна 1, а боковое ребро равно

. Найдите расстояние от точки

до

прямой SA.

10. (МИОО). В тетраэдре ABCD, все

ребра которой равны 1, найдите расстоя-

ние от точки

до прямой, проходящей

чрез точку В и середину ребра CD.

11. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF, стороны оснований

которой равны 1, а боковые ребра равны

2, найдите расстояние от точки

до пря-

мой

12. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF, стороны оснований

которой равны 1, а боковые ребра равны

2, найдите расстояние от точки

до пря-

мой SF.

13. Ребро куба

1111

DCBABCDA равно

.3 Найдите расстояние от вершины

до плоскости .

BDС

14. В кубе

1111

DCBABCDA , ребро ко-

торого равно 4, точки Е и F – середины

ребер АВ и

CB соответственно, а точка

Р расположена на ребре CD так, что

PDCP 3



. Найдите расстояние от точки

A до плоскости треугольника EPF.

15. Дан правильный тетраэдр ABCD с

ребром .6 Найдите расстояние от вер-

шины

до плоскости BDC.

16. Ребро AD пирамиды DABC перпен-

дикулярно плоскости основания АВС.

Найдите расстояние от вершины

до

плоскости, проходящей через середины

ребер

, АС и AD, если ,52AD

,10



ACAB .54BC

17. В правильной четырехугольной

пирамиде PABCD с вершиной P сторона

основания равна 3, высота 2. Найдите

расстояние от вершины

до грани PCD.

18. На продолжении ребра SK за точку

правильной четырехугольной пирами-

ды SKLMN с вершиной

взята точка

так, что расстояние от точки

до плос-

кости MNS равно 24. Найдите длину от-

резка

, если

412SL



19. В единичном кубе

1111

DCBABCDA

найдите расстояние между прямыми

АВ

CА .

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

20. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

найдите расстояние между прямыми

и CА

21. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, найдите расстояние

между прямыми

AА и

BC .

22. В пирамиде DABC известны длины

ребер: ,10



DCDBACAB



.12



Найдите расстояние между

прямыми

23. В тетраэдре ABCD известно, что



BDAC



ADBC



. Найдите расстояние между

прямыми

и BD.

24. Сторона основания АВС правиль-

ной треугольной пирамиды ABCD равна

38 , высота пирамиды



. Точки

A ,

C – середины ребер AD и CD соот-

ветственно. Найдите расстояние между

прямыми

BA и

AC .

25. В кубе

1111

DCBABCDA точки Е, F –

середины ребер соответственно

ВA и

CB . Найдите косинус угла между пря-

мыми

и BF.

26. В кубе

1111

DCBABCDA точки Е, F –

середины ребер соответственно

ВA и

DC . Найдите косинус угла между пря-

мыми

и BF.

27. В кубе

1111

DCBABCDA точка Е –

середина ребра

ВA . Найдите косинус

угла между прямыми

ВD .

28. К диагонали куба провели перпен-

дикуляры из остальных вершин куба. На

сколько частей и в каком отношении ос-

нования этих перпендикуляров разделили

диагональ?

29. К диагонали CA

куба

1111

DCBABCDA провели перпендикуляры

из середин ребер

и AD. Найдите угол

между этими перпендикулярами.

30. К диагонали CA

куба

1111

DCBABCDA провели перпендикуляры

из вершин

и В. Найдите угол между

этими перпендикулярами.

31. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

найдите косинус угла между прямыми

и CA

32. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

найдите косинус угла между прямыми

AВ и

BC .

33. (МИОО). Сторона основания пра-

вильной треугольной призмы

111

CBABCA

равна 8. Высота этой призмы равна 6.

Найдите угол между прямыми

CA и

AB .

34. (МИОО). В основании прямой

призмы

111

CBABCA лежит равнобедрен-

ный прямоугольный треугольник АВС с

гипотенузой

, равной

. Высота

этой призмы равна 6. Найдите угол меж-

ду прямыми

AC и

CB .

35. Непересекающиеся диагонали двух

смежных боковых граней прямоугольно-

го параллелепипеда образуют с плоско-

стью его основания углы





. Найди-

те угол между этими диагоналями.

36. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

точки D, Е – середины ребер соответст-

венно

ВA и

CB . Найдите косинус угла

между прямыми АD и ВЕ.

37. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

точка D – середина ребра

ВA . Найдите

косинус угла между прямыми АD и

BC .

38. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, найдите косинус угла

между прямыми

AB и

BC .

39. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

которой равны 1, найдите косинус угла

между прямыми

AB и

BD .

40. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, найдите угол между

прямыми

AB и

BE .

41. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, точки G, H – середины

ребер соответственно

ВA и

CB . Най-

дите косинус угла между прямыми АG и

BH.

42. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, точка G – середина реб-

ра

ВA . Найдите косинус угла между

прямыми АG и

BC .

43. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, точка G – середина реб-

ра

ВA . Найдите косинус угла между

прямыми

BD .

44. В тетраэдре ABCD известно, что



BDAC



ADBC



. Найдите угол между прямыми

АС и BD.

45. Найдите угол между непересекаю-

щимися медианами граней правильного

тетраэдра.

46. В правильной четырехугольной

пирамиде SABCD, все ребра которой рав-

ны 1, точки

, F – середины ребер соот-

ветственно SB и SC. Найдите косинус уг-

ла между прямыми АЕ и BF.

47. Ребра

АD

и ВС пирамиды DABC

равны 24 см и 10 см. Расстояние между

серединами ребер

равно 13 см.

Найдите угол между прямыми

АD

и ВС.

48. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF, стороны оснований

которой равны 1, а боковые ребра равны

2, найдите косинус угла между прямыми

SB и АЕ.

49. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF, стороны оснований

которой равны 1, а боковые ребра равны

2, найдите косинус угла между прямыми

SB и АD.

50. В кубе

1111

DCBABCDA найдите

угол между прямой

AВ и плоскостью

ABC .

51. В кубе

1111

DCBABCDA найдите

тангенс угла между прямой

AA и плос-

костью DBC

52. В кубе

1111

DCBABCDA найдите

тангенс угла между прямой

AC и плос-

костью

BCC .

53. В кубе

1111

DCBABCDA точка

–

середина ребра

ВA . Найдите синус угла

между прямой

и плоскостью

ВDD .

54. В кубе

1111

DCBABCDA точка

–

середина ребра

ВA . Найдите синус угла

между прямой

и плоскостью

ВDC .

55. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA найдите угол между

плоскостью CAA

и прямой ВA

, если

AA ,



56. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA найдите угол между

плоскостью BCA

и прямой

BC , если

AA ,



57. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA , у которого 4

AA ,

DA , 6

DC найдите тангенс угла

между плоскостью

ADD и прямой EF,

проходящей через середины ребер

CB .

58. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA , у которого



, 4

CC найдите тангенс угла

между плоскостью АВС и прямой EF,

проходящей через середины ребер

AA и

DC .

59. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

точка D – середина ребра

ВA . Найдите

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

синус угла между прямой АD и плоско-

стью

BСC .

60. В основании прямой призмы

111

KNMNKM лежит прямоугольный тре-

угольник MNK, у которого угол N равен



, угол

равен





. Диа-

гональ боковой грани NM

составляет

угол



с плоскостью

KMM . Найдите

высоту призмы.

61. В основании прямой призмы

111

CBABCA лежит прямоугольный тре-

угольник АВС, у которого угол С равен



, угол А равен



, 310AC . Диа-

гональ боковой грани CB

составляет

угол



с плоскостью

BAA . Найдите

высоту призмы.

62. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, точка G – середина реб-

ра

ВA . Найдите синус угла между пря-

мой

и плоскостью

BСС .

63. В правильной шестиугольной

призме

111111

FEDCBABCDEFA , все ребра

которой равны 1, точка G – середина реб-

ра

ВA . Найдите синус угла между пря-

мой

и плоскостью

BDD .

64. (МИОО). В правильной шести-

угольной призме

111111

FEDCBABCDEFA

сторона основания равна 7, а высота рав-

на 1. Найдите угол между прямой

BF и

плоскостью

CAF .

65. (МИОО). В правильной треуголь-

ной пирамиде SABC с основанием ABC

сторона основания равна 36 , а боковое

ребро равно 10. Найдите угол между

плоскостью АВС и прямой МN, где точка

N – середина ребра АС, а точка М делит

ребро BS так, что

1:2:



MSBM

66. (ЕГЭ 2010). В правильной тре-

угольной пирамиде SABC с основанием

ABC известны ребра: 312AB ,



. Найдите угол, образованный

плоскостью основания и прямой АМ, где

М – точка пересечения медиан грани

SBC.

67. (ЕГЭ 2010). В правильной тре-

угольной пирамиде SABC с основанием

ABC известны ребра: 320AB ,



. Найдите угол, образованный

плоскостью основания и прямой, прохо-

дящей через середины ребер AS и ВС.

68. В правильной четырехугольной

пирамиде SABCD, все ребра которой рав-

ны 1, найдите косинус угла между пря-

мой

и плоскостью SAD.

69. В правильной шестиугольной пи-

рамиде SABCDEF, боковые ребра кото-

рой равны 2, а стороны основания – 1,

найдите косинус угла между прямой АС и

плоскостью SAF.

70. Дан куб

1111

DCBABCDA . Найдите

угол между плоскостями

CAB и CBA

71. Диагональ CA

куба

1111

DCBABCDA служит ребром двугран-

ного угла, грани которого проходят через

середины ребер

DD . Найдите ве-

личину этого угла.

72. Диагональ CA

куба

1111

DCBABCDA служит ребром двугран-

ного угла, грани которого проходят через

В и

. Найдите величину этого угла.

73. В кубе

1111

DCBABCDA точки

, F

– середины ребер соответственно

ВA и

DA . Найдите тангенс угла между плос-

костями

AEF

ВCC .

74. В кубе

1111

DCBABCDA точки



середины ребер соответственно

ВA

DA . Найдите тангенс угла между

плоскостями

AEF

ВDD .

75. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA известны длины ребер:

AA ,12



Найдите тан-

генс угла между плоскостью АВС и плос-

костью, проходящей через точку

пер-

пендикулярно прямой

, если

– се-

редина ребра .

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

76. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA , у которого



, 4

CC найдите тангенс угла

между плоскостями

CDD и

BDA .

77. (ЕГЭ 2010). В прямоугольном па-

раллелепипеде

1111

DCBABCDA известны

ребра



, 5

CC . Найдите

угол между плоскостями

BDD и

BAD .

78. В прямоугольном параллелепипеде

1111

DCBABCDA , у которого



, 4

CC найдите тангенс угла

между плоскостями

ACD и

111

CBA .

79. Основание прямой четырехуголь-

ной призмы

1111

DCBABCDA – прямо-

угольник

ABCD

, в котором 28АВ ,



. Найдите тангенс угла между

плоскостью грани BBAA

призмы и

плоскостью, проходящей через середину

ребра

перпендикулярно прямой

AC ,

если расстояние между прямыми

CA и

равно 8 .

80. Основание прямой четырехуголь-

ной призмы

1111

DCBABCDA – прямо-

угольник

ABCD

, в котором



АВ

31AD . Найдите косинус угла между

плоскостью основания призмы и плоско-

стью, проходящей через середину ребра

перпендикулярно прямой

BD , если

расстояние между прямыми

равно 5.

81. Сторона основания правильной

треугольной призмы

111

CBABCA равна 2,

а диагональ боковой грани равна 5 .

Найдите угол между плоскостью BCA

плоскостью основания призмы.

82. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

найдите угол между плоскостями

ACВ и

ВСA

83. В правильной треугольной призме

111

CBABCA , все ребра которой равны 1,

точки D,

– середины ребер соответст-

венно

ВA и

CА . Найдите тангенс угла

между плоскостями

ADE

ВCC .

84. Основанием прямой треугольной

призмы

111

CBABCA является равнобед-

ренный треугольник АВС, в котором

,10



BCAB

.16



Боковое ребро

призмы равно 24. Точка Р – середина

ребра

BB . Найдите тангенс угла между

плоскостями

111

CBA и АСР.

85. Основанием прямой треугольной

призмы

111

CBABCA является равнобед-

ренный треугольник АВС, в котором

,20



BCAB

.32



Боковое ребро

призмы равно 24. Точка Р принадлежит

ребру

BB , причем .3:1:

PBBP Най-

дите тангенс угла между плоскостями

111

CBA и АСР.

86. Основанием прямой треугольной

призмы

111

CBABCA является треугольник

АВС, в котором ,8



ACAB а один из

углов равен



. На ребре

AA отмечена

точка

так, что .1:2:

PAAP Найдите

тангенс угла между плоскостями АВС и

СВР, если расстояние между прямыми

АВ и

BC равно 318 .

87. Основанием прямой треугольной

призмы

111

CBABCA является треугольник

АВС, в котором ,6



BCAC а один из

углов равен



. На ребре

CC отмечена

точка

так, что .1:2:

PCCP Найди-

те тангенс угла между плоскостями АВС

и АВР, если расстояние между прямыми

АС и

BA равно 318 .

88. Основанием прямой призмы

111

CBABCA является прямоугольный тре-

угольник АВС с гипотенузой АС. Найдите

тангенс угла между плоскостью

111

CBA и

плоскостью, проходящей через середину

ребра

AA и прямую ВС, если ,4



.12

BB

89. Основание пирамиды DABC – рав-

нобедренный треугольник АВС, в кото-

ром ,13



BCAB

.24



Ребро DB

перпендикулярно плоскости основания и

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

равно 20. Найдите тангенс двугранного

угла при ребре АС.

90. В правильной четырехугольной

пирамиде SABCD, все ребра которой рав-

ны 1, найдите косинус угла между плос-

костями АВС и BCS.

91. (МИОО). В правильной четырех-

угольной пирамиде SABCD с основанием

ABCD сторона основания равна

, а

боковое ребро равно 10. Найдите угол

между плоскостями АВС и АСМ, где точ-

ка М делит ребро BS так, что

1:2:



MSBM

92. Диаметр окружности основания ци-

линдра равен 20, образующая цилиндра

равна 28. Плоскость пересекает его осно-

вания по хордам длины 12 и 16. Найдите

тангенс угла между этой плоскостью и

плоскостью основания цилиндра.

93. Диаметр окружности основания ци-

линдра равен 26, образующая цилиндра

равна 21. Плоскость пересекает его осно-

вания по хордам длины 24 и 10. Найдите

тангенс угла между этой плоскостью и

плоскостью основания цилиндра.

94. Основанием прямой четырехуголь-

ной призмы является ромб с диагоналями

6 и 8. Найдите площадь полной поверх-

ности призмы, если известно, что диаго-

наль ее боковой грани равна 13.

95. Основание прямой призмы

111

CBABCA – треугольник АВС, в кото-

ром







90C

, ,6



Угол

между плоскостями АВС и

ABC равен



. Найдите площадь боковой поверх-

ности призмы.

96. Дан куб

1111

DCBABCDA . Через

точки

B и середину ребра

CC про-

ведена секущая плоскость. Найдите пло-

щадь полной поверхности куба, если

площадь сечения равна 36.

97. Каждое ребро правильной тре-

угольной призмы равно

. Через сторону

основания и середину оси (ось – отрезок,

соединяющий центры оснований) прове-

дена плоскость. Найти площадь сечения

призмы этой плоскостью.

98. Основание пирамиды MABCD –

квадрат, диагональ которого равна 6 .

Ребро МВ перпендикулярно плоскости

основания, а угол между плоскостями

АВС и AMD равен



. Найдите объем

пирамиды.

99. Основание пирамиды ABCD – пря-

моугольный треугольник с гипотенузой

, равной 302 . CD – высота пирами-

ды, боковые ребра AD и BD наклонены к

плоскости основания под углами



соответственно. Найдите объем пи-

рамиды.

100. Определить объем прямоугольно-

го параллелепипеда, площади граней ко-

торого равны

Q ,

Q и

Q .

101. В основании первой пирамиды

DABC

лежит треугольник

ABC

, в кото-

ром







45C

26BC



. Бо-

ковое ребро

перпендикулярно плос-

кости основания пирамиды. Сечение пи-

рамиды плоскостью, проходящей через

середину ребра

параллельно прямым

, является основанием второй

пирамиды. Ее вершина

– основание

высоты

треугольника

ABC

. Во

сколько раз объем первой пирамиды

больше объема второй пирамиды?

102. В основании пирамиды

DABC

лежит треугольник

ABC

, в котором







30C



BC

. Боковое

ребро

равно 36 и перпендикулярно

плоскости

ABC

. Сечение пирамиды

плоскостью, проходящей через середину

ребра

параллельно прямым

, является основанием второй пира-

миды. Ее вершина

– основание высоты

треугольника

ABC

. Найдите объем

второй пирамиды.

103. В основании пирамиды

DABC

лежит треугольник

ABC

, в кото-

ром







60C



. Боко-

вые грани

DAC

DAB

перпендикуляр-

ны плоскости основания пирамиды, а

ребро

равно 34 . Сечение пирами-

ды плоскостью, проходящей через сере-

дину ребра

параллельно прямым

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

, является основанием второй пи-

рамиды, вершина которой в точке

Найдите объем второй пирамиды.

104. Дан прямоугольный параллелепи-

пед

1111

DCBABCDA . На его боковых реб-

рах

AA и

BB лежат точки

соот-

ветственно так, что 11:8:

MAAM ,

1:2:

PBPB . Во сколько раз объем

данного параллелепипеда больше объема

пирамиды с вершиной в точке

, осно-

ванием которой является сечение данного

параллелепипеда плоскостью

BMD ?

105. Дан прямоугольный параллелепи-

пед

1111

DCBABCDA . На его боковых реб-

рах

AA и

BB лежат точки

соот-

ветственно так, что 5:7:

MAAM ,

3:4:

PBPB . Во сколько раз объем

данного параллелепипеда больше объема

пирамиды с вершиной в точке ,P осно-

ванием которой является сечение данного

параллелепипеда плоскостью

BMD ?

106. Ребра

основания

ABCD

прямоугольного параллелепипеда

1111

DCBABCDA равны соответственно 9 и

4. На боковых ребрах

AA и

BB , равных

11, лежат точки

соответственно

так, что 4:3:

MAAM , 3:8:

PBPB .

Найдите объем пирамиды с вершиной в

точке

, основанием которой является

сечение данного параллелепипеда плос-

костью

BMD .

107. Дана правильная четырехугольная

пирамида SABCD. Точка F делит ребро

SC в отношении

2:1

(считая от точки S),

точка

– середина ребра ВС. Найдите, в

каком отношении делит объем пирамиды

плоскость

DEF

108. В правильной четырехугольной

призме

1111

DCBABCDA сторона

ос-

нования равна 6, а боковое ребро

равно 12. Через вершины

C призмы

проведена плоскость, пересекающая бо-

ковое ребро

BB в точке

, а боковое

ребро

DD в точке

. Найдите объем пи-

рамиды LAKCA

109. Наклонная призма

1111

DCBABCDA

имеет своими основаниями трапеции

ABCD

1111

DCBA . Сумма площадей па-

раллельных боковых граней призмы рав-

на

, а расстояние между этими гранями

равно

. Найти объем многогранника

ACDCBA

1111

110. Куб, ребро которого равно а, пе-

ресекается плоскостью, проходящей че-

рез его диагональ. Какую наименьшую

площадь может иметь сечение и при ка-

ком угле наклона сечения к плоскости

основания?

111. Прямоугольный параллелепипед,

измерения которого равны a, b, c, пересе-

кается плоскостью, проходящей через его

диагональ. Какую наименьшую площадь

может иметь сечение, если

cba



112. Определите длину стороны основа-

ния правильной треугольной призмы

объема

, имеющей наименьшую пло-

щадь полной поверхности.

113. В правильной четырехугольной

призме

1111

DCBABCDA высота в два раза

меньше основания. Найдите наибольшее

значение величины угла

MCA , где

–

точка на ребре

114. Все ребра правильной треуголь-

ной призмы

111

CBABCA имеют длину

Рассматриваются отрезки с концами на

диагоналях

BC и

CA боковых граней,

параллельные плоскости

AABB . Найди-

те наименьшее значение длины таких от-

резков.

115. Найдите наибольший объем пра-

вильной треугольной пирамиды, боковое

ребро которой равно

116. Диагональ боковой грани пра-

вильной четырехугольной призмы равна

. Найдите длину бокового ребра, при

котором объем призмы наибольший.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

Ответы

1. 3. 2. 2. 3. а)

; б)

; в)

. 5.

. 6.

. 7. а) 3 ; б) 2;

в)

; г)

; д)

; е)

;

ж)

; з)

. 8. 8. 9.

. 10.

11.

. 12. 3 . 13. 1. 14.

9312

. 15. 2.

16. 2. 17. 2,4. 18.

413

. 19.

. 20.

21.

. 22. .72 23.

.113

24.

259

25936

25. 0,8. 26.

. 27.

. 28. На три части

в отношении

1:1:1

. 29.



. 30.



. 31.

. 32.

. 33.

arcsin2 или

arccos . 34.

arcsin2 или

arccos .

35.





 sinsinarccos . 36. 0,7. 37.

103

38. 0,75. 39.

. 40.



. 41. 0,9.

42.

. 43.

. 44.

arcsin .

45. ;

arccos

arccos . 46.

. 47.



48.

. 49.

. 50.



. 51.

. 52.

53.

. 54.

. 55. .

arcsin

56. .

arcsin 57.

. 58.

. 59.

60. 66 . 61.

210

. 62.

. 63.

64.

151

arcsin

. 65.

arctg . 66.

arctg .

67.

arctg . 68.

. 69.

. 70.



71.



120

. 72.



120

. 73.

. 74.

. 75. 2.

76.

. 77.

arctg . 78.

. 79. 1.

80.

. 81.



. 82.

arccos . 83.

84. 2. 85. 0,5. 86. 3. 87. 4. 88. 1,5. 89. 4.

90.

. 91.

arctg . 92. 2 или 14. 93. 3

или

. 94. 288. 95. 115,2. 96. 192.

97. .

98. 3. 99. 36. 100. .

321

QQQ 

101. 12. 102. 12. 103. 28. 104. 9. 105. 7.

106. 36. 107.

1:5

. 108. 144. 109.

110.

arccos . 111.

222

cbaab





112. .4

V 113.



. 114.

. 115.

116.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

18.02.2011

www.alexlarin.narod.ru

Список и источники литературы

1. Василевский А.Б. Параллельные

проекции и решение задач по стереомет-

рии. – Мн.: Нар. асвета, 1978.

2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для

общеобразоват. учреждений: базовый и

профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд.

– М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

3. Геометрия. 10 кл.: учеб. для обще-

образоват. учреждений с углубл. и про-

фильным изучением математики / Е.В.

Потоскуев, Л.И. Звавич. – 3-е изд. – М.:

Дрофа, 2005. – 223 с.

4. Геометрия. 11 кл.: учеб. для обще-

образоват. учреждений с углубл. и про-

фильным изучением математики / Е.В.

Потоскуев, Л.И. Звавич. – 3-е изд. – М.:

Дрофа, 2003. – 368 с.

5. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для

общеобразоват. заведений. / И.Ф. Шары-

гин. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.

6. Геометрия. Расстояния и углы в

пространстве / И.М. Смирнов, В.А.

Смирнов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.:

Издательство «Экзамен», 2011. – 158 с.

(Серия «ЕГЭ. 100 баллов»).

7. Гусев В.А., Кожухов И.Б., Про-

кофьев А.А. Геометрия. Полный спра-

вочник. – М.: Махаон, 2006. – 320 с. –

(Для школьников и абитуриентов).

8. Денищева Л.О., Глазков Ю.А.,

Краснянская К.А., Рязановский А.Р., Се-

менов П.В. Единый государственный эк-

замен 2008. Математика. Учебно-

тренировочные материалы для подготов-

ки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект –

Центр, 2007. – 240 с.

9. Единый государственный экзамен:

математика: методика подгот.: кн. для

учителя / [Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков,

К.А. Краснянская и др.]. – М.: Просвеще-

ние, 2005. – 256 с.

10. Единый государственный экзамен

2011. Математика. Универсальные мате-

риалы для подготовки учащихся / ФИПИ

– М.: Интеллект-Центр, 2011. – 144 с.

11. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник

тренировочных работ / Высоцкий И.Р.,

Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов

А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шес-

таков С.А., Ященко И.В. – М.: МЦНМО,

2009. – 72 с.

12. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые

тестовые задания /под ред. А.Л. Семено-

ва, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Эк-

замен», 2011. – 63 с.

13. Задание С2: Решаем методом ко-

ординат / И. Беликова. – Математика,

приложение «Первое сентября», №20,

2010.

14. Панферов В.С., Сергеев И.Н. От-

личник ЕГЭ. Математика. Решение

сложных задач; ФИПИ – М.: Ителлект-

Центр, 2010. – 80 с.

15. Прокофьев А.А. Пособие по гео-

метрии для подготовительных курсов

(стереометрия). – 4-е изд. перераб. и доп.

– М.: МИЭТ, 2007. – 240 с.

16. Самое полное издание типовых

вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010:

Математика /авт.-сост. И.Р. Высоцкий,

Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред.

А Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ:

Астрель, 2009. – (Федеральный институт

педагогических измерений).

17. Смирнов В.А. ЕГЭ 2010. Матема-

тика. Задача С2 / Под ред. А.Л. Семенова,

И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. – 64

с.

18. Математика для поступающих в

вузы: пособие / Шабунин М. И. – 2-е изд.,

испр. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория

знаний, 2003. – 695 с.

19. Ященко И.В., Шестаков С.А., За-

харов П.И. Подготовка к ЕГЭ по матема-

тике в 2011 году. Методические указания.

– М.: МЦНМО, 2011. – 144 с.

20. www.mathege.ru - Математика ЕГЭ

2010, 2011 (открытый банк заданий)

21. www.alexlarin.narod.ru – сайт по

оказанию информационной поддержки

студентам и абитуриентам при подготов-

ке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изуче-

нии различных разделов высшей матема-

тики.

22. http:///eek.diary.ru/ – сайт по оказа-

нию помощи абитуриентам, студентам,

учителям по математике.